精品解析：广东中山市三鑫学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

三鑫高中2026-2027学年第一学期高二年级10月月考 数学A试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李冬梅 审题人：易保中 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 2. 某班有男生人，女生人，用分层抽样的方法从该班抽取人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是（ ） A. 3个都是白球 B. 3个都是红球 C. 至少1个红球 D. 至多2个白球 4. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，若，则k=（ ） A. 4 B. C. 17 D. 6. 为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（ ） 学生数 平均分 方差 男生 6 80 4 女生 4 75 2 A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，分别为平面内、外一点，平而的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 向量，，共面 11. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ） A. 可能取到数字4 B. 中位数可能是2 C. 极差可能是4 D. 众数可能是2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设一组数据的方差为1.2，则数据，，…，的方差为______. 13. 若的方向向量为，平面的法向量为，且，则________． 14. 一个袋子中有4个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．已知取出的2个球都是红球的概率为，那么________． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 16. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： （1）两个人都译出密码的概率. （2）两个人都译不出密码的概率. （3）恰有1个人译出密码的概率. 17. 如图，在平行六面体中，，，是的中点，设，，． （1）若，求的值； （2）用，，表示； （3）求的长． 18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）证明：． （2）分别计算平面和平面的一个法向量． （3）求平面与平面夹角的大小． 19. 如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三鑫高中2026-2027学年第一学期高二年级10月月考 数学A试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李冬梅 审题人：易保中 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知共个数据，中位数为第个数据. 2. 某班有男生人，女生人，用分层抽样的方法从该班抽取人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知男生人，女生人，男女比例为，抽取的女生人数为. 3. 一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是（ ） A. 3个都是白球 B. 3个都是红球 C. 至少1个红球 D. 至多2个白球 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，由不可能事件的定义即可得正确选项. 【详解】对于A：袋子中装有8个红球，2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能发生的，故3个都是白球为不可能事件，故选项A正确； 对于B：摸出的3个都是红球为随机事件，故选项B不正确； 对于C：袋子中只有2个白球，摸出3个球至少1个红球为必然事件，故选项C不正确； 对于D：摸出的球至多2个白球是必然事件，故选项D不正确； 故选：A. 4. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 5. 设，，若，则k=（ ） A. 4 B. C. 17 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量平行的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：B 6. 为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（ ） 学生数 平均分 方差 男生 6 80 4 女生 4 75 2 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】可估计全班学生数学的平均分为， 方差为. 7. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】平面与夹角的余弦值． 故选：B 8. 已知点，分别为平面内、外一点，平而的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，进而根据线面角的向量求法，即可得出答案. 【详解】因为，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式逐项计算判断. 【详解】对于A，若与互斥，则，A正确； 对于B，若与相互独立，则，B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，则，C正确； 对于D，若与相互独立，则，D正确. 故选：ACD 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 向量，，共面 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，，故，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，故与不垂直，C错误； 对于D，由B得，说明可由，线性表示，即向量，，共面，D正确. 11. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ） A. 可能取到数字4 B. 中位数可能是2 C. 极差可能是4 D. 众数可能是2 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可. 【详解】设这5个数字为， 对于A：若取到数字4，不妨设为， 则，可得， 可知这4个数中至少有2个1，不妨设为， 则这5个数字的方差 ， 不合题意，故A错误； 对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为， 若极差是4，这最大数为5，不妨设为， 则这5个数字的平均数， 则，可知这3个数有2个1，1个2， 此时这5个数字的方差， 不合题意，故C错误； 对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意， 且中位数是2，众数是2，故BD正确； 故选：BD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设一组数据的方差为1.2，则数据，，…，的方差为______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据方差的性质运算即可. 【详解】因为的方差为1.2，则数据，，…，的方差为. 故答案为：6. 13. 若的方向向量为，平面的法向量为，且，则________． 【答案】4 【解析】 【详解】由，得的方向向量与平面的法向量平行， 则存在实数，使得， 则，解得. 14. 一个袋子中有4个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．已知取出的2个球都是红球的概率为，那么________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据古典概型公式列方程求解. 【详解】设事件“两次取出的都是红球”，则. 因为，所以， 所以，解得． 故答案为：6. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1） （2）人 （3） 【解析】 【小问1详解】 ， 解得 【小问2详解】 人数：人 【小问3详解】 记这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为， 16. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： （1）两个人都译出密码的概率. （2）两个人都译不出密码的概率. （3）恰有1个人译出密码的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先区分事件的关系，再利用对立事件的概率公式、独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式计算即可； 【小问1详解】 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B， A，B为相互独立事件，且，. 2个人都译出密码的概率为. 【小问2详解】 两个人都译不出密码的概率为. 【小问3详解】 恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出和甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件， 所以恰有1个人译出密码的概率为 . 17. 如图，在平行六面体中，，，是的中点，设，，． （1）若，求的值； （2）用，，表示； （3）求的长． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由空间向量基本定理及得， ，∴ 【小问2详解】 由是的中点，则， ∴； 【小问3详解】 ∵ ， ∴，即的长为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）证明：． （2）分别计算平面和平面的一个法向量． （3）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1）因为平面，且四边形是正方形，平面， 所以，，即，，两两垂直， 则以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 所以，所以． （2） 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， （答案不唯一） （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为，，， 则，令，得， 平面即平面，故是平面的一个法向量； 【小问3详解】 设平面与平面夹角为， 由（2）可知，， 所以， 因为，所以， 故平面与平面的夹角为． 19. 如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为为正三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2） （3）存在点，使得直线与平面所成的角为，且. 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，结合面面垂直的性质定理，得到平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，利用向量的夹角公式，列出方程求得，进而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：平面， 在菱形中，，，则为正三角形， 因为是的中点，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则, 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面所成的角的余弦值为. 【小问3详解】 解：假设存在点在线段上，设， 由，则，可得， 又由平面的法向量为， 因为直线与平面所成的角为，所以， 可得， 化简得，平方得，解得， 因为，所以存在满足条件的点，使得直线与平面所成的角为且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $