精品解析：广东东莞市海德双语学校2026-2027学年高二第一学期第一次教学质量检测数学试题

2026—2027学年第一学期第一次教学质量检测试题 高二数学 命题人：许金云 审题人：吕小华 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则等于（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】，故选项D正确. 2. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 3. 若向量，，且，则的值是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 4. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 6. 已知圆，则该圆的半径为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 13 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，则半径为． 7. 若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量法求线面角即可. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则. 8. 已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】整理直线方程得到直线经过定点，当时，此时点到动直线的距离最大，由两点的距离公式求出最大距离. 【详解】直线方程可以整理为， 令，解得，即直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大距离为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（    ） A. B. 向量不是共面向量 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 10. 以下四个命题是错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则 C. 已知直线与平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线过定点，判断A；根据直线的垂直关系可求出m的值，判断B；根据直线的平行关系可求出a的值，判断C；讨论直线的截距是否为0，求出直线方程，判断D. 【详解】对于A, 直线，即， 由于，故，即直线恒过定点，A错误； 对于B，直线与互相垂直， 则，解得，B正确； 对于C，直线与平行， 则，解得或， 当时，直线与平行，符合题意； 当时，直线与平行，符合题意，C错误； 对于D，过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 当直线在两坐标轴上的截距均为0时，该直线方程为，即， 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设方程为， 将点代入，即得，解得，此时直线方程为， 即，综合可知直线方程为或，D错误， 故选：ACD 11. 正方体的棱长为分别为的中点.则（ ） A. 正方体体积是三棱锥体积的12倍 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法及棱锥体积公式逐一判断各选项． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 则． 因为分别为的中点， 所以． 选项A：正方体体积． 三棱锥的体积． 因为，， 所以． 正方体体积是三棱锥体积的倍，故A错误； 选项B：． 设平面的法向量为， 则，取，得． 又， 所以，即． 又平面，所以直线平面，故B正确； 选项C：由坐标可得，，．  为等腰三角形，底边上的高． 所以截面面积，故C正确； 选项D：． ， 底面在平面（即平面）上． 在平面中， （此处坐标为）， ． 点到平面的距离为， 所以． 所以体积之比为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为点和点关于轴对称，所以. 13. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方向向量计算斜率，利用斜率与倾斜角的关系计算． 【详解】由直线的方向向量， 可得斜率，则倾斜角满足； 因为，可得． 14. 已知在平面内，点到直线的距离．此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法．现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，则点到平面的距离．如图，底面边长为2，高为1的正四棱锥中，点到侧面的距离等于___________． （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由待定系数法求得面的方程，由定义求得点到面的距离. 【详解】以底面的中心为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面的一般方程为（,）. 将三点坐标代入方程得 解得，，. 由不全为知，代入方程得， 化简得. 根据空间点到平面的距离公式，点到平面的距离： . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求； （2）求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量坐标运算和模的公式即可得到答案； （2）利用空间向量夹角余弦值的坐标公式即可得到答案. 【小问1详解】 ，则. 【小问2详解】 ， 因为，所以. 16. 的三个顶点分别是． （1）求边BC所在直线的方程； （2）求外接圆的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点斜式直接计算即可； （2）根据圆的一般式方程，列方程组求解即可． 【小问1详解】 根据题意，，则边BC所在的直线方程为，整理得． 【小问2详解】 设圆的一般方程为， 可列表达式为，解得， 则圆的方程为或． 17. 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 已知分别为线段，的中点， 则，所以. 易得为平面的一个法向量. 因为，所以， 又平面，所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量，即可得证平面； （2）使用向量夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值； （3）先求平面的法向量，结合（1）中的法向量，使用向量夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 由（1）（2）知， 则，令，得. 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，， ，M为中点，N为靠近D的四等分点． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ,， ,， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 又因为，平面，平面， 因此平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，然后用空间向量计算垂直，利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用第一小问建立的空间直角坐标系结合点到平面的距离公式即可得到答案； （3）利用线面角的空间向量表示即可得到答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， ， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 因为， 则，，， 设平面的一个法向量， 则，即，则可取，则，即， 为平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 则. 19. 如图，，设射线所在直线的斜率为，点在内，于，于. （1）若，，求的值； （2）若，求面积的最大值，并求出相应的值； （3）已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）面积的最大值为； （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用点到直线的距离求出，再利用勾股定理求解即可； （2）根据基本不等式以及点到直线的距离公式求解即可； （3）设直线的倾斜角为，则，利用弦化切分别求出和，利用三角形的面积公式得到，根据，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 ，， 若，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离， ； 【小问2详解】 直线的方程为，即，， ，，， ， 当且仅当时等号成立， 此时点到直线的距离，解得（舍）或， 面积的最大值为，此时； 【小问3详解】 设直线的倾斜角为，，即，则， ， ， 代入，得， 为的中点，， ， 即，当且仅当时等号成立， 的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键点之一在于设直线的倾斜角，将角的三角函数值用斜率表示；其二在于利用向量结合基本不等式求模的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期第一次教学质量检测试题 高二数学 命题人：许金云 审题人：吕小华 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则等于（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 2. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 3. 若向量，，且，则的值是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 4. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 6. 已知圆，则该圆的半径为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 13 7. 若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A. 3 B. C. D. 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（    ） A. B. 向量不是共面向量 C. D. 10. 以下四个命题是错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则 C. 已知直线与平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 11. 正方体的棱长为分别为的中点.则（ ） A. 正方体体积是三棱锥体积的12倍 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 13. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 14. 已知在平面内，点到直线的距离．此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法．现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，则点到平面的距离．如图，底面边长为2，高为1的正四棱锥中，点到侧面的距离等于___________． （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求； （2）求与的夹角． 16. 的三个顶点分别是． （1）求边BC所在直线的方程； （2）求外接圆的方程． 17. 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，， ，M为中点，N为靠近D的四等分点． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 19. 如图，，设射线所在直线的斜率为，点在内，于，于. （1）若，，求的值； （2）若，求面积的最大值，并求出相应的值； （3）已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $