精品解析：陕西西安浐灞国际港陕西师范大学陆港中学2026-2027学年高一上学期第一次学科素养诊断数学试卷

2026—2027 学年第一学期高一数学学科素养月度诊断 （时间 120 分钟　　满分 150 分） 一、单选题（满分40分，每题5分） 1. 已知集合，，则的元素个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集运算即可求解. 【详解】由题意可得，则， 故有2个元素. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，再将结论变为否定即可. 【详解】，的否定是：，， 故选：C. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，即，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D 4. 已知命题， 则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解二次不等式，得命题成立的充要条件，根据充分不必要条件的定义可得正确答案. 【详解】由，得，解得. 对于A，因为 ，所以是命题成立的一个必要不充分条件，所以A错误； 对于B，因为 ，所以是命题成立的一个必要不充分条件，所以B错误； 对于C，因为 ，所以是命题成立的一个充分不必要条件，所以C正确； 对于D，是命题成立的充要条件，所以D错误. 故选：C. 5. 已知，，若，则实数取值的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，根据集合的包含关系，分别讨论和两种情况，分别求解，即可得出结果. 【详解】因为， 又， 当时，方程无解，则，此时满足； 当时，，此时，为使，只需或， 解得或， 综上，实数取值的集合为. 故选：A. 6. “”是“函数的定义域为R”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到在R上恒成立，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出，由集合真包含关系得到答案. 【详解】由题意得在R上恒成立， 若，则，满足要求， 若，则只需，解得， 综上，， 由于为的真子集， 故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 8. 若不等式的解集是，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为， 当，即时，若不等式的解集是， 则，解得， 综上所述，的取值范围为． 二、多选题（满分18分，每题6分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 设，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过反例验证选项A的错误；通过充分不必要条件的定义分析选项B；利用不等式的性质推导选项C；通过换元法结合函数单调性求解选项D的最值. 【详解】选项A： 取反例：，，，， 此时，，，故A错误. 选项B： 若，则，两边除以得； 若，取，，满足，但不满足. 故“”是“”的充分不必要条件，B正确. 选项C： 由，知（否则不等式不成立），故， 两边除以得，C正确. 选项D： 令，则，. 函数在上单调递增，故时，， 即最小值为，D正确. 故答案为：BCD 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以且方程的两个根为，， 即. 因此选项A正确； 因为，，所以由，因此选项B不正确； 由可知：，因此选项C不正确； 因为，所以由， 解得：，因此选项D正确， 故选：AD 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义可得，对于A，B，结合集合运算法则求，，再求即可判断，对于C，由可得，，由此可得，，由此证明，即可判断，对于D，由可得，，结合集合关系推出即可判断. 【详解】根据定义， 对于A，因为，， 所以，， 所以，A正确， 对于B，因为，， 所以，， 所以，B错误， 对于C，若，则，， ， ， ∴，C正确； 对于D，若，则，， 由可得，由可得， 所以，D正确； 故选：ACD. 三、填空题（满分15分，每题5分） 12. 若，则与的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法可得与的大小. 【详解】，故， 故答案为：. 13. 已知不等式对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】由题设知在上恒成立，令即有，进而求正实数a的最小值. 【详解】由题意，在上恒成立， 若， ∴当时，，即. ∴正实数a的最小值为. 故答案为： 14. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若、有且只有一个真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出、为真的条件，再按“有且只有一个为真”分两类求并集. 【详解】命题为真： ，对恒成立，左边最小值为， 所以，即，解得； 命题为真：存在 使， 因为 在上的最大值为，所以． ①真假：且，得； ②假真：或，且，得． 综上，. 四、解答题（满分77分） 15. 已知集合，，.求： （1）集合； （2）集合； （3）集合，. 【答案】（1）或. （2）或. （3），或. 【解析】 【分析】（1）由补集的定义求解即可； （2）由补集和交集的定义求解即可； （3）由交集和并集的定义求解即可. 【小问1详解】 借助数轴可得 ∴或. 【小问2详解】 ∵， ∴＝或. 或. 【小问3详解】 ， 或. 16. 已知集合，，且． （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【小问1详解】 由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． 【小问2详解】 因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 17. 已知 ． （1）若 ，，求关于 的不等式 的解集；（结果用 表示） （2）若 ，，，求 的最小值． 【答案】（1）当 时，解集为或；当 时，解集为 ；当 时，解集为或； （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解后比较两根与的大小即可解不等式； （2）由得，再用基本不等式“的代换”求解即可． 【小问1详解】 ，两根为与． 当时，，不等式的解为或； 当时，，不等式为，解集为； 当时，，不等式的解为或； 综上所述，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或． 【小问2详解】 由得，即． 所以， 因为，所以，由基本不等式， 所以， 当且仅当，即，结合得时取等号， 故的最小值为． 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两侧墙的长度均为米（）． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【答案】（1）米时报价最低，最低为元； （2） 【解析】 【分析】（1）把各项造价用表示，用基本不等式求最小值并检验等号条件； （2）转化为不等式恒成立，分离参数后求函数最小值． 【小问1详解】 因为左右两侧墙长均为米，底面积为平方米，所以前后墙长为米． 前面墙的面积为，造价为（元）； 左右两面墙的面积和为，造价为（元）． 设甲工程队的总报价为元，则，． 因为， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当米时总报价最低，最低为元． 【小问2详解】 由题意，对任意都有， 两边同乘得，即． 令，则， 当且仅当（即）时取等号，所以，即，又， 故的取值范围是． 19. 定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点.已知函数. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）设且的两个不动点为，，且，求实数的最小值. 【答案】（1）和； （2）． （3）12． 【解析】 【分析】（1）解方程可得； （2）由有两个不等实根，对恒成立，结合一元二次不等式的性质可得； （3），，由韦达定理得，两者结合可把表示为的函数，再由基本不等式可得最小值． 【小问1详解】 ，，解得或， 所以的不动点是和； 【小问2详解】 由题意，有两个不等的实根， 即有两个不等实根， 恒成立，即对恒成立， 所以，解得． 【小问3详解】 有两个不等实根，， 所以，， 所以，解得， ，， ，即，所以， ，当且仅当时等号成立， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年第一学期高一数学学科素养月度诊断 （时间 120 分钟　　满分 150 分） 一、单选题（满分40分，每题5分） 1. 已知集合，，则的元素个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题， 则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若，则实数取值的集合为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“函数的定义域为R”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 16 8. 若不等式的解集是，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（满分18分，每题6分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 设，则的最小值为 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 三、填空题（满分15分，每题5分） 12. 若，则与的大小关系是________． 13. 已知不等式对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小值为________． 14. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若、有且只有一个真命题，则实数的取值范围是______． 四、解答题（满分77分） 15. 已知集合，，.求： （1）集合； （2）集合； （3）集合，. 16. 已知集合，，且． （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是真命题，求实数的取值范围． 17. 已知 ． （1）若 ，，求关于 的不等式 的解集；（结果用 表示） （2）若 ，，，求 的最小值． 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两侧墙的长度均为米（）． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 19. 定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点.已知函数. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）设且的两个不动点为，，且，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $