精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校） 2026-2027学年高三上学期10月阶段检测 数学试题 （120分钟150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，得， 而，所以. 2. 设为等比数列的前项和，若，的公比为q，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当时，由，知，故； 当时，易知，则. 故“”是“”的必要不充分条件. 3. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 则，所以的虚部是. 4. 已知向量，满足，，且，则在的方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，且，所以， 则，即， 所以在的方向上的投影向量为. 5. 记为数列的前项和，若，且为等比数列，则（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】∵为等比数列，且， 得到的首项为，第二项为，∴的公比为2，∴， 当时，，验证可得时，上式也符合， ∴，∴. 6. 将数列与数列中的公共项按从小到大的顺序排列，得到数列，则数列的第项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以的通项公式为， 则． 7. 定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出当，且时，，进而得到，由确定，由求得或，即得参数的范围. 【详解】依题意，当时，， 又因为函数满足，即， 则当时，，， 当时，，， ，当，且时，. 因为当，且时，， 故当，且时，. 又因为， 且当时，. 由，得，整理得， 解得或. 故当时，，即的取值范围是. 8. 已知公差不为0的等差数列的首项为3，且，，成等比数列，，则（ ） A. 2548 B. 2550 C. 2648 D. 2650 【答案】C 【解析】 【分析】设数列的公差为，列式解得，则再分组求和即可． 【详解】设数列的公差为， 因为成等比数列，所以，解得， 可得 所以 设数列的前项和为， 当n为偶数时， ， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的通项公式为，数列的前项和为，则（ ） A. B. 从第三项起，的每一项都小于它的前一项 C. 最小 D. 数列{}是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题意得， 由题意得，满足，故A正确， 对于B，由题意得，此时，故B错误， 对于C，由题意得，， 此时， 当时，，此时数列单调递增， 且，，，，，均为负数，为正数，得到最小，故C正确； 对于D，由， 且， 得到是公差为2的等差数列，故D正确. 10. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若曲线上存在点，，使得线段的中点恰为，且直线与曲线再无其他交点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题先利用辅助角公式化简函数，再结合图象伸缩变换得到；根据中点弦条件与直线和曲线仅有两个交点的限制，推得中点是正弦函数的对称中心，利用对称中心性质列方程求解． 【详解】函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 纵坐标不变，得到函数的图象，则， 由可知，点在曲线上，又点为线段中点， 所以点是直线与曲线的交点， 又依题意直线与曲线交于，， 所以直线与曲线仅交于，，三点， 因为为的中点，所以不妨设，， 则， 即. 若，则，即，，当时，，则，两点重合，不合题意， 当时，，此时直线与曲线不止三个交点，也不符合题意， 故，结合图象的对称性，则必为函数的对称中心， 即，故，，所以，， 逐个判断选项，可知B，C正确． 11. 二进制数是电子计算机常用的进制，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制数的13.已知m，，且,若把m位n进制中的最大数记为，且为十进制的数，则下列说法正确的是（ ） A. 将二进制数化成四进制数的结果是 B. C. 已知，，满足，，，…，中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1280 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先将二进制数化成十进制数，再化成四进制数即可；对于B，根据的定义计算即得；对于C，利用二进制定义将二进制数表示为，分析得出，出现次，，，…，，均出现次，求和即得；对于D，根据定义推得 ，，构造函数，，求导判断单调性，推得，化简得，即得结论. 【详解】对于A，由二进制数， 再将十进制数27化为四进制：故结果为，故A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C，，其中，，，…，中有且只有2个1，有种可能， 所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现次，，，…，，均出现次， 所以对应的十进制数的和为，故C错误； 对于D， ， ， 函数，，可得，所以在上单调递减， 当时，，则，即， 则，即，故， 则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______________. 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦和差公式化简可得，进而得到，再根据进行计算即可． 【详解】由， 可得， 所以， 所以，所以， 则． 13. 已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为341，所有偶数项的和为170，则______________. 【答案】4 【解析】 【详解】， 因此， 而，所以， 该数列前项的和为，解得. 14. 已知，，且，则的最小值为______________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题设得，构造函数，，利用导数分析其单调性，进而得到，，可得，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】因为，，，整理得， 所以，且，所以. 设，，则， 而， 因为，所以，则在上为增函数， 则，即，所以， 则. 令，， 则. 令，，则， 所以在上为增函数， 因为，， 所以存在唯一实数，使得，即，故， 所以当时，，， 当时，，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以， 所以的最小值为1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，若，点在斜率是2的直线上. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线斜率的定义，列出方程，根据递推公式说明数列为等差数列，进而根据首项和公差写出通项公式； （2）根据等差数列前项和公式，写出，进而根据数列的性质写出通项公式，根据的定义，求出结果即可. 【小问1详解】 由点在斜率是2的直线上，得， 即，所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 因为. 所以 ， 故. 16. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）证明：. （2）求的取值范围. 【答案】（1） ∵，∴， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为锐角三角形，∴，， ∴ ∴， ∴． （2）（1，+∞） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得，化简即可证明； （2）由是锐角三角形结合（1）的结论即可求出的范围，从而可以求出的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，∴， ∵是锐角三角形，， ∴， 解得， ，故， ∴的取值范围为. 17. 对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的“偶数列”.已知正项数列的首项为5，且对任意的正整数n，都有成立. （1）证明：数列是等差数列. （2）已知数列为数列的“偶数列”. ①证明：数列为等比数列. ②若数列为等差数列的“偶数列”，求数列的前项和. 【答案】（1）由，得， 又数列的各项均为正数，则，所以， 又，所以数列是以5为首项，2为公差的等差数列. （2）①证明：在区间内的偶数为2，4，…，，， 则. 因为， 所以是首项为2，公比为2的等比数列. ② 【解析】 【分析】（1）根据递推公式以及数列各项均为正数的性质，对递推公式进行化简，进而根据等差数列的定义，判断数列为等差数列； （2）①根据题目所给定义，以及数列的范围，求出满足的条件，进而根据等比数列的定义，证明结果即可； ②根据题目所给数列定义，求出数列通项公式，进而根据错位相减法求出数列前项和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由（1）可得，所以. 由①知，则， ， 则， 所以作差可得， 故. 18. 已知函数， （1）若，证明：. （2）已知关于的方程有两个不同的实数解，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1）令，， 令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故时，. （2）（ⅰ）； （ⅱ）由题意知，不妨设. 构造函数，则. 当时，，，则， 得在上单调递减，此时有，即，. 将代入不等式，得，又， 故，又，，在上单调递增， 故，即. 【解析】 【分析】（1）令，，通过求导分析其单调性与最值完成证明； （2）（ⅰ）先证明当时，，结合（1）可得，故条件转化为方程有两个不同的实数解，再转化为直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数性质，作函数图象可得结论， （ⅱ）利用极值点偏移方法证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）设，， 则， 令，得，令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 又由（1）知，则，且该式中不能同时取等号， 故. 又由关于的方程有两个不同的实数解，， 所以方程有两个不同的实数解，即直线与曲线有两个交点. 记，则有， 令，可得，令，可得， 得在上单调递减，在上单调递增， 当时，取极小值，极小值为， 当时，，当时，， 故. （ⅱ）略 19. 对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个“好”数列.若数列只有一项且是奇数，则该数列也是一个“好”数列.将每项都取自集合的所有“好”数列的个数记为.例如，当时，取自集合的“好”数列只有一种情况，则；当时，取自集合的“好”数列有和两种情况，则. （1）求和的值. （2）证明：取自集合的首项为的“好”数列的个数为. （3）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值. 【答案】（1）； . （2） 若，构造数列，则， 此时数列的个数是取自集合的所有“好”数列的个数， 因为数列是递增数列，所以数列与数列之间一一对应. 又因为，所以数列的所有“好”数列的个数为， 因此取自集合的首项为的“好”数列的个数为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“好”数列的概念列举出所有情况可得结果. （2）构造数列，则，分析可得对于每一个都有且仅有一个与之对应，由此可证明结论. （3）分析可得，累加可得，由此可得结果. 【小问1详解】 当时，取自集合的“好”数列有；；；，共四种情况. 因此. 当时，取自集合的“好”数列有： ；；；；；；；；；；；共十二种情况. 因此. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，当时，所有“好”数列的个数为； 当时，设数列是取自集合的“好”数列， 因为且是奇数，所以， 构造数列，，则， 此时数列的个数是取自集合的所有“好”数列的个数. 因为数列是递增数列，所以对于每一个都有且仅有一个与之对应， 所以取自集合的首项不为的“好”数列的个数为. 综上所述，. 当时，由累加得， 因为，，所以， 由及（1），得，…，，，，，， 显然单调递增. 因为，，， 所以. 所以使得成立的的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校） 2026-2027学年高三上学期10月阶段检测 数学试题 （120分钟150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为等比数列的前项和，若，的公比为q，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，且，则在的方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 记为数列的前项和，若，且为等比数列，则（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 6. 将数列与数列中的公共项按从小到大的顺序排列，得到数列，则数列的第项为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知公差不为0的等差数列的首项为3，且，，成等比数列，，则（ ） A. 2548 B. 2550 C. 2648 D. 2650 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的通项公式为，数列的前项和为，则（ ） A. B. 从第三项起，的每一项都小于它的前一项 C. 最小 D. 数列{}是等差数列 10. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若曲线上存在点，，使得线段的中点恰为，且直线与曲线再无其他交点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 11. 二进制数是电子计算机常用的进制，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制数的13.已知m，，且,若把m位n进制中的最大数记为，且为十进制的数，则下列说法正确的是（ ） A. 将二进制数化成四进制数的结果是 B. C. 已知，，满足，，，…，中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1280 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______________. 13. 已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为341，所有偶数项的和为170，则______________. 14. 已知，，且，则的最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，若，点在斜率是2的直线上. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项积. 16. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）证明：. （2）求的取值范围. 17. 对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的“偶数列”.已知正项数列的首项为5，且对任意的正整数n，都有成立. （1）证明：数列是等差数列. （2）已知数列为数列的“偶数列”. ①证明：数列为等比数列. ②若数列为等差数列的“偶数列”，求数列的前项和. 18. 已知函数， （1）若，证明：. （2）已知关于的方程有两个不同的实数解，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 19. 对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个“好”数列.若数列只有一项且是奇数，则该数列也是一个“好”数列.将每项都取自集合的所有“好”数列的个数记为.例如，当时，取自集合的“好”数列只有一种情况，则；当时，取自集合的“好”数列有和两种情况，则. （1）求和的值. （2）证明：取自集合的首项为的“好”数列的个数为. （3）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $