26.3二次函数与一元二次方程（第2课时 一元二次方程问题转化为二次函数问题）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的转化，核心为利用函数图象估算近似根、理解二次函数与直线y=h交点意义。通过复习抛物线与x轴交点关系，以方程x²-2x-2=0公式法求解繁琐设疑，搭建新旧知识桥梁。 特色在于以“逐步逼近法”为核心，结合数形结合思想，通过列表取值、缩小区间等活动，培养学生几何直观和推理能力。典型例题与中考真题结合，提升学生数据分析能力，为教师提供清晰教学路径，助力学生掌握数形转化技能。

26.3二次函数与一元二次方程 （第二课时 一元二次方程问题转化为二次函数问题） （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》，26.3二次函数与一元二次方程第二课时一元二次方程问题转化为二次函数问题，是第一课时二次函数与一元二次方程基础对应关系的延伸拓展.核心教学内容包含：掌握利用二次函数图象估算一元二次方程的近似实数根的方法；理解二次函数 y=ax+bx+c 与直线 y=h 交点横坐标的代数意义；熟练运用数形结合思想，结合函数图象判断方程根的取值范围、近似值；能综合运用函数与方程关系解决基础数形综合题型，完善二次函数与一元二次方程的知识体系. 2. 内容解析 本节课在本章知识体系中起到承上启下、深化拔高的关键作用.承接第一课时所学“抛物线与x轴交点和一元二次方程根的对应关系、判别式判断根的个数”的基础内容，突破仅能求解精确根的局限，解决无法用因式分解、公式法快速求解的一元二次方程近似根问题，填补代数解方程的局限性.同时，本节课拓展了函数与方程的双向应用，将特殊的y=0延伸至任意直线y=h，进一步深化数形结合的核心思想，是后续学习二次函数与一元二次不等式、二次函数综合压轴题、函数实际应用问题的重要基础.本节课以图象观察、区间缩近、取值估算为探究主线，循序渐进引导学生掌握近似求值的方法，兼顾操作性与逻辑性，重点培养学生几何直观、数据分析、数学运算的核心素养. 基于以上分析，本节课的教学重点为利用二次函数图象确定一元二次方程根的取值范围、求解近似根；理解二次函数 y=ax+bx+c 与直线 y=h 的交点横坐标与方程 ax+bx+c=h 根的对应关系. 1. 教学目标 （1）掌握利用二次函数图象确定一元二次方程根的取值范围、求解近似根的方法；理解二次函数与水平直线交点横坐标对应对应一元二次方程的根；能综合运用函数与方程关系解决基础数形综合问题. （2）经历“观察图象—锁定根的区间—取值验证—逼近近似根”的完整探究过程，掌握逼近法、数形结合法，提升图象分析、数据估算、代数几何转化的综合能力. （3）体会数学方法的灵活性与互补性（代数精确求解、几何近似估算），感受数形结合思想的实用价值，培养严谨的探究精神和精准的运算习惯，提升数学应用意识. 2.目标解析 目标1本节课核心技能为一元二次方程近似根的求解，是初中阶段函数与方程综合的必备基础技能.区别于第一课时的定性判断，本节课侧重定量估算，要求学生不仅能判断根的存在性，还能精准锁定根的区间、求出近似值，实现从“定性分析”到“定量计算”的能力提升. 目标2通过自主观察、取值验证、小组合作逼近取值，让学生掌握“区间锁定、逐步逼近”的数学探究方法，固化数形转化思维，打破学生仅依赖代数计算的单一解题思维，拓宽解题思路. 目标3通过解决代数方法难以快速求解的方程问题，让学生体会不同数学方法的优势，感受数学知识的实用性；通过逐步逼近的严谨运算过程，培养学生精益求精的数学学习态度. 学生通过第一课时学习，已熟练掌握抛物线与x轴交点和一元二次方程根的对应关系、判别式的应用，且具备画二次函数图象、解一元二次方程的基础能力，为本节课近似根的探究奠定基础.九年级学生具备一定的图象观察能力和数据分析能力，能根据函数值的正负变化判断图象跨越区间，理解“零点存在”的基本逻辑.学生习惯代数精确计算，对近似估算、逐步逼近的数学方法较为陌生，难以自主掌握缩小区间、精准取值的技巧；同时对y=h（h≠0）的拓展型函数与方程关系理解不透彻，数形转化的灵活性不足，容易混淆不同形式方程与函数图象的对应关系.易错预判：区间判断错误、近似根取值精度不足、混淆ax+bx+c=0与ax+bx+c=h的图象对应关系. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是掌握“逐步逼近法”估算一元二次方程近似根的思路与操作步骤，精准缩小根的取值区间；灵活综合运用数形结合思想，结合函数图象特征分析方程根的情况，实现数与形的灵活转化. 创设情景，引入新课 回顾提问：（1）二次函数 y=ax+bx+c 的图象与x轴交点，对应哪个一元二次方程的根？ （2）当△>0时，方程根和函数图象分别有什么特征？ 设问激趣：对于方程 x-2x-2=0，尝试用公式法求解，计算过程较为烦琐，有没有更简便的方法快速求出方程的近似根？ （设计意图：精准复习第一课时核心知识，搭建新旧知识桥梁.通过烦琐的根式计算制造认知冲突，让学生感知代数解法的局限性，自然引出本节课“利用函数图象求近似根”的新方法，激发学生探究欲望，明确本节课学习目标.） 探究点1　利用二次函数图象求方程近似根 活动1.利用函数图象求方程x²-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 已知二次函数 y=x²-2x-2，列表取值，画出函数y=x²-2x-2的图象. 它与x轴的公共点的横坐标大约是0.7，2.7. 追问1.横坐标为什么用大约？ 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 所以方程x²-2x-2=0的实数根为. 活动2.通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 观察函数y=x²-2x-2的图象，可以发现:点(2，一2)在x轴的下方， 引导学生观察：当x=2时，y=-<0；当x=3时，y=1>0。 结论：函数图象在2<3之间穿过x轴，因此方程 x²-2x-2=0 必有一个根在2和3之间。 同理可探究出另一个根在-1和0之间。 逐步逼近，缩小区间 细化2－3之间的取值，精准缩小区间： 当x=2.7时，y=-0.11<0 当x=2.8时，y=0.24>0 可得：根在2.7－2.8之间 再次细化取值： 当x=2.73时，y≈-0.017<0 当x=2.74时，y≈0.0176>0 可得：根近似为2.73（保留两位小数）. 探究点2　利用二次函数图象求一元二次方程近似根步骤 活动3.讨论归纳利用二次函数图象求一元二次方程近似根步骤： ① 构造二次函数 y=ax²+bx+c； ② 取值计算，根据函数值正负交替锁定根的取值区间； ③ 逐步细化自变量取值，缩小区间范围； ④ 根据精度要求，确定方程的近似实数根. 知识拓展 方程 ax²+bx+c=h（h为常数）的根二次函数 y=ax²+bx+c 与直线 y=h 交点的横坐标. 探究点3　利用二次函数图象解决相关问题 将与二次函数的相关问题转化为二次函数问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 活动4.如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标； （2）根据二次函数的性质，进行求解即可． 熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最大值为：，当时，有最小值为：， ∴． （设计意图：让学生全程参与近似根的推导过程，理解“逐步逼近”的数学原理，而非机械套用步骤.通过拓展延伸，完善函数与方程、不等式等的对应体系，突破本节课难点，培养学生数据分析和逻辑推理能力.） 典型例题 例1.利用二次函数图象，求一元二次方程 x²-4x+1=0 的近似根（结果保留一位小数） 【分析】考查核心：二次函数图象与一元二次方程近似根的求解、逐步逼近法的规范应用；解题思路：先构造对应二次函数，通过取值锁定根的大致区间，再逐步细化取值、缩小区间，最后根据精度要求确定近似根；题型价值：规范学生解题步骤，强化区间判断、正负分析、精准估算的核心能力，夯实本节课重点知识. 【详解】解：1.构造函数.设二次函数 y=x²-4x+1，方程 x²-4x+1=0 的根即为该函数图象与x轴交点的横坐标. 2.取值列表，锁定大致区间 x … 0 1 2 3 4 … y … 1 -2 -3 -2 1 … 由函数值正负可得：当0～1时，函数值由正变负，存在一个实数根； 当3～4时，函数值由负变正，存在一个实数根. 3.逐步逼近，细化第一个根（0～1之间） x=0.2，y=0.04-0.8+1=0.24>0 x=0.3，y=0.09-1.2+1=-0.11<0 根在0.2～0.3之间； x=0.27，y≈-0.007<0 x=0.26，y≈0.0076>0 结合精度要求（保留一位小数），得第一个近似根：x≈0.3 逐步逼近，细化第二个根（3～4之间） x=3.7，y≈-0.11<0 x=3.8，y≈0.24>0 结合精度要求，得第二个近似根：x≈3.7 最终结论：方程 x²-4x+1=0 的近似根为 ≈0.3，≈3.7. 例2.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若方程是倍根方程，且相异两点，，都在抛物线上，求一元二次方程的根． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解和解一元二次方程，抛物线与x轴的交点与其相关一元二次方程的解的关系等知识．掌握若，是一元二次方程的两根时，和是解题关键． （1）由一元二次方程根的判别式判断c的取值范围．设一元二次方程的两个根分别为p和q，由根与系数的关系和“倍根方程”的定义即可得出关于p，q的二元一次方程组，解出p，q，再代入中，解出c即可； （2）解出该方程得：，．根据“倍根方程”的定义可分类讨论①当时和②当时，求出n的值，然后代入求值即可； （3）设方程的两个根分别为和，不妨设．由题意可求出该抛物线的对称轴为，再结合二次函数和一元二次方程的关系可得出．最后解出和即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∴． 设一元二次方程的两个根分别为p和q， 则． ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴可设， 即，解得：． 将代入，得， 解得：，符合题意． 故答案为：2； （2）解：解，得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴或； （3）解：∵方程是“倍根方程”，不妨设， ∵相异两点，，都在抛物线上， ∴由抛物线的对称轴为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 即的两根分别为，． (设计意图：通过不同形式的练习，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验) 课本P50课堂练习. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.如图，，两点在二次函数与一次函数图像上．    (1)求的值和二次函数的解析式． (2)请直接写出使时，自变量的取值范围 　　． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得：， ∵，两点在二次函数的图像上， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴，二次函数的解析式为； （2）由图像可知，当时，二次函数的图像在一次函数图像的下方， ∴当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． （设计意图：强化二次函数与一元二次方程的关系） 1．（2026年江西省中考）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 2.（2025.泰安校考）已知二次函数．    (1)二次函数图象与轴的交点坐标是 　　，轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； (2)在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 　　 ． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是，， 令，解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是； ∵， ∴该二次函数图象顶点坐标为； 故答案为：，；；． （2）解：列表： 描点，连线，如图：   ； （3）解：由图象可知，当时，． 故答案为：． 3．（2025•连云港）已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． 【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点， ∴函数的最小值小于2a2， 则， 即2a2﹣4a+2＜2a2， 解得； （2）解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ＝4（a+1）2﹣4×1×（3a2﹣2a+3）＝﹣8a2+16a﹣8＝﹣8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2≤0， 又∵8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2＝0， 解得a＝1； （3）证明：∵当x＝0时，， ∴二次函数的图象不经过原点． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）基础对应关系：ax2+bx+c=0 的根是抛物线与x轴（y=0）交点横坐标；ax2+bx+c=h 的根是抛物线与直线y=h交点横坐标.（2）核心技能：掌握“构造函数—锁定区间—逐步逼近—确定近似根”的一元二次方程近似根求解方法.（3）判断依据：函数图象连续，区间两端函数值正负相反，则区间内必有一个实数根. 思想方法：（1）数形结合思想：以形助数，利用函数图象直观解决代数方程的求根问题.（2）逐步逼近思想：通过不断缩小取值区间，无限逼近真实根，实现近似精准求值.（3）转化思想：将复杂的解方程问题转化为简单的函数图象取值分析问题. 易错提醒：（1）区间判断错误：必须满足区间两端函数值一正一负，才可判定区间内存在根.（2）精度把控失误：近似根取值需严格贴合题目要求的保留位数，不可随意取舍.（3）概念混淆：区分 ax2+bx+c=0（对应x轴交点）与 ax2+bx+c=h（对应水平直线交点）.（4）忽略前提：二次函数图象是连续抛物线，才可通过函数值正负判断根的存在性. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题26.3第2、5题. 探究性作业：习题26.3第6题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 26.3 二次函数与一元二次方程（第二课时） 一、核心对应关系 二、近似根求解步骤 三、核心思想 四、易错警示 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $