26.4 实际问题与二次函数 第3课时 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

26.4 实际问题与二次函数

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2026）

课时

第3课时

课型

新授课

教学目标

（1）能对拱桥等实际问题的情景进行分析，建立二次函数模型并用二次函数知识求解，能根据实际意义检验结果是否合理；

（2）经历用二次函数解决实际问题的过程，体验数学建模思想，学会用数学方法观察、研究、解决实际问题。

教学重点

把实际生活中的最值（拱桥载荷）问题转化为二次函数的最值问题。

教学难点

读懂题意、找出相关量的数量关系、正确建立坐标系与函数模型。

教学方法

情境探究、建系建模、数形结合、合作归纳

教学准备

多媒体课件、直尺

课后练习

完成检测反馈2题及教材第55~58页相应练习。

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情境

【创设情境】

1.回顾：如图所示的二次函数图象解析式为 y=2x²+8x+13。

配方得 ，开口向上，顶点为 (-2,5)。

(1) 该二次函数存在最______（大/小）值，是______。

配方求最值，并分别求 -3≤x≤3、0≤x≤3 的区间最值；观察石拱桥形状。

复习最值与区间最值，为拱桥抛物线建模作铺垫。

【答案】小值，是 5（顶点纵坐标即最值）。

(2) 若 -3≤x≤3，函数的最大值、最小值分别为______、______。

【答案】顶点 x=-2 在区间内，最小值 y=5；区间右端 x=3 距对称轴最远，y=2·25+5=55 为最大值。故最小 5、最大 55。

(3) 若 0≤x≤3，函数的最大值、最小值分别为______、______。

【答案】顶点 x=-2 不在 [0,3] 内，函数在 [0,3] 上递增：最小值 y(0)=13，最大值 y(3)=55。

2.思考求函数最值应注意什么？（一看二次项系数符号定大/小；二看顶点是否在给定区间内，必要时比较端点值。）

【情境引入】欣赏一组石拱桥图片，观察桥拱的形状。

（设计意图：复习最值与区间最值，并借石拱桥激活直觉，引出抛物线形。）

二、探索归纳

【探索归纳】探究　如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m，水面下降 1 m，水面宽度增加多少？

问题1　把实物抽象为抛物线，可用什么函数表示？水面宽度在函数图象上对应什么？

由抛物线想到二次函数 y=ax²；水面宽度对应同一高度下抛物线两交点的水平距离。

问题2　怎样建立平面直角坐标系更简洁？

建立以顶点为原点的坐标系，由 (2,-2) 求 a，求水面下降后宽度及增加量，并归纳建模五步。

让学生经历“建系→求式→代值求宽度”全过程，形成拱桥问题通法。

以抛物线的顶点为原点、对称轴为 y 轴建立坐标系，使解析式简化为 y=ax²。

问题3　由条件求解析式，再求水面下降 1 m 时的宽度。

抛物线过点 (2,-2)，由 -2=a·4 得 ，故 。水面下降 1 m 即 y=-3，取 x= ，水面宽 2 m，比原 4 m 增加 (2-4) m（约 0.9 m）。

【归纳】建立二次函数模型解决拱桥问题的一般步骤：

(1) 考察实物（抛物线形）；(2) 选建坐标系；(3) 化距离成坐标；(4) 构建二次函数；(5) 解决实际问题。

（设计意图：通过建立坐标系将拱桥问题归结为指定点的纵坐标求横坐标，体会建模五步。）

三、新知应用

【新知应用】例题　有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离水面 4 米。

(1) 如图所示的坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2) 在正常水位的基础上，当水位上升 h（米）时，桥下水面宽度为 d（米），求 d 关于 h 的函数解析式；(3) 设正常水位时桥下水深为 2 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18 米，求水深超过多少米时就会影响船只顺利航行。

(1) 设 ，抛物线过 B(10,-4)，-4=100a，故 ，解析式为 。

(2) 水位上升 h 后水面纵坐标为 -4+h，设水面端点为

求二次项系数得解析式，由水位变化表示 d 关于 h 的函数，并解 d=18 反求临界水深。

通过跨度为 20 m 的拱桥落实建模五步与最值临界判断。