26.4 实际问题与二次函数（第3课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4 实际问题与二次函数（第3课时）

一、教材分析

前两个课时分别解决了“求最值”和“利润最大”两类问题，自变量的意义都是可直接测量的量（边长、涨价数）。本课时引入第三类：拱桥、涵洞、喷泉、投篮这类实物与轨迹，抛物线就在眼前，但没有现成的函数解析式——要先把实物放进平面直角坐标系，从图中读出关键点的坐标，才能定出解析式，再让解析式反过来回答“船能不能过”“水落在哪里”。建系是本课独有的新动作，也是全课的枢纽：同一个拱桥，顶点放在原点，解析式只有两项；原点放在别处，式子立刻复杂。

学生卡壳集中在两处：一是建系后点的坐标读错，把“水面宽 10 m”当成横坐标 10（实际是 ±5）；二是解方程得到两个根后，不看图形位置随手取根，导致答案与实际不符。本课围绕“建系—读点—定式—回图检验”四个动作组织教学。

二、学情分析

26.1 到 26.3 节学生已经在坐标系里研究过二次函数，给解析式画图、给图读顶点都熟练，但“给实物自选坐标系”是头一回。上届教学记录显示：引例建系环节，把桥与水面的交点写成（10，−4）的一抓一把，两个班凑起来十三四个人，根源是没分清“宽度”与“横坐标”；代入求值环节，负根舍去这一步出错的也有七八个，他们不是不会解方程，而是没有回头对照图形的意识。

此外，学生解 a 为小数的方程（如 −3=−0.16x²）时，移项、开方的运算正确率约七成，开方后漏掉负根或只写正根的各有若干。当堂检测 6 题分层布置，前 3 题抓建系与读点，后 3 题抓建系方案的选择与回图检验，错误当堂暴露、当堂纠。

三、教学目标

1. 面对拱桥、涵洞、投篮等实物图，能说出建立平面直角坐标系的合理办法，并说出把顶点放在原点的便利之处。

2. 给定建好的坐标系，能从图中读出关键点坐标，代入求出抛物线的解析式，写出自变量的实际取值范围。

3. 能用求得的解析式回答实际问题（求宽度、高度、距离），解方程得到两根时能结合图形位置与实际意义取舍，并代入回验。

4. 能完整说出“建坐标系、求解析式、代入求值、结合实际作答”四步，并按四步书写解题过程。

四、教学重点与难点

重点：建立二次函数模型解决抛物线形实物问题。要练到“独立完成四步书写”，尤其读点一步，每题至少标出两个带单位的关键点。

难点：建系方案的选择与根的取舍。学生卡在两点：一是自己建系时不知把原点放哪，计算量陡增；二是解方程得两根后不回图对照。教学中先让学生对比“顶点在原点”与“原点在地面一端”两种建法的解析式繁简，再把每一次求根都规定为“先算两根、再回图挑根”。

五、教学环境与资源准备

拱桥、双龙桥两张照片（图 1、图 2）先存进投影，导入环节就要看；图 3至图 12 的题图打印件按检测小组配发，一组一套；检测练习纸每人一份，6 道题印好，必做与选做分开两栏；教材带九上，环节三归纳四步时要对照 26.4 节；直尺人手一把，建系画图用。

六、设计思想

这节课让学生先看实物再说函数：两张桥的照片引出“拱的轮廓线怎么用数表示”，把建系的必要性摆出来，再进拱桥例题。例题按“思考—问题1—问题2”三步走，每步只解决一个动作：先定坐标系，再定解析式，最后让水位变化出新问题。船过桥的练一练把“代入求值”变成“判断能不能”，学生必须自己找到检验的位置（船最外沿 x=±2）与检验的高度（物资顶部距水面 2 m），这是全课思维含量最高的一步。检测 6 题覆盖校门、涵洞、喷水、护栏、小球、隧道六种实物，建系方案各不相同，用来检验学生能否迁移。全课反复回图：每个根都要指给图看。

七、教学过程（共六个环节，45分钟）

环节一 复习导入（约4分钟）

图 1 拱桥

图 2 多孔拱桥

师：看两张照片：桥拱的轮廓、桥洞的上沿，都是什么形状？生活中还有哪些抛物线形的物体或轨迹？

生1：喷泉的水柱、投出的篮球、喷水池的水流，都是抛物线。

追问：这些曲线要拿来计算，第一步该做什么？

生2：把它放进平面直角坐标系，变成函数图象来研究。

师：对，建系是把实物翻译成数学的第一步。今天就从一座拱桥算起。（板书课题）

环节二 情境探究：拱桥问题（约10分钟）

引例

一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m。突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少？