精品解析：江苏无锡市宜兴市第二高级中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段性考试数学试卷

2026年秋学期高二年级第一次阶段性考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率的两点式公式和定义求解. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故选：B 2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D. 3. 如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可. 【详解】结合图形可知： 是的中点，,, ， 是的中点，, , 即, ，，. 故选：C. 4. 如果直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 0或1 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一般式方程中两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意； 综上可得或. 故选：D 5. 设是圆上的任意点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求最值转化为求解圆上的点到定点距离的平方，即求圆心到直线距离与半径之和的平方，由此可计算求得结果. 【详解】表示点到的距离的平方， 是圆上一点， 的最大值为圆心到的距离与半径之和的平方， 即. 故选：. 【点睛】本题考查圆上的点到定点距离最值的求解问题，关键是明确圆上的点到圆外定点的距离最大值为圆心到定点的距离与半径之和；最小值为圆心到定点的距离与半径之差. 6. 如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于直线对称的点是，关于轴对称的点都在直线即可求解. 【详解】, 所以直线的直线方程为 ， 设关于直线对称的点是， 则有， 即， 所以，即， 又因为的中点在直线上， 所以，即， 联立，解得，所以， 又有关于轴对称的点， 由对称性可知，均在直线上， 所以, 由点斜式得，即. 故选:D. 7. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解. 【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，， 则 ， 又，，， 则，， 因此， . 故选：B 8. 如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是线段BD上的动点，则（ ） A. 存在点G，使PG⊥EF成立 B. 存在点G，使FG⊥EP成立 C. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立 D. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立 【答案】C 【解析】 【分析】A选项假设PG⊥EF，证得面，与题设矛盾即可判断；B选项由求出异面直线的夹角小于即可判断；C选项取中点，过作于，先证面，再由与面相交即可判断；D选项直接证明当与中点重合时，面面即可. 【详解】 在A中，取中点，连接，易得，面，，故面， 又面，故，若PG⊥EF，面，，则面，显然不成立， 故不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误； 在B中，连接，易得，故或其补角即为异面直线的夹角，不妨设，在中， 由余弦定理，即，解得，同理， 在中，，则，显然， 故不存在点G，使FG⊥EP成立，故B错误； 在C中，取中点，连接，过作于，易得，面，， 故面，又面，故，又面，，故面， 若平面EFG⊥平面ACD，则面或面，显然与面相交，故不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确； 在D中，当与中点重合时，由A选项知有面，即面，又面，故面面， 故存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案. 【详解】对于A，当直线的截距不为零时，截距相等的直线可用方程，当截距是零时，不可用，故A错误； 对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确； 对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误； 对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为； 当时，方程可整理为；故D正确. 故选：BD. 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆关于直线对称 C. 若，则圆过坐标原点 D. 若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】把圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，再根据圆的性质判断各选项是否正确. 【详解】圆：， 所以圆心为，圆的半径：，（），故A错误； 因为圆心在直线上，故圆关于直线对称，故B正确； 对C：当时，圆：，所以圆过坐标原点，故C正确； 对D：由且或，故D正确. 故选：BCD 11. 已知正方体的棱长为2，为平面内一点，为中点．下列论述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则到直线的距离为 C. 若，则有且仅有一个点，使得平面 D. 若，则平面与底面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，写出各点的坐标，根据可判断A；利用点线距的向量求法可判断B；利用平面，求出可判断C；利用面面角的向量求法可判断D. 【详解】以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，，，， 对于A，， 则， 又，所以，故，故A正确； 对于B，若，则为线段的中点，即点， 又，， 所以点到直线的距离为，故B正确； 对于C，，其中， 则，，， 因为平面， 平面，平面， 所以，， 则，，解得， 因此不存在点，使得平面，故C错误； 对于D，若，其中， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，且， 易知平面的一个法向量为， 设平面与底面所成角为，， 所以， 则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若点在圆外，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 故答案为：. 13. 经过点，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为零和不为零两种情况求直线方程即可. 【详解】①当横纵截距为零时，直线的斜率，所以直线方程为，即； ②当横纵截距不为零时，设直线方程为，将点代入得，解得，所以直线方程为，即. 故答案为：或. 14. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以，解得， 而当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可得直线的斜率，再利用点坐标即可得解； （2）借助角平分线性质计算可得斜率，即可得直线的方程，再联立两直线方程即可得交点坐标. 【小问1详解】 由边上的高所在直线的方程为， 即，所以直线的斜率， 因为的坐标为，所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 由直线的方程为，令，可得，即， 因为的平分线所在直线的方程为，所以直线与关于轴对称， 又因为关于轴的对称点为，所以的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立方程组，解得，即点的坐标为. 16. 如图，在三棱柱中，点为线段的中点，点是线段上靠近的四等分点． （1）若，求，，的值； （2）若． （i）求的值； （ii）求的大小． 【答案】（1）、、； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）（i）借助数量积公式计算即可得；（ii）借助模长与数量积的关系计算即可得. 【小问1详解】 ， 故、、； 【小问2详解】 （i）由，则， 由，则，由，则， 则 ； （ii） . 17. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求外接圆的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）BH所在直线方程为，且BH是AC边上的高，故根据两直线垂直的关系，可以设AC所在直线的方程为，将点A代入，可解得m，再与CD方程联立，即可得C点坐标；（2）设点B和点D坐标，点B在BH上，点D在CD上，且直线CD和直线BH方程已知，将点坐标代入，可解得B点坐标，设外接圆的方程为．将A,B,C三点代入，解出D,E,F，即得外接圆方程． 【详解】（1）∵，的方程为，不妨设直线的方程为， 将代入得，解得， ∴直线的方程为， 联立直线，的方程，即， 解得点的坐标为； （2）设，则， ∵点在上，点在上， ∴，解得， 设外接圆的方程为． ∴，解得，，． ∴外接圆的方程为． 【点睛】本题通过求三角形的顶点考查两直线的位置关系，和求圆的一般方程，难度不大，有一定的综合性． 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 19. 如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. （1）若，证明：平面； （2）是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 因为平面， 如图，以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、、，. 因为，设点，则， 则，解得，则， 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为，所以， 因为平面，所以，平面. （2）存在，与平面所成角的正弦值为，理由如下： 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 设，则， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，可得， 假设平面平面，则. 由，解得，所以. 设与平面所成的角为， 则， 所以存在，使平面平面，此时与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设，根据空间向量法结合平面平面，可求出的值，然后利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期高二年级第一次阶段性考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 如果直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 0或1 D. 0或 5. 设是圆上的任意点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是线段BD上的动点，则（ ） A. 存在点G，使PG⊥EF成立 B. 存在点G，使FG⊥EP成立 C. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立 D. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆关于直线对称 C. 若，则圆过坐标原点 D. 若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或 11. 已知正方体的棱长为2，为平面内一点，为中点．下列论述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则到直线的距离为 C. 若，则有且仅有一个点，使得平面 D. 若，则平面与底面所成角正弦值的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若点在圆外，则实数的取值范围为______． 13. 经过点，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为_______． 14. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 16. 如图，在三棱柱中，点为线段的中点，点是线段上靠近的四等分点． （1）若，求，，的值； （2）若． （i）求的值； （ii）求的大小． 17. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）求外接圆的方程． 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. （1）若，证明：平面； （2）是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $