广东中山市中山纪念中学2026-2027学年高二上学期第一次段考数学试题

中山纪念中学2028届高二上学期数学科第一次段考试题 数学科答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 题号12345678 答案DBBCCBCA 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 ABD BD BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(←4U0,+om) 13.80 14、11 19 192 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15解：(1)记第一枚骰子点数为x,第二枚骰子点数为y,一个样本点(x,y)为样本空间如下： 2={《x,y)x,y∈{1,2,3,45,6}（也可以用列举法） …2分 2共有36个样本点： 设A=“两枚骰子点数之积为12”（不设事件，扣1分)，则A=“两枚骰子点数之积不为12”…4分， A={2,6,(3,4),(4,3),(6,2)},A包含了4个样本点， 根据古典概型，得：P4)=4= 369 所以：Pa)=1-P0=1-g9 18 6分 (注意，这一间也可以直接设B=“两枚骰子点数之和不为12”求解概率，但是一定要设事件，否则扣2 分) (2)M={1,2),1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6,(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6}，共包含 12个基本事件，N共包含15个基本事件，MN共包含5个基本事件 根据古典概型，P(MW)= 5 9分 36 P(M+N)=P(M)+P(N)-P(MN)= 12,552211 36'12363618 (不约分扣1分)13分 1/6 16.解：(1)由(0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010)×10=1,解得a=0.025;....4分 (2)因为(0.005+0.010+0.020)×10=0.35， (0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65,..5分 所以样本数据的第59百分位数在70,80)内，...6分 可得70+059035x10=78, 0.3 所以样本数据的第59百分位数约为78分；.··10分（没有作答，或者作答时，没有指出“约”“估计 值”等，扣1分) (3)因为样本数据落在50,60)的个数为0.1×100=10，...11分 落在60,70)的个数为0.2×100=20，...12分 所以x=,10x52+ 20 10+20 10+20 ×64=60,...13分 总方差2=，10 0+206+62-60]+0020B+(64-60]=3615分 17.解：()因为在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥AC,A4⊥AC,AA⊥AB, 所以分别以AB、AC、A4所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，·1分（建系分) 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),A(0,0,3),B1(2,0,3),C(0,4,3), 因为D是BC的中点，所以D(1,2,0), C1 因为4C=(0,4,0).4D=1,2,-3)，设平面AC,D的法向量=(x1,y,乙)， m·AC=0n∫4y=0 份40=0即+2%-3%=03分 则 x=3 取4=0，所以平面ACD的法向量2=(3,0,1)，...4分 (31=1 而DB1=(1,-2,3), 所以不两需3，（设有公式s瓦5，了吸 InIBI 一律扣2分).6分 2/6 所以直线DB与平面ACD所成角的正弦值为3N35 35….7分 (2)4B=(2,0,0),DB=(1,-2,3), 设平面B,4D的法向量n2=(x2,y2,z2), 则24级=0.即2=0 (%Dg=0'即 x2-2y2+3z2=0’ x2=0 取y2=3，平面B4D的法向量m=(0,3,2),..11分 22=2 由（①）知平面ACD的法向量=(3,0,1)， 所以c0s<h,n2>= 乃2-V130 产1方65，…13分（没有公式c0s<%,>= %·n2 一律扣2分) Imlnl 又因为二面角B,-AD-C为钝二面角， 二面角B-AD-C的大小的余弦值为-130 65 ...15分 18解：（1)设A=“甲获得冠军”，B=“乙获得冠军”…2分（每少设一个事件扣1分，扣完2 分为止) Pa=3x2x3-27 44464 3分 由于剩下的七支队伍获得冠军的概率相等4分， 所以7P(B)=P(a=1-P0=3 4 所以P(B)=37x1=37 647448 .5分 (2)不妨设甲队在编号1的位置，设A=“甲、乙两队在第i轮（其中i=1,2,3)相遇” 4发生等价于乙B队在编号2的位置，所以P4)= ，6分 A,发生等价于乙队在编号3,4的位置，且甲和乙分别战胜第一轮的对手， 2.3.13 所以P(42)=三××5 74228 ，8分 A发生等价于乙队在编号5,6,7,8的位置，且甲和乙分别战胜第一轮和第二轮的对手， 3/6 所以%))=品 ..10分 (3)由(1)可知，甲获得冠军的概率为P(4)=3×2×2=27 44464’ 设W=“甲与乙、丙两队都对决过且甲获得冠军”，设A=“甲获得冠军” 记甲等可能地遇到剩余的七支球队，为方便起见，设M,=“甲遇到第i支球队 (i=1,23,45,6,7）”… .12分 其中M1表示甲队遇到乙队，M,甲队遇到丙队， 甲获得冠军且在三场对决中可能碰到的队伍情况构成的集合为： S={AM,M,M≤i<j<k≤7} 35个事件，且这35个事件的概率相等，因此PAM M M4)=4×?51≤i<j<k≤ .14分 因为W={AM,M,Mk3≤k≤7} P(W)=P(AM M,M)+P(AM M,M)+P(AM M2Ms)+P(AM M,Ms)+P(AM M,M)= 27x1x5=27 -X- 6435 448 17分 z● 19.解：(1)延长AA,BB,CC,交于点S,四面体S-ABC为 正四面体，其棱长为4，高为4W6 C 1 B1 以AB中点O为坐标原点，以OB,OC分别为x,y轴，建立如 --- 图所示的空间直角坐标系… …1分（建系 分) 则平面ABC的法向量=(0,0,1)2分 则4-2a0,ea0,c0a50.s025.4g5). 4/6 a 时5525.e=-e25 ,23V6、 3分 √6 设DE与平面ABC所成角为8，则sin8={ .DE.n 3 .5分 DEn √6 3 (2)①连接CD并延长，交CA的延长线于M,则M,P,Q三点共线，依题意，AM=26分 设BP=6Bg =t, =S,因为△4BC面积是△PBQ面积的8倍， BA BC 1 所以st= P 7分 A C 根据BP=tBA B1 M---- 得：d=1-)cB+iCa=Q-C巴+24cd P 1-53 因为M,P.Q三点共线，所以-+2=1…9分 1-53 1-t+2=1 1 联立 1-53消去s,得8x2+21-3=0,解得1=或-3（舍去) 1 4 st=- 8 所以 BP 1 11分 BA 2 ②由①知：P为AB中点0，平面a即为平面ODM12分 设平面ODM的法向量为m=化，y2.0心=(5,5,0iM=(3,-5,0 2’6’3 m10D,m.0D=0 L3x+5v+6z= 一X十 -z=0 → 263 13分 m⊥OMm.0M=0-3x-3y=0 令x=V3,得：y=-3,z=-32 5/6 m=(5,-3,3√2）).15分 平面ABC的法向量n=(0,0,1)· 设x与平面4，B,C,的夹角为82，则cos82=cos<m,i>= m.3W2√15 列 √30 5 17分 6/6 中山纪念中学2028届高二上学期数学科第一次段考试题 满分150分，考试时长120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50.从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 6667403714640571 1105 65099586687683203790 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是( ） A. 37 B.20 C.05 D.09 2.从有3个男生和2个女生的小组中任选2人去参加活动，则至少有一个女生参加的概率为 A. B. C. D. 3.一组数据如下：1：4，-4，x，7，8(其中x≠7)，若该组数据的平均数是众数的 倍，则该组数据的第60百分位数是 A. 4 B. 7 C. 8 D. 12 4.如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位： kg)，其频率分布直方图如图(左图为旧养殖法，右图为新养殖法)：根据频率分布直方图，下列说法正确的是 ①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值； ②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值； ③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值； ④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍. A. ①②③ B. ①③④ C.②③④ D.①④ 5.已知样本数据x₁, x₂, …, x2026的平均数和方差分别为a，b，样本数据y₁，y₂，…，y₂026的平均数和方差分别是b，a若 则 为 A.72 B.74 C.12 D.14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6.若随机事件A，B满足 则P(A)= ( ） B. C. 7.如图，二面角α-l-β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱l.若二面角α-l-β的平面角为π/3，且AB=4, AC=6, BD=8, 则CD的长度为 A.2 8.如图，水平放置的正方形ABCD边长为1，先将正方形ABCD绕直线AB向上旋转45°，得到正方形ABC₁D₁，再将所得的正方形绕直线BC₁向上旋转60°得到正方形A₂BC₁D₂，则平面A₂BC₁D₂与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数.记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”, 则 A. A与B 相互独立 B. A与D相互独立 C. B与C为互斥事件 D. C与D为互斥事件 10.已知在三棱椎P-ABC中,PA,AC,AB两两垂直, 且PA=AC=AB=2, E为BC的中点, F为PC的中点，则 B.异面直线 AF 与 BC所成角的大小为60° C.直线AF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 D.点A 到平面PBC 的距离是 11.如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中, M, N分别是线段A₁B ,B₁C₁上的点,且. 设 且均为单位向量 若∠BAC=90°, 则 A. AB与B₁C₁的夹角为60° 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量 若向量 与 所成角为锐角，则实数t的取值范围为 . 13.已知三棱锥P-ABC 的体积为10，M 是空间中一点， 则三棱锥A-MBC 的体积是 14.如图, 图中共有10个交汇点: A₁B,C,D,E,F,G,H,P,Q.已知质点甲在P地, 质点乙在Q地，若每经过一次移动，两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点，则同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的骰子. (1)用适当的方法表示上述随机试验的样本空间，并求两枚骰子点数之积不等于12的概率； (2)记：M=“两枚骰子点数之和能被3 整除”，N=“蓝色骰子点数大于黄色骰子点数”，求P(M+N),P(MN) 16.(15分)某学校为促进学生对传统文化的了解程度，举办了“传统文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本。将样本数据(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50),[50,60),…,[90,100], 并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)请估计样本数据的第59 百分位数； (3)若落在[50,60)中的样本数据平均数是52,方差是6;落在[60,70)中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数x和方差s². 17.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,已知AB⊥AC ,AB=2,AC=4, . D 是线段BC 的中点. (1)求直线DB₁与平面A₁C₁D 所成角的正弦值； (2)求钝二面角.B₁﹣A₁D﹣C₁的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18.(17分)在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局.现有8支球队随机编号到对阵位置(如右图示)，已知甲、乙，丙三队参赛 甲队对战任何一队获胜的概率均为 ，除甲队外，其余所有球队在与对另一球队在对决中获胜的概率均为 比赛没有平局。 (1)分别求甲队和乙队获得冠军的概率； (2)分别求甲、乙两队在第i轮(其中i=1,2,3)相遇的概率； (3)求甲队与乙、丙两队都对决过且甲队获得冠军的概率。 19.(17分)如图，在正三棱台 中， D, E 分别为 的中点. (1)求DE与平面ABC 所成角的余弦值； (2)设P, Q分别为棱AB, BC上的点,且( D, P , Q均在平面α上,若 面积是 面积的8倍，①求 ②求α与平面. 夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $