精品解析：天津市河西区北京师范大学天津附属中学2026-2027学年高二上学期阶段性考查（10月）数学试题

2026-2027学年度第一学期高二年级数学阶段性考查(10月) 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 3. 经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 若圆与圆外切，则m的值为 A. 2 B. -5 C. 2或-5 D. 不确定 9. 已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知点和直线，则点P到l的距离为______. 11. 设空间向量，，若，则＝______． 12. 已知直线与直线平行，则实数a的值为__________. 13. 已知空间向量，，，若，，共面，则______. 14. 若直线与曲线 有一个交点，则实数的取值范围是______． 15. 如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，2，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为_________. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． （1）求点C的坐标； （2）求的面积； （3）求斜边上的中线所在直线的方程． 17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知圆：与：相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在的直线方程； （2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； （3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程． 19. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 20. 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知平面上有两点，点是圆上的动点，求的最小值； （3）若是x轴上的动点，与圆相切，切点分别为，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高二年级数学阶段性考查(10月) 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 3. 经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线的倾斜角满足，，计算得到答案. 【详解】直线的倾斜角满足，则. 故直线方程为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力，利用二倍角公式确定直线斜率是解题的关键. 4. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 5. 圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程定义求解即可. 【详解】设圆心坐标为，则由题意知，解得， 故圆的方程为． 故选：A 6. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行可得，即可根据平行线间距离公式求解. 【详解】由于与平行，故，解得， 故两直线为，， 故距离为， 故选：C 7. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 解得： 故选：B. 8. 若圆与圆外切，则m的值为 A. 2 B. -5 C. 2或-5 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的位置关系，求得圆心距和半径之和的关系，即可求得参数. 【详解】容易知两圆的圆心距， 又因为两圆相外切， 故可得， 故可得， 解得或. 故选：C. 【点睛】本题考查由两圆位置关系求参数值，属基础题. 9. 已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线恒过定点及两直线垂直，可求得点P的轨迹方程，分析可得，要使四边形面积的最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】变形为，恒过， 变形为，恒过， 因为，所以， 所以交点P的轨迹是以和为直径端点的圆， 则圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知点和直线，则点P到l的距离为______. 【答案】3 【解析】 【分析】代入点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知点P到l的距离为. 故答案为：3 11. 设空间向量，，若，则＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量共线得，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案. 【详解】，则显然，，解得， 则，， 故答案为：3. 12. 已知直线与直线平行，则实数a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行建立方程，验根，可得答案. 【详解】由题意可得，则，，解得或， 当时，直线与直线重合，不符合题意； 当时，，显然成立，符合题意. 故答案为：. 13. 已知空间向量，，，若，，共面，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据共面向量定理可得，然后将坐标代入可求出的值. 【详解】因为，，共面，所以存在唯一实数，使， 即， 则，解得，，. 故答案为：3 14. 若直线与曲线 有一个交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将曲线转化为半圆，计算出直线与圆相切时的斜率，再计算出直线过定点时的斜率即可得到答案. 【详解】由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示： 当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 将直线化为一般式方程为， 则，解得； 将代入半圆方程得，则图中. 当直线过点时，则，解得. 又与圆相切， 由图可知，直线与曲线有一个交点， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，2，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，通过向量法算出点P到平面BFE的距离，结合三棱锥的体积等于1可得到，再通过向量法计算直线CP与所成角的余弦值的范围，继而算出答案 【详解】解：以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ，则，，， 设平面的法向量为 则，令，则， 所以平面的一个法向量 因为 所以点P到平面BFE的距离 因为， 所以在等腰中，到的高为， 所以 因为， 所以 所以或(舍去)， 设直线与所成的角为，则， 所以 ， 所以的最大值为，此时最小，此时最小， 因为，且，所以， 所以，即直线CP与所成角的正切值的最小值为， 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． （1）求点C的坐标； （2）求的面积； （3）求斜边上的中线所在直线的方程． 【答案】（1） （2）10 （3）． 【解析】 【分析】（1）设出C点坐标，利用垂直，转化为斜率之积为即可求出的值； （2）求出两直角边长，代入三角形面积公式即可； （3）写出AC中点E的坐标，利用直线的点斜式方程即可求出斜边中线所在直线方程． 【小问1详解】 设．因为，所以， 显然，则． 因为，， 所以，解得，则． 【小问2详解】 ，， 的面积为． 【小问3详解】 记AC的中点为E，则． 直线BE的斜率为， 直线BE的方程为，即， 所以斜边上的中线所在直线的方程为． 17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 在四棱锥中，取的中点，连接，由，得， 由侧面底面，平面，侧面底面，则底面， 以为原点，过平行于的直线为轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 因此，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质可得底面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理得证. （2）由（1）利用异面直线夹角的向量求法求解. （3）求出平面的法向量再利用点到平面距离的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离. 18. 已知圆：与：相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在的直线方程； （2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； （3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程． 【答案】（1）x－2y＋4＝0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程； （2）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线上，求，即可求得圆的方程； （3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径. 【小问1详解】 将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程． 【小问2详解】 设经过A、B两点的圆的方程为（为常数）， 则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故， 解得，故所求方程为． 【小问3详解】 由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0， 与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为． 故面积最小的圆的方程为． 19. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1）依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得. 设，则. 依题意，是平面的法向量， 又，可得， 又因为直线平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证明线面平行； （2）分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； （3）首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于长度的方程，解方程可得的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得， 因此有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设为平面的法向量，则，即. 不妨令，可得. 由题意，有，解得. 经检验，符合题意. 所以，线段的长为. 20. 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知平面上有两点，点是圆上的动点，求的最小值； （3）若是x轴上的动点，与圆相切，切点分别为，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）26 （3）是， 【解析】 【分析】（1）根据题意设圆心为，然后由列方程可求出，从而可求出圆心和半径，进而可求出圆的方程； （2）设，再表示出，化简可得，然后根据圆的性质求出的最小值，从而可求得结果； （3）设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可求出直线的方程，对方程变形可求得结果. 【小问1详解】 因为圆心在直线上， 所以设，由圆过点，可得， 即， 所以， 整理得，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，则， 因为， 所以的最小值为. 【小问3详解】 设，则以为直径的圆的圆心为， 记， 半径为， 则此圆的方程为， 即，记此圆为D. 因为直线为圆与圆的相交弦所在直线， 所以两圆方程作差可得直线的方程为， 即. 由，解得 所以直线恒过定点，定点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $