精品解析：贵州黔东南州、安顺市部分学校2026-2027学年高三上学期10月学科素养训练数学试题

高三数学学科素养训练 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，则. 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 即，所以. 4. 已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】根据抛物线的几何性质，因为点为抛物线上的一点，抛物线的准线为，所以， 因此解得. 5. 记是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】由于为等比数列，所以， 令，则，从而， 从而. 6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数， 【详解】因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 7. 已知圆，直线，若直线上存在一点，使得以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为圆心到直线的距离问题，再由点到直线的距离公式可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 若直线上存在一点，使得以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 即，解得. 8. 方程在上的根的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据指数函数值域确定缩小的范围，再通过构造函数结合单调性、零点存在性定理判断根的个数. 【详解】因为对任意实数恒成立，且，所以，因为，，所以， 在区间上，不可能与正数相等，无需额外讨论. 设函数，则方程的根的个数，等价于函数的零点个数. （1），根据复合函数“同增异减”法则，在上单调递减，底数，因此单调递减， 在上单调递增，因此单调递减，两个减函数相加仍为减函数，因此在上严格单调递减， ,，， 因为函数严格递减，所以仅在处取得1个零点，开区间内，无其他零点. （2），， 设，则， ，故； ，故，结合，故； ， 三个正数相加，因此在上恒成立，所以在上严格单调递增， ， 当时，，因此， 又严格单调递增的性质，由零点存在定理可得存在唯一的点，使得， 因此的单调性为当时，，严格递减，当时，，严格递增， ，，， 当时，，因此， 在上，，无零点； 在上，从极小值（负数）严格递增到趋于正数，由零点存在定理，有且仅有1个零点. 所以在内有且仅有1个零点. 综上，在内有1个零点（），在内有1个零点；在内无零点，所以在上共有2个零点， 因此方程在上共有2个根. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 是公比为2的等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用等差数列通项公式和前n项和公式，结合已知条件求出首项和公差，得到、的表达式，再逐一验证各选项. 【详解】对于选项A：设等差数列公差为，由题意得，化简第二个方程得，代入第一个方程解得， 故，A正确； 对于选项B：前项和，为正整数，故，B正确； 选项C：， 所以 ， 即 ， C正确， 选项D：，，故是公比为4的等比数列，D错误. 10. 双曲线的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过点，与的左、右两支分别交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 的渐近线方程是 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，是线段的三等分点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的性质，韦达定理等注意判断即可. 【详解】如图所示； 选项A：由题知，，，则的渐近线方程，A正确. 选项B：方法一； ，点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，不满足题意， 当斜率存在时，设直线的方程为， 当时， 由，，则点的坐标为， 同理得点的坐标为， ，点为的中点，，，， 当时，由对称性得， ，B错误. （方法二；由对称性可知，满足条件的若存在，必然有两个值，故B错误.） 选项C： ，点在的垂直平分线上，设点的坐标为，点为的中点，点的坐标为， 由，，由韦达定理得，， ，， 又，， 由， ， 由弦长公式得，C错误. 选项D： ，是线段的三等分点，，， ，， ， ，， 又，D正确. 11. 已知定义域为的函数在区间上单调递增，且满足，，，则（） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由推出函数图象关于点中心对称，求得；由推出函数图象关于直线轴对称；联立两个对称性质推导得出数周期为，结合已知区间的单调性，推导出各区间的单调性与特殊点的函数值；选项A：代入特殊值直接验证的值；选项B：利用周期性将转化到已知单调性的区间内，结合区间单调性比较函数值大小；选项C：判断与所在区间，分别对应单调性比较函数值，判断大小关系；选项D：先计算一个周期内的函数值之和，再根据总项数与周期的关系分组求和，得到累加结果. 【详解】由，得的图象关于点中心对称， 令得，且. 由，得的图象关于直线轴对称. 联立得，故，函数周期为. 因为在上单调递增，且该函数为偶函数，故该函数在上递减， 又因为函数的图象关于点对称，所以函数在上递减，在上递增， 因为，所以，，， 选项A：令代入，得，即，A正确. 选项B：，由周期得. 由，得，即. 因为在上单调递增，由得，即，B正确； 选项C：由，得，，且. 因为在上单调递减，故； 由于在上单调递减，故，因此，C错误. 选项D：一个周期内的函数值和为. 因为，所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为奇函数，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，可得，可得a值，代入检验，即可得答案. 【详解】因为为奇函数，，所以，解得， 当时，， 此时，符合题意. 13. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由倍角公式和同角三角函数的基本关系，计算即可. 【详解】已知，∴＝. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题. 14. 《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一种类似隧道形状的几何体．如图，在“刍甍”中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且，则这个几何体的外接球的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由几何体的前后、左右对称性，确定外接球球心在过底面正方形中心且垂直于底面的对称轴上；计算底面正方形的外接圆半径，结合顶面与底面的边长差、等边三角形的边长条件，求出几何体的高；设球心到底面的距离为变量，根据底面顶点与上棱顶点到球心距离相等列方程，求解得到外接球半径，代入球的表面积公式计算结果. 【详解】该几何体左右、前后均对称，外接球的球心必在过底面正方形中心且垂直于底面的对称轴上， 因为底面是边长为的正方形，其对角线交点为（底面外接圆圆心），则底面外接圆半径. 设中点为，设点在底面的投影为. 因为平面且，，可知. 因为是边长为的等边三角形，所以， 在底面投影中，，故； 由勾股定理，几何体的高. 设中点为，则在对称轴上，，且. 设球心为，，则. 由外接球半径相等，得 ， 即 ，解得. 因此外接球半径， 外接球表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求与的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，及两角和的正弦公式即可求解； （2）先根据三角形面积公式得到，再根据余弦定理得到，进而联立即可得到与的值． 【小问1详解】 由， 则， 由正弦定理，得， 即， 因， 则， 又因，则，可得， 故得. 【小问2详解】 由，解得①， 又，由余弦定理，得，即②， 联立①，②，解得，． 16. 如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，为的中点，平面． （1）证明：平面． （2）为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为D为的中点，，所以． 平面，平面， 所以， 因为平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面，得出 ，再应用线面垂直判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，最后应用线面角坐标公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，故， 则，， 又因为，所以，为棱的中点，所以， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即，令，得． 设与平面所成角为，因为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 17. 某学校为激发学生的科学好奇心、探索求知欲与创新创造潜能，夯实其基础科学素养，开展了“青少年科普知识”测试，从所有参赛学生中随机抽取了100人的成绩作为样本，按照，，，分组，得到如图所示的样本频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计本次测试成绩的第三四分位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）． （2）从测试成绩在内的学生中选出参加全市青少年创新大赛的选手，现有6道备选题，每名学生从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才有资格参加全市青少年创新大赛．现有甲、乙两名同学参加选拔，在这6道题中，甲能答对4道，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中参加全市青少年创新大赛的人数为，求的分布列及期望． 【答案】（1）第三四分位数为，平均数为 （2）分布列为： P 期望为 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的计算方法即可计算第三四分位数；根据频率分布直方图中平均数的计算方法即可计算平均数； （2）先根据古典概型的概率公式以及独立重复试验的概率公式分别求出甲、乙两人获得参赛资格的概率；再分析随机变量的可能取值，从而计算出随机变量在不同取值下的概率，进而求出分布列和期望． 【小问1详解】 第三四分位数即第百分位数， 由前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 则第三四分位数位于内，且设为， 则，解得， 所以估计本次测试成绩的第三四分位数为； 估计本次测试成绩的平均数为． 【小问2详解】 设事件为甲获得参赛资格，事件为乙获得参赛资格． 则，． 由题意可知随机变量的可能取值有，，， ， ， ． 故的分布列为： P 所以． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，令，证明：当时，． 【答案】（1） （2）当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）当时，， ，定义域为， 由，得，， 故只需证明， ，在上单调递增， ，， 所以存在唯一，使得，变形得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ， 因为，所以，，即， 所以，即， 又，所以， 即当时，. 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义结合点斜式方程即可求出切线方程； （2）求出导函数，因式分解后按照或分类讨论，根据导函数的符号变化求得单调区间； （3）先化简，结合对不等式放缩，构造函数，求导后利用隐零点找到最小值点，代入化简求出函数最小值，证明最小值大于即可完成证明. 【小问1详解】 ， ， ， 切点，斜率， 切线方程：， 即. 【小问2详解】 ， ， 恒成立，只需看， ①若：， 在上单调递减； ②若：令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上：当时，在单调递减； 当时，在单调递减；在单调递增. 【小问3详解】 略. 19. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求的方程． （2）记的左、右顶点分别为，，，是上异于，的两点，且直线与坐标轴不平行，设点关于原点对称的点为，直线与交于点，直线与交于点． （i）若直线与的斜率之积为，证明：直线过定点． （ii）在上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，求出该值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）易知右顶点，设， 设直线的方程为. 联立方程组，消去得， 所以， 由韦达定理，（*）. 设直线与的斜率分别为， 则， 整理可得. 将（*）代入上式可得， 即， 化简可得，解得， 即当时，直线的方程为，所以直线过定点； （ii）存在点，使得的面积为定值 【解析】 【分析】（1）利用离心率得到及的关系，再将点代入椭圆方程求解即可； （2）（i）设出直线的方程，联立直线与椭圆组成的方程组，由韦达定理得到，并将其代入直线与的斜率所满足的关系式中，化简整理即可； （ii）根据对称性得到点的坐标，进而得到直线，的方程，联立两直线组成的方程组，求出点的坐标及直线的方程，再联立直线和的方程，得到点在定直线上，即可分析出使得的面积为定值的点的位置，再求出的面积即可. 【小问1详解】 由离心率为，可得，所以. 将代入椭圆方程，可得， 将其与联立，解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由于点和点关于原点对称，则， 所以直线的方程为， 直线的方程为. 设， 则，得， 整理可得， 所以， 即直线的方程为. 设点的横坐标为， 联立直线和的方程，可解得， 即点在定直线上， 则使得的面积为定值的点一定为过点且与直线平行的直线与椭圆的交点， 此时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学科素养训练 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 记是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 7. 已知圆，直线，若直线上存在一点，使得以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 方程在上的根的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 是公比为2的等比数列 10. 双曲线的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过点，与的左、右两支分别交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 的渐近线方程是 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，是线段的三等分点，则 11. 已知定义域为的函数在区间上单调递增，且满足，，，则（） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为奇函数，则_______． 13. 已知，则________ 14. 《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一种类似隧道形状的几何体．如图，在“刍甍”中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且，则这个几何体的外接球的表面积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求与的值． 16. 如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，为的中点，平面． （1）证明：平面． （2）为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某学校为激发学生的科学好奇心、探索求知欲与创新创造潜能，夯实其基础科学素养，开展了“青少年科普知识”测试，从所有参赛学生中随机抽取了100人的成绩作为样本，按照，，，分组，得到如图所示的样本频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计本次测试成绩的第三四分位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）． （2）从测试成绩在内的学生中选出参加全市青少年创新大赛的选手，现有6道备选题，每名学生从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才有资格参加全市青少年创新大赛．现有甲、乙两名同学参加选拔，在这6道题中，甲能答对4道，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中参加全市青少年创新大赛的人数为，求的分布列及期望． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，令，证明：当时，． 19. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求的方程． （2）记的左、右顶点分别为，，，是上异于，的两点，且直线与坐标轴不平行，设点关于原点对称的点为，直线与交于点，直线与交于点． （i）若直线与的斜率之积为，证明：直线过定点． （ii）在上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，求出该值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $