精品解析：贵州省贵阳市第一中学2024届高三上学期高考适应性月考（二）（10月）数学试题

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求集合，再求集合的交集. 【详解】，得或，即或， ，所以. 故选：A 2. 设，则函数的最小值为（ ） A. 0 B. C. -1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】设，，则， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 3. 已知的展开式中的系数为25，则展开式中的偶次方的系数和为（ ） A. 16 B. 32 C. 24 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】应用二项式定理确定展开式中含的项求出参数值，再应用赋值法求偶次方的系数和. 【详解】由展开式通项为，， 令，则；令，则； 所以的展开式中含的项为， 即，故， 设， 令，则， 令，则， 两式相加得. 故选：D 4. 已知函数满足，若函数与图象的交点为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设易知与关于对称，利用对称性有，即可得答案. 【详解】由，即关于对称，而也关于对称， 所以与在两侧交点个数相同，且一侧交点在另一侧均有对称的交点存在， 所以，故. 故选：B 5. 函数的定义域为，对任意，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造，利用导数研究单调性结合，即可求原不等式的解集. 【详解】令，则在上恒成立， 所以在定义域上递减，而， 所以原不等式即为，可得， 故原不等式解集为. 故选：C 6. 已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. -4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案. 【详解】设弦与椭圆交于，，斜率为， 则，，相减得到， 即，解得. 故选：A. 7. 已知数列中，，且为数列的前项和，记，则数列的（ ） A. 最小项为 B. 最大项为 C. 最小项为 D. 最大项为 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列性质得是公差为2的等差数列，写出通项公式和前n项和公式，进而有，利用导数研究其单调性并列举前几项，即可得答案. 【详解】由且，易知：是公差为2的等差数列， 所以，则， 故，令且， 所以恒成立，故在上递增， 由，故无最大项，最小项为. 故选：A 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造且，利用导数研究单调性比较大小，根据三角函数线知时有，比较大小，即得答案. 【详解】令， 设且，则， 令，则，所以单调递增， 则，故单调递增，所以， 故在上恒成立，则，即， 由三角函数线，时有，则，即. 综上，. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用放缩有、，构造研究单调性，及三角函数线知时比较大小. 二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 点是函数图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的值域为 C. 是图象的一条对称轴 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设中函数图象的性质可得，再根据正弦型函数的性质判断各项的正误. 【详解】由题意，，且，且， 又，则，故，值域为， ，即是一个对称中心， 由，则，故在上单调递增. 所以A、B、D正确，C错误. 故选：ABD 10. 某工厂为了了解一批产品的质量，从中随机抽取了100件产品测量其长度，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则（ ） A. B. 估计产品长度的样本数据的分位数是 C. 估计产品长度的样本数据的众数是 D. 估计产品长度的样本数据的平均数是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率和为1计算A正确，确定分位数位于内，计算得到B正确，根据众数定义计算得到C正确，计算平均数得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：，解得，正确； 对选项B：长度在以下的比例为， 长度在以下的比例为， 故分位数位于内，设为，则，解得， 正确； 对选项C：产品长度的样本数据的众数是，正确； 对选项D：平均数为，错误. 故选：ABC. 11. 有3台机器生产同一种零件.第1台机器加工的次品率为10%，第2，3台机器加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起.已知三台机器生产的零件数分别占总数的20%，35%，45%，则下列选项正确的有（ ） A. 任取一个零件是第一台机器生产出来的次品概率为0.02 B. 任取一个零件是次品的概率为0.084 C. 如果取到的零件是次品，且是第2台机器生产的概率为 D. 如果取到的零件是次品，且是第3台机器生产的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用乘方公式、全概率公式求第一台机器生产出来的次品概率、次品的概率，再由条件概率含义，应用古典概型的概率求法求次品条件下第2、3台机器生产的概率. 【详解】A：任取一个零件是第一台机器生产出来的次品概率为，对； B：任取一个零件是次品的概率为，对； C：如果取到的零件是次品，且是第2台机器生产的概率为，错； D：如果取到的零件是次品，且是第3台机器生产的概率为，对. 故选：ABD 12. 若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界，若存在.使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界，如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，下列说法正确的是（ ） A. 2是的一个下界 B. 有上界无下界 C. 有上界无下界 D. 有界 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数单调性计算最值得到AB正确，举反例得到C错误，根据三角函数有界性得到，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：在上单调递增，故，正确； 对选项B：，则，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，故函数在时有最大值为，无最小值， 即恒成立，正确； 对选项C：当趋近时，趋近，错误； 对选项D：，则，即恒成立，正确. 故选：ABD. 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用倍角正余弦公式及平方关系得到正余弦齐次式，由弦化切求值即可. 【详解】. 故答案为： 14. 已知抛物线在第一象限内的一点到抛物线焦点的距离为3，若为抛物线准线上任意一点，则当的周长最小时，直线的斜率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设可得，则，，若关于准线对称点为，由、的周长为，只需共线周长最小，进而求坐标，即可得直线斜率. 【详解】由抛物线在第一象限内的点到抛物线焦点的距离为3， 所以，即，则，， 若关于准线对称点为，则， 而的周长为， 要使的周长最小，即共线，此时， 若，则，即， 所以直线的斜率为. 故答案为： 15. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由解析式画出函数草图，将问题化为与有三个交点，数形结合求参数范围. 【详解】由函数解析式可得图象如下， 要使函数有3个零点，即与有三个交点， 由图知：或，即. 故答案为： 16. 已知对任意，都有，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用参变分离出恒成立，再利用恒成立，求解的最小值，即求出的取值范围. 【详解】根据题意可知，， 由，可得恒成立， 令，则， 现证明恒成立，设， ，当时，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故时，函数取得极小值即最小值，， 所以，即恒成立， ， ， 当且仅当（该方程显然有解）时取等号，所以，即. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，本题的关键是利用不等式的放缩，即利用，转化 ，求函数的最小值. 四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 由（1）可知，，则， 当时， ，成立，，成立， 当时， ， 即. 综上可知，，得证. 【解析】 【分析】（1）首先根据，，变形证明数列是等差数列，即可求通项公式； （2）首先根据（1）的结果，，再利用放缩法得，最后再求和，即可证明不等式. 【小问1详解】 当时，， 即， 由数列为正项数列可知，，又， 即数列是首项为1，公差为1的等差数列， 即，则， 当时，，当时，成立， 所以 【小问2详解】 略 18. 2024年3月4日，丰城市农业局在市委组织下召开推进湖塘-董家富硒梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业富硒梨高质量发展工作，集中资源、力量打造“富硒梨”公共品牌.丰城市为做好富硒梨产业的高质量发展，项目组统计了某果场近5年富硒梨产业综合总产值的各项数据如下：年份x，综合产值y（单位：万元） 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 综合产值 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 （1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测2024年底该果场富硒梨产业的综合总产值. 参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：； 参考数据： 【答案】（1） 由题设， 则，，， 所以，两个变量有强相关性， 故可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系. （2），175.64万元 【解析】 【分析】（1）首先算出，进一步分别算出，由此即可求得相关系数，进一步即可说明； （2）依次求出的值即可得回归方程，进一步代入即可预测. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），，， 所以， 当，则万元. 19. 已知函数，其中，设函数的反函数为. （1）记函数的导函数为，函数的导函数为，若存在满足，证明：； （2）若函数与函数的图象有两个交点，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：由题设，则，且， 若，则， 所以，得证. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设，对、求导，根据得，化简即可证结论； （2）问题化为与在第一象限有两个交点，研究与相切的情况求得，结合指数函数的图象性质确定参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由、关于对称，要使与的图象有两个交点且， 只需与在第一象限有两个交点即可，而， 若与相切且切点为，则， 所以，则，结合指数函数的图象性质： 若时与在第一象限有两个交点； 若时与在第一象限无交点； 综上，. 20. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2． （1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF； （2）若二面角A—EF—B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值． 【答案】（1） 取线段CF中点，连接OH、GH，如图， 由图1可知，四边形EBCF是矩形，，所以O是线段CE的中点， ∴且， 又且， ∴且 ∴四边形AOHG是平行四边形，则 由于平面，平面， ∴平面GCF． （2）. 【解析】 【分析】（1）取线段CF中点，连接OH、GH，可证明四边形AOHG是平行四边形，再由线面平行判定定理求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图1，，，折起后在图2中仍有， ∴即为二面角的平面角．∴， 以为坐标原点，，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，如图， 设，则、，， ∴，，， 设平面GCF的一个法向量， 由，得，取，则， 于是平面GCF的一个法向量， ∴， ∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为． 21. 已知椭圆的两焦点分别为是椭圆与轴的一个交点，且. （1）求该椭圆的方程及其离心率； （2）已知椭圆上点处的切线方程是；若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线，切点分别为，求的面积的最小值. 【答案】（1）且； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆性质得，应用余弦定理列方程求椭圆参数，即可得椭圆方程和离心率； （2）设，根据切线定义得到直线，联立椭圆消元得，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求、到直线的距离关于参数t的表达式，最后由面积公式得到的面积关于参数t的表达式，利用导数求最值. 【小问1详解】 由题设，且， 所以，则， 所以且离心率. 【小问2详解】 设，过的切线分别为，， 所以，，故直线， 联立椭圆消去x得：，则，则， 所以，则， 而到直线的距离， 所以面积，令， 则，故，故递增， 所以，故的面积的最小值为，当且仅当时取得. 【点睛】关键点点睛：第二问，设，应用切线方程定义求出直线的方程，联立椭圆方程并应用韦达定理得到三角形面积关于的表达式为关键. 22. 已知函数.令. （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数的两个极值点为，且，求证：. 【答案】（1） 时递减区间为，递增区间为； 时递减区间为，无递增区间； 时递减区间为，递增区间为. （2） 由题设且，则， 因为的两个极值点为，且，故在的两个零点为， 所以，且，则，， 所以 ， 要证，只需证， 即，即， 令，则，设且，只需证， 由，即在上递减，故，得证. 【解析】 【分析】（1）对求导，讨论、、判断导函数的符号确定单调区间； （2）问题化为在的两个零点为，由根与系数关系得，，，并整理，分析法化为证，构造且研究单调性比较大小即可. 【小问1详解】 由题设且， 则， 当时，上，递减；上，递增； 当时，上，递减； 当时，上，递减；上，递增； 综上，时递减区间为，递增区间为； 时递减区间为，无递增区间； 时递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问，把极值点问题化为在的两个零点为，应用韦达定理、根与系数关系得到，，，作差结合分析法化为证，最后构造函数研究单调性比较大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设，则函数的最小值为（ ） A. 0 B. C. -1 D. 3. 已知的展开式中的系数为25，则展开式中的偶次方的系数和为（ ） A. 16 B. 32 C. 24 D. 48 4. 已知函数满足，若函数与图象的交点为，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为，对任意，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. -4 D. 4 7. 已知数列中，，且为数列的前项和，记，则数列的（ ） A. 最小项为 B. 最大项为 C. 最小项为 D. 最大项为 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 点是函数图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的值域为 C. 是图象的一条对称轴 D. 在上单调递增 10. 某工厂为了了解一批产品的质量，从中随机抽取了100件产品测量其长度，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则（ ） A. B. 估计产品长度的样本数据的分位数是 C. 估计产品长度的样本数据的众数是 D. 估计产品长度的样本数据的平均数是 11. 有3台机器生产同一种零件.第1台机器加工的次品率为10%，第2，3台机器加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起.已知三台机器生产的零件数分别占总数的20%，35%，45%，则下列选项正确的有（ ） A. 任取一个零件是第一台机器生产出来的次品概率为0.02 B. 任取一个零件是次品的概率为0.084 C. 如果取到的零件是次品，且是第2台机器生产的概率为 D. 如果取到的零件是次品，且是第3台机器生产的概率为 12. 若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界，若存在.使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界，如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，下列说法正确的是（ ） A. 2是的一个下界 B. 有上界无下界 C. 有上界无下界 D. 有界 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，则等于__________. 14. 已知抛物线在第一象限内的一点到抛物线焦点的距离为3，若为抛物线准线上任意一点，则当的周长最小时，直线的斜率为__________. 15. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________. 16. 已知对任意，都有，则实数的取值范围是__________. 四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求； （2）设，数列的前项和为，证明：. 18. 2024年3月4日，丰城市农业局在市委组织下召开推进湖塘-董家富硒梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业富硒梨高质量发展工作，集中资源、力量打造“富硒梨”公共品牌.丰城市为做好富硒梨产业的高质量发展，项目组统计了某果场近5年富硒梨产业综合总产值的各项数据如下：年份x，综合产值y（单位：万元） 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 综合产值 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 （1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测2024年底该果场富硒梨产业的综合总产值. 参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：； 参考数据： 19. 已知函数，其中，设函数的反函数为. （1）记函数的导函数为，函数的导函数为，若存在满足，证明：； （2）若函数与函数的图象有两个交点，求的取值范围. 20. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2． （1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF； （2）若二面角A—EF—B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值． 21. 已知椭圆的两焦点分别为是椭圆与轴的一个交点，且. （1）求该椭圆的方程及其离心率； （2）已知椭圆上点处的切线方程是；若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线，切点分别为，求的面积的最小值. 22. 已知函数.令. （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数的两个极值点为，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $