安徽合肥滨湖寿春中学2027届高三上学期第一次阶段检测数学试题

合肥滨湖寿春中学2027届高三上学期第一次阶段检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在 答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置 贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将 答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求) 1.已知集合A=(←-m,2],集合B={x|x2-2x-3≤0，x∈Z,则A∩B=( A.[-1,2] B.{-1,0,1,2,3} C.{-1,0,1,2} D.[-1,3] 2.设x∈R,则“k-2<1”是“x2+x-2>0”的（ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3。己知a=2,b=3c=l,3,则a,c的大小关系为( A.b<c<a B.c<b<a C.b<a<c D.a<c<b 4.下列命题中正确的是( ) A.若a>b,则是 ab B.若a>b,则d>b C.若d>b,则a>b D.若ac2>bc2,则a>b 5.函数f(x)=2+2nx-1的零点所在的区间为( A. B. . .3 6.已知函数f(x)=e-1+e+x2-2x,若不等式f(2-)<f(x2+3)对任意x∈R恒成立，则 实数a的取值可能是( A.-4 B.1 2 C.2√2 D.32 7.已知实数a,b,c满足clna=ce=1,则下列关系式中不可能成立的是() A.a>b>c B.a>c>b C.c>azb D.c>b>a 8. a-b2+1。 ea In(26) 最小值为( A.1-n2 B.√20-ln2) C.1+n2 D.√2a+n2) 试卷第1页（共4页） 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设函数f(x)=2x3-3x2+1,则( ) A.当a=1时，f(x)有两个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.当a=2时，点(1，f1)月为曲线y=fx)的对称中心 D.当a>0时，y=f(x)在区间(-w,-a上单调递增 10.已如函数)本xf侧+四1，则下列描述正确的是( ) A.m+n的最小值为2 B.m+n既无最大值，也无最小值 c.4m+”的最大值为2 D.(4+严的最小值为-1 n+2m n+2m 11.设f(x)是定义在整数集Z上的函数，且满足f(0)=1,f(1)=0,对任意的x,y∈Z都有 (x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),则下列结论正确的是( ) A.f(3)=1 B.f(4)=1 C.f(a+4)=f(a),aZ D.f(12)+f(22)+f(32)+…+f(20252)=1012 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数y=log2(ax-1)在[-2，-1]上单调递减，则a的取值范围是 13.已知正实数，满足x+=2,则后的最小值为 14.已知函数f(s)=S,若关于x的方程子()+(2a-2)f,)+a-2a=0恰有4个根，则实数a的 取值范围是 试卷第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.（13分)已知函数f(x)=1og2(x2-4x+5a),a∈R. (1)若函数f(x)在[2，+)上单调递增，求实数a的取值范围： (2)若函数f(x)的定义域为R,值域为[0，+o),求实数a的值. 16.（15分)已知函数f(x)=-x2+a(6-x-4, (1)解关于a的不等式f1)>0: (2)若不等式f)>b的解集为(-1,3)，求实数a,b的值： (3)对任意的x∈[13]，不等式f(x)≤0恒成立，求实数a的取直范围. 17.(15分)已知函数f(x)=e-2-ax+1,a∈R. (1)若曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线1的斜率为e-1,求1的方程： (2)在(1)的条件下，若f(nx+2)≥-xhx-1恒成立，求实数k的取值范围. 试卷第3页（共4页） 18.(17分)已知函数f)=a是(a>0,a*1),6,1为实数 (①)解关于x的不等式1()： (2)若f(1)<0,不等式f(x2+bx)+f(1-x)<0在xeR上恒成立，求b的取值范围： ③>若f0=子，函数()=公“+是2对()在区间L+)上的最小值为-2.求1的值. 19.(17分)已知函数=m-m,aeR,0)】 (1)当a=4时，求函数f(x)的单调区间： (2)当a≤3时，证明：f(x)+2sinx>0: 3)证明：smxm>中，e(0: 试卷第4页（共4页） 《2026年9月28日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 A A 0 B B D B ACD BC 题号 11 答案 BCD 1.c 【分析】解一元二次不等式求集合B,再由集合的交运算求A⌒B 【详解】由题设，B={x|-1≤x≤3，x∈Z}={-1,0,1,2,3}, .A∩B={-1,0,12} 故选：C 2.A 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由x-2<1可得-1<x-2<1,解得1<x<3, 由x2+x-2=(x+2)(x-1)>0解得x<-2或x>1, 因为集合(1,3)是集合(-0，-2)U(1,+0)的真子集， 即由1<x<3可推出x<-2或x>1,由x<-2或x>1,推不出1<x<3, 所以“k-2<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件， 3.A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，限定出a,b,c的范围即可比较出它们的大小 【详解】根据题意可知a=2>2>b,即可得a>6 由对数函数y=log2x在(0，+o)上单调递增可知， c=1g,3=1bg,V5>1og,V8=1bg,23-3-b,即c>b； 2 且c=l1og23<log24=2<a,所以b<c<a. 故选：A 4.D 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【群解】对干A:若现a=1,8山，满起a>6,但日1，=-1合公 a ,。方故A错误： 对于B:若取a=1,b=-2,满足a>b,但d2=1<b2=4,故B错误： 对于C:若取a=3,b=1,满足a>b,但a=-3<1=b,故C错误： 答案第1页（共12页） 对于D:由ac2>bc2可知c2≠0，即c2>0,由不等式的性质可得a>b,故D正确. 5.B 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为y=2,y=2lnx在区间(0，+o)上单调递增， 所以函数f(x)=2+2hx-1是(0，+o)上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A,当x→0时、f→-，付)立21万2加21<0，数A错谈 2 对于B.f（20f0=2+21-0故B正痛 对于c,f0>0f〔)2+2号10故c错误： 对于D,[)>0(2)=2+2h2-10故D错误 6.B 【分析】令t=x-1,得到g(t)=e+e+t-1,推得为偶函数，得到f(x)的图象关于x=1对称，再利用 导数求得当x>1时，f(x)单调递增；当x<1时，f(x)单调递减，把原不等式转化为1-a<x+2恒成立， 结合二次函数的性质，即可求解 【详解】由函数f(x)=e1+e-x+x2-2x(x∈R), 令t=x-1,则x=t+1,可得g(t)=e+e+t-1(t∈R), 因为8(t)=e+e+t-1=g(t),所以g(t)为偶函数： 即函数f(x)的图象关于x=1对称： 由g(t)=e+e+t2-1(t∈R),则g'(t)=e-e+2t(teR), 当t>0时，g(t)>0,g(t)单调递增，即x>1时，f(x)单调递增： 当t<0时，g(t)<0,g(t)单调递减，即x<1时，f(x)单调递减： 由不等式f(2-ax)<f(x2+3),可得2-m-1<x2+3-1,即l-a<x2+2, 所以不等式(2-ax)<f(x2+3)对任意x∈R恒成立，可以转化为： 不等式1-a<x2+2恒成立，即-x2-2<1-<x2+2恒成立； [x2+ax+1>0 [a2-4<0 即 x2-ax+3>0 的解集为R,转化为 -mj2-12<0'解得-2<a<2: 结合选项可得B合适. 答案第2页（共12页） 7.D 【分析】由题意可得Ina=c'=,令na=e=1=t,则a=e,b=nt,c=,作出y=c,y=nt,y=的函 数图象，根据图象即可判断. 【详解】cna=c-e2=l,则na=e=1,令na=e=-t, 1 则a=e,b=lnt,c= i, 如图，当>6时，。>片故A可能成立： 当5<t<4,时，d>>nt,故B可能成立： 1 当0<t<5时，>e>lnt,故C可能成立： y=Int 8.B 【分析】先将表达式翻译为对应的几何意义，然后识别两个函数之间是反函数的关系，根据反函数的性质 可得两曲线点的最短距离等于其中一条曲线上的点到直线y=x最短距离的2倍，最后利用导数的几何意 义计算y=】e上一点到y=x的最短距离即可求解。 2 a-r+-h(2 2 【详解】 的几何意义是： 曲线Cv=上的任意一点Pa分】 与曲线C:y=n(2x)上的任意一点Q(b,n(2b)之间的距离的最小值， 1 y=一e与y=h(2x)互为反函数，图像关于直线y=x对称， 因此两条曲线上点的最短距离，等于其中一条曲线上的点到直线y=x的最短距离的2倍. 对ye求导，令导数等于直线=的斜率1：y=c=1x=2 代入得对应点为（血21），该点到直线y=x的距离为：d:血2--1-加2 V12+(-1)2√2 故两条曲线的最短距离为2d=√2(1-n2). 9.ACD 答案第3页（共12页） 【分析】根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性. 【详解】已知f(x)=2x3-3ar2+1,所以f(x)=6x2-6m=6x(x-), 当a=1时，2x-3x2+1=(x-1)(2x2-x-1)=(x-1)(2x+1)=0,方程有两个根，所以A正确， 当a<0时，f'(x)=6x(x-a)>0的解集为(-m,@U(0+m),f'(x)=6x(x-a)<0的解集为(a,0), 所以f(x)在(a,0)上单调减，在(0，+o)上单调增，所以f(x)在0处取极小值，所以B错误， 当a=2时，f(x)+f(2-x)=2x-6x2+1+2(2-x3-6(2-x)+1=-6=2f(1), 所以f(x)关于(1，f(1)中心对称，所以C正确， 当a>0时，'(x)=6x(-a)>0的解集为(-o,0)U(a,+n),而(-n,-a四三(-o,0),所以f(x)在(-n,-a)上 单调递增，所以D正确。 故选：ACD 10.BC 【分析】对于AB选项，利用基本不等式即可验证求解；对于CD选项，转换代数式，利用判别式法即可 求解 【详解】已知函激了（国1广x,因此其定义域为x±一-， 因为侧+四=1，所以m十n山，整理得，m=1,其中m字-1,1字-1， 对于A选项和B选项，因为m=1>0,因此m,n同号， 当m>0,n>0时，由基本不等式可得m+n≥2√m=2, 当且仅当m=n=1时取等号，此时+n有最小值2， 当m→+0时，n=1→0，m+n→+0，无最大值， 当m<0,n<0时，令m=-a,n=-b,则a,b>0, 同理可得a+b≥2，即m+n≤-2，但当=-1时，分母无意义，因此m+n<-2 而此时，易知无最小值， 综上+既无最大值，也无最小值，故B选项正确， 1 对于C选项和D选项，由1=1，得n= m 1 因此代入表达式化简 (4+1)n(4+1). L-4+1 n+2m1 +2L2m2+1 答案第4页（共12页） 令y=4m+1 =2+1,整理为关于m的一元二次方程，得2ym2-4+(y-1)=0, 当=0时，4m1=0,即m=子有解，放符合条件。 当y≠0时，判别式△=(-4)-4.2y(y-1)≥0，化简得y2-y-2≤0， 即-1≤y≤2， 当=2时，方程为4m-4m+1=0,此时m=号，n=2,均满足定义域，故最大值为2， 当y=-1时，方程为-2m2-4-2=0,此时=-1，不满足定义域，故取不到， 因此4心+的取值范围是（←1,2]， 22+1 因此C选项正确. 11.BCD 【分析】利用赋值法逐项分析，判断选项ABC,利用周期性求解选项D. 【详解】对于A:令x=2,y=1可得f(3)+f(1)=2f(2)f(1),因为f(1)=0,所以f(3)=0, A错误： 对于B:令x=1y=1可得f(2)+f(0)=2f(1)f(1),所以f(2)=-f(0)=-1, 令x=2,y=2可得f(4)+f(0)=2f(2)f(2),所以f(4)=2f2(2)-f(0)=2-1=1: 故B正确： 对于C:因为f(a+1)+f(a-1)=2f(a)f(1)=0,所以f(a+1)=-f(a-1), 所以f(a+2)=-f(a),所以f(a+4)=-f(a+2)=f(a),C正确： 对于D:若n=2k+1,k∈N,则n=4k2+4k+1, 所以f(m)=f(42+4k+1)=f(1)=0: 若n=2k,keN,则=4k2, 所以f(m)=f(4k+0)=f(0)=1: 所以f(12)+f(22)+f(32)+…+f(20252)=f(22)+f(42)+…+f(20242)=1012. 12.(-∞，-1) 【分析】根据复合函数的单调性、对数函数的定义域列不等式组，由此求得α的取值范围. 【详解】y=log2x在(0，+w)上递增， 根据复合函数单调性同增异减可知α<0， 答案第5页（共12页） a<0 则{-2a-1>0→a<-1. -a-1>0 所以a的取值范围是(-∞，-1). 故答案为：（-n,-1) 13. +5+ 2 【分析】利用已知x+y=2替换所求式中的常数2，将原式化简为上+2，再通过乘1法构造基本不等式 的适用形式求解最小值， 【详解】已知正实数x,y满足x+y=2,所以x>0,y>0且2=x+y,X+y=1, 2 2+1=x+y+1-1+11-1,2 因为 xv y xy v y x v x y 1,21,2x+y1 +223++) 一十一 3+2+2 则2至25，当n仪当是登即y:时等号返立 x y Vx y 将y=√2x代入x+y=2,解得x=2√2-1)，y=2(2-√2)，均满足正实数条件， 所以2片0+2网=+5，即所来最小值为万 2 【分析】利用导数判断函数f(x)的单调性，画出草图，令t=∫(w),解方程可得=-a或=2-a4,结合 图象分析，列出不等式求解即可. 【详解】f6=e-2e=e62刃x≠0)， x4 x4 当x∈(-n,0)U(2,+o)时，f"(x)>0, 当x∈(0,2)时，f"(x)<0, 所以f(x)在(-0,0)和(2，+w)上单调递增，在(0,2)上单调递减， f)有极小值fa)= 4 当x→-0时，e→0，x2→+0，所以f(x)→0， 答案第6页（共12页） 当x→0时，e→1，x2→0，所以f)→+∞， 令t=f(x),则原方程变形为tP+(2a-2)t+a(a-2)=0, 即(t+a)t+(a-2)=0,解得=-a或t=2-a, t2-专=2>0，所以t>t, 所以当2-a> 且0<- 4 <￡时，方程恰有4个根， 4 解得e a<0,所以a的取值范围是(c0 y=f(x) 210234 15.(1)a≤1 (Qa=或a=1 【分析】(1)由复合函数的单调性“同增异减'求解，注意定义域； (2)由函数定义域为R,可知y=x2-4ar+5a的△<0，值域为[0，+n)则y=x2-4x+5a最小值为1，解 出实数a的值， 【详解】(1)f(x)=log2（x2-4ax+5a在[2，+o)上单调递增，且f(x)为复合函数，y=log2u单调递增， 所以，只需u=x2-4ar+5a在[2，+∞)上单调递增，对称轴x=2a≤2，又x2-4ax+5a>0在[2，+o)恒成立， 所以4-a+5a>0a<手放as1 (2)函数f)的定义减为R,则-4m+5>0恒成立，4=(1a-4x5a<00<a<}又值线为0+)， 所以y=r-4+5a的最小值为1，故(2a-4ax2a+5a=1→a或a-1 16.(1)ae(1,5)(2)a=3+√7，b=-7或a=3-√万，b=-7(3)a≤3-5或a≥3+√5 【分析】(1)由f(1)>0得：ad-6什5<0，解一元二次不等式即可： (2)根据一元二次不等式与对应一元二次方程之间的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值 (3)对x∈，3)，了)s0恒成立等价于a6-as+4,转求最值即可. 【详解】(1)由f(1)>0得：-6+5<0. 答案第7页（共12页） .1<a<5 解集为(1,5) (2)由f(x)>b即，x2-a(6-a)x+b+4<0 可知-1与3是方程x2-a(6-a)x+b+4=0两实根 a-f0-0a a=3+万.a=3-√万 故b=-7 或6=-7 (3)对x∈[1,3]，f(x)≤0恒成立等价于-x2+a(6-a)x-4≤0 日a6-a小.满远a6-0 设g)=+4,×∈3]， 4 x+4≥2x.4=41 [x∈[1,3] 当且仅当 x=4 即x=2时=”成立 故a(6-a)≤4，a2-6a+4≥0 a≤3-√5或a≥3+√5 【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程和函数的关系以及根与系数的应用问题，考查不等式恒成 立问题，考查转化思想与计算能力，是中档题， 17.(1)y=(e-1)x-2e+1 (2)(-∞，1] 【分析】(1)求'(x),再求f'(3),即得a的值，再求f(3),从而得到切线的点斜式方程，进而得到1的 一般方程： (2)结合(1)及分离参数得到k≤1+lnr-l血r 再构造函数，求导，分析函数的单调性，从而得到 最小值，进而即可求出实数k的取值范围. 【详解】(1)由题意得f'(x)=e-2-a, 则切线的斜率为f"(3)=e-a=e-1,所以a=1, 答案第8页（共12页） 又f(3)=e-2, 所以曲线y-f(x)在点(3，f(3)处的切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-3), 即y=(e-1)x-2e+1. (2)f(Inx+2)zkx-xlnx-1 结合(1)得a=1,又f(nx+2)≥kx-xx-1, 则x-(nr+2)+1≥a-xlx-1,整理得k≤1+lhr-nr 令)-1+g.则)-1+- x x2 x2 由于y=x-1+lnx为(0，+o)上的单调递增函数，且当x=1时，y=0, 故当x∈(0,1)时，y=x-1+lnx<0,则(x)<0: 当x∈(1，+o)时，y=x-1+lnx>0,则(x)>0, 所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， 因此x)m=h(I)=1,故k的取值范围为(-∞，]. 18.(1) 当0<a<1时，不等式的解集为{xx>log.3}, 当a>1时，不等式的解集为{xk<loga3}. (2)(-1,3) (3)2 【分析】(1)对底数a进行分类讨论，解不等式即可求得结果： (2)依题意可得0<a<1,结合函数单调性解不等式可得x+(b-1)x+1>0在x∈R上恒成立，再利用二 次函数性质求解即可： (3)易知α=2，利用换元法将求解函数h(x)的最值问题转化成为二次函数在定区间上的最值问题，再进 行分类讨论解方程可得t=2. 【详解11由腰在得公至-财-30,0a-口-0. 因3a+1>0,所以d-3<0,即<3 当0<a<1时，不等式的解集为xx>log。3}, 答案第9页（共12页） 当a>1时，不等式的解集为xk<log。3} (2)由题意f1)=a-1<0,即-1<0， 又a>0,解得0<a<l,则y=a在R上单调递减， ,=合在R上草调莲增，所以于网=：一六在R上单调递减 义f=a京定义孩为取，小归a六=立a=-) 所以函数/)=口一为奇函数 不等式f(x2+bx)+f(1-x)<0可化为f(x2+bx)<f(x-1), 因为f(x)在R上单调递减，所以原不等式转化为x2+br>x-1在x∈R上恒成立， 即x2+(b-1)x+1>0在x∈R上恒成立， 令t=x2+(b-1)x+1, 则△=(b-1)-4<0,即b2-2b-3<0,解得-1<b<3, 所以实数b的取值范围为(-1,3)： (8)题五f0=a-日子解为a2成a=-片 1 （舍) 因为V=2在R上单调递增，所以了)-2”-在R上单调通增， 当eL)时，f)f0-子即f)产 国激M)-2+京-20间-=2-2=fa)2+2 =()-+2-f,) 令f(x)=u,设g(m=(m-t)2+2-t,m≥ 当1时，百数g侧)-6m-+2-f在[3） 上单调递增， 所以当m=时，函数取得最小值 即m-〔径-小2-f-2,解得1器（合> 当1>时，函数g(叫-(m-4+2-在[3]上单调递减，在k+)上单调递增， 所以m=t时，函数取最小值g(m)m=(t-+2-f=-2,解得t=2或-2（舍） 答案第10页（共12页） 综上，t=2. 0单河造藏区同为0到，单调递琳区间为 π兀 19. 2证明：因为f(s)=tanx-ax,x∈(0， 所以f(x)+2sinx>0,即tanx-ax+2sinr>0. 当a≤3时，tanx-w+2sinx≥tanx-3x+2sinx. 设h(x)=tanx-3x+2sinx,x∈0， 2 则(x)= 1 -3+2c0sx. cos2x 令m付=k树，剥m似2m2-小0在〔个0月引上恒废立 cos x 所以my即✉)在0到上单调递增，所以(2加o=0, 所以在[0到 上单调递增， 所当到 时，h(x)>h(0)=0,即tanx-3x+2sinx>0, 所以tan-ax+2sinx>0,即原不等式成立. ③证明g令u)⑧=sin'x-tx-,x∈0了 n(x)=2sinxcosxtanx +tan'x-3x2 2sin2x+tan2x-3x2. 由(2)知，当a=3时，tanx+2sinx>3x, 所以tanx>(3.x-2siny2. n(x)=2sin2x+tan?x-3x2>2sinx+(3x-2sinx)2-3x2 =6sin2x-12.xsinx+6x2=6(sinx-x)2>0. 所以国在Q写 上单调递增. 因为当=0时，axm-=0,所以当0引 时，n(x)>0, 即sin-tanw>x,x02 【分析】(1)利用导数判断函数单调性，结合函数单调性求解即可. ②)构建函数a(x)=tamx-3x+2sim,xe0, 利用导数分析h(x)的单调性，利用单调性证明即可. (3)构造两数m)a-,rc0,到 利用导数分析n(x)的单调性即可证明. 答案第11页（共12页） 【详解】()当a=4时，f)=tax-4x=-4k,x∈0， cOSx 2 则x4 1 令'(x)=0,得cos2x= 4 因为x∈0，严 （2 所以cox-名解得x 1 3 当0<x<时，cos22冫则0s<4,即f(y)<0, 3 cosx 所以f)在0，上单调递减： 3 1 当8时，cos则 >4,即f'(x)>0, COSx 所以)在匹π） 3'2 上单调递增. 所以函数f(x)的单调递减区间为0，， 3 单调递增区间为 (2)略 (3)略 答案第12页（共12页）