精品解析：贵州贵阳市第一中学2026-2027学年第一学期高三年级质量监测（二）数学试卷

贵阳一中2026—2027学年第一学期高三年级质量监测（二）试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的． 1. 样本数据5，8，9，10，12，14的下四分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】样本容量为6，，所以下四分位数为第二个，即下四分位数为8. 2. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则求得复数，可求得. 【详解】因为， 所以，则. 故选：C. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为或，故. 故选：D. 4. 在中，已知三边，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合余弦定理可求. 【详解】由余弦定理的推论得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A. 5. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线线和抛物线方程，设，由韦达定理求出，再结合抛物线焦点弦长公式即可求解. 【详解】由题，所以直线的方程为，代入得， 设，则， 所以， 所以. 故选：C 6. 为了迎接成都西博城人工智能展，主办方将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务，若每组去一个场馆，且每个场馆都有人服务，则甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分组分配的求法求出6人分3组，再分配到3个不同的场馆的分配种数，减去甲乙在同一个馆服务的情况即可求解. 【详解】将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务， 共有种方案， 甲、乙在同一个场馆服务的分配方案有种方案， 所以甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有种方案. 7. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由利用倍角公式得，再由同角平方关系得， 又，利用两角和的正弦公式可得. 【详解】， 因为，，又，所以， 故，故， ， 故选：D 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的正负性，进而得出，再构造函数，研究其最小值即可. 【详解】令，则， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 由，知，所以， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在当上单调递增， 所以，故的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列{an}满足，，设其公比为q，前n项和为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件可求出，，进而可得通项公式和前n项和，进而可判断A，B，C，再由作差法判断D. 【详解】对于A，由，得，所以，A正确； 对于B，又因为，所以，故，所以， B正确； 对于C，，所以， C错误； 对于D，因为，因为且，所以，即，D正确. 故选：ABD 10. 设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解析式为 C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为奇函数，为偶函数，整理得到的解析式；根据的函数类型，结合函数的单调性即可分析在区间的单调性；结合函数的性质，即可求得的最大值. 【详解】为奇函数，， ，即； 为偶函数，， ，即. 联立，解得. ， 故是一个二次函数，其二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为. 在上单调递增，在上单调递减； 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由在上单调递增，且，在区间上单调递增，故C正确； 对于D，，二次项系数，得时，取得最大值，此时，故D正确. 11. 双曲线的左､右焦点分别为F₁，F₂，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为，，的内切圆的圆心为I，过作直线PI的垂线，垂足为D，则（ ） A. 若PI的延长线交x轴于点N，则 B. 点D的轨迹在圆上 C. 若则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】设椭圆，利用椭圆的定义与双曲线的定义计算可判断A；过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，利用中位线定理可得点的轨迹在以为圆心，半径为的圆上判断B；由内切圆性质易得，判断C项；由，可得为直角三角形，结合双曲线、椭圆的第一定义，勾股定理，可判断D项. 【详解】对于A，设椭圆. 根据定义， 由角平分线的性质，（无恒等关系），故A错误； 对于B，过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，由内切圆及垂线性质可知，，则为中点且，连接， 由中位线定理可知， 故点的轨迹在以为圆心，半径为的圆上，故B正确； 对于C，若，则等价于，即， 又为双曲线的离心率，所以，故，而,故, 所以，故C错误； 对于D，若，设椭圆的长半轴长为，由， 可知为直角三角形，， 因为，即，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据推知的值，然后把向量用坐标表示出来，再代入模长公式：计算即可. 【详解】因为 故答案为： 13. 若函数在处有极值，则的极大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用极值点求出参数，进而求出极大值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数在处有极值，得，解得， 则，， 当或时，；当时，， 因此函数在处取得极大值，在取得极小值， 所以函数的极大值为. 14. 已知正方体的棱长为2，以为轴的圆柱在正方体内部，且圆柱的底面所在平面截正方体所得截面为三角形，则该圆柱体积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件确定圆柱的底面所在平面截正方体所得的截面为正三角形，该正三角形的内切圆即为圆柱的底面，再求出圆柱的体积函数关系，利用导数求出最大值. 【详解】如图，连接，由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 而平面，于是，同理，平面， 因此平面，设以为轴的圆柱的一个底面所在平面截正方体所得的截面为， 则平面，平面平面，显然为正三角形， 设，则，正内切圆半径， 点到平面的距离， 而，则圆柱的高， 圆柱的体积， 求导得，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递增，， 所以该圆柱体积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋ （1）求f(x)的最大值及取得最大值时x的值； （2）若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值． 【答案】（1）x＝π＋kπ(k∈Z)，最大值为1；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数f(x)解析式，由正弦函数的性质可得答案. （2）求出函数f(x)的对称轴，得到x1与x2的关系，利用诱导公式化简可得答案. 【详解】（1）f(x)＝cos xsin x－ (2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin. 当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1. （2）由（1）知，当x∈(0，π)时，函数f(x)图象的对称轴为x＝π. 又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2. 所以x1＋x2＝π，则x1＝π－x2， 所以cos(x1－x2)＝cos＝sin， 又f(x2)＝sin＝， 故cos(x1－x2)＝. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，考查正弦函数的图像与性质，属于中档题. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为4，E为AB的中点， 平面. （1）若为等边三角形，求四棱锥的体积； （2）若CD的中点为F，与平面所成角为，求与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据棱锥的体积公式可求解； （2）由线面角的定义得为与平面所成的角，根据异面直线所成的角的定义可得或其补角即为与所成角，利用解三角形知识可求解. 【小问1详解】 ∵正方形的边长为4，且为等边三角形，E为的中点， ∴ 又平面.， ∴四棱锥的体积 【小问2详解】 连接EF，∵平面， ∴为与平面所成的角，即，∴为等腰直角三角形， ∵E，F分别为，的中点，∴，∴， ∵，∴或其补角即为与所成角， ∵平面，平面，∴， 又，，平面， ∴平面，平面，∴， 在中，，. 所以与所成角的余弦值为. 17. 设函数，． （1）若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数． 【答案】（1） （2） 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 【解析】 【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数a的取值范围； （2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数. 【小问1详解】 由题意，函数的定义城为． 在上单调递减，在上恒成立， 即当恒成立，． 当，当且仅当时取等号， 当时，． 的取值范围为． 【小问2详解】 显然不是的零点，． 令且，则， 由， 在上单调递减，在上单调递增， 在上时，有极小值；在上时，． 的图象如图： 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 18. 某实验小组有两套实验装置A和B．每次实验时，若当前使用的装置实验成功，则下一次继续使用该装置，若实验失败，则下一次自动切换至另一装置，每个装置的工作相互独立．已知A装置实验成功的概率为，B装置实验成功的概率为．实验成功记1分，失败记0分，第1次实验使用装置A． （1）求前三次实验中总得分为2分的概率． （2）设为第次实验使用A装置的概率． （i）求； （ii）已知：若随机变量服从两点分布，且，，，…，，则．记为前次实验中使用A装置实验的次数，求． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用乘法公式计算即可； （2）（i）根据题意得到递推关系，再构造等比数列得出；（ii）利用随机变量期望的概念求解期望即可. 【小问1详解】 设前三次实验中总得分为2分为事件A，则 【小问2详解】 （i）由题意可知：，且， 可得，且， 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 则，所以； （ii）由题设随机变量，当时，表示第次使用装置实验， 当时，表示第次不使用装置实验，则， 所以． 19. 已知点为椭圆上一点．过原点的直线交椭圆于，两点（异于点），且直线与直线的斜率都存在，分别为，， （1）求证：为定值． （2）若， （i）求三角形面积的最大值． （ii）若点，在椭圆上，且，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 【答案】（1）由题意：直线过原点，设，， 则， 所以得：． 又因为点，在椭圆上， 即：，， 所以两式相减得： 所以：为定值． （2）（i）（ii）． 【解析】 【分析】（1）设，，，，结合椭圆方程可得；（2）由（1）可得，结合点在椭圆上可得到椭圆方程；（i）方法一：设直线为斜率，建立面积与斜率的函数关系，然后求解函数最值即可.方法二：建立面积与横坐标的函数关系，然后求解函数最值即可. （ii）通过直线方程与椭圆方程联立，可得的方程为，于是直线过定点，由，得点轨迹是以线段为直径的圆（不包含点），于是可得轨迹方程为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点在椭圆上： 由得，即： 解得，，椭圆方程． （i）法一：设则面积为，点到直线的距离为 1）若直线不存在斜率，易得面积 2）若直线存在斜率，不妨设斜率为，则直线方程为，与椭圆联立得：，解得不妨设 ，， ． 讨论，整理为关于的一元二次方程 当时，. 当时，， 即，解得，所以. 当时，取得最大值3，此时面积取得最大值 综上，三角形面积最大值为． 法二：三角形面积 因为， 则 所以， 当且仅当，即时，即时，面积最大值为． （ii）设点，， 若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据，，代入整理可得： ， 所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以， 故，， 于是的方程为， 所以直线过定点直线过定点． 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍）． 此时直线过定点． 所以，即点轨迹是以线段为直径的圆（不包含点）． 易得圆心为，半径平方为 即点轨迹方程为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳一中2026—2027学年第一学期高三年级质量监测（二）试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的． 1. 样本数据5，8，9，10，12，14的下四分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知三边，，满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向为，，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了迎接成都西博城人工智能展，主办方将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务，若每组去一个场馆，且每个场馆都有人服务，则甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 18种 7. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列{an}满足，，设其公比为q，前n项和为，则（　　） A. B. C. D. 10. 设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解析式为 C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为 11. 双曲线的左､右焦点分别为F₁，F₂，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为，，的内切圆的圆心为I，过作直线PI的垂线，垂足为D，则（ ） A. 若PI的延长线交x轴于点N，则 B. 点D的轨迹在圆上 C. 若则 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则_______. 13. 若函数在处有极值，则的极大值为________． 14. 已知正方体的棱长为2，以为轴的圆柱在正方体内部，且圆柱的底面所在平面截正方体所得截面为三角形，则该圆柱体积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋ （1）求f(x)的最大值及取得最大值时x的值； （2）若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为4，E为AB的中点， 平面. （1）若为等边三角形，求四棱锥的体积； （2）若CD的中点为F，与平面所成角为，求与所成角的余弦值. 17. 设函数，． （1）若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数． 18. 某实验小组有两套实验装置A和B．每次实验时，若当前使用的装置实验成功，则下一次继续使用该装置，若实验失败，则下一次自动切换至另一装置，每个装置的工作相互独立．已知A装置实验成功的概率为，B装置实验成功的概率为．实验成功记1分，失败记0分，第1次实验使用装置A． （1）求前三次实验中总得分为2分的概率． （2）设为第次实验使用A装置的概率． （i）求； （ii）已知：若随机变量服从两点分布，且，，，…，，则．记为前次实验中使用A装置实验的次数，求． 19. 已知点为椭圆上一点．过原点的直线交椭圆于，两点（异于点），且直线与直线的斜率都存在，分别为，， （1）求证：为定值． （2）若， （i）求三角形面积的最大值． （ii）若点，在椭圆上，且，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $