精品解析：江苏宜兴市官林中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段性测试数学试题

官林中学高二第一次阶段性测试——数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 4. 点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 8. 已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 11. 已知点，，且点在直线：上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 若为等腰三角形，则点的个数是3个 C. 的最小值为 D. 最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则____________. 13. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 14. 已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 17. 直线l的方程为． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 18. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，∠DAB＝60°.侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝3. （1）求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值； （2）设E是D1B的中点，在线段D1C上是否存在一点P，使得AE∥平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知直线 （1）证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； （2）求点到直线l距离的最大值； （3）若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 官林中学高二第一次阶段性测试——数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点间斜率公式可得斜率，再由倾斜角与斜率关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，所以， 因，所以， 故选：A. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，且，所以，解得， 故选：B. 3. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 4. 点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果. 【详解】由可知直线过定点，设， 当直线与垂直时，点到直线距离最大， 即为. 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 5. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及基本定理计算即可得． 【详解】由题可知，，， ， 所以， 故选：D． 6. 已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可. 【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件， 故选C. 【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题 7. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 8. 已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得，进而可求点到直线的距离，根据动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为，计算即可得出结果. 【详解】由可知，直线的方程为 的面积为点到直线的距离， 动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为， 则或 动点的轨迹方程为或. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解. 【详解】对于A，正方体中，，， ，所以，故A错误； 对于B，，， ，故B正确； 对于C，设，则，，而， 所以平面的一个法向量是，故C正确； 对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 11. 已知点，，且点在直线：上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 若为等腰三角形，则点的个数是3个 C. 的最小值为 D. 最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，分类讨论，利用斜率公式以及两直线垂直的条件即可判断；对于B，分类讨论，讨论等腰三角形的顶点，结合点到直线的距离即可判断；对于C，求出点关于直线l的对称点，结合几何性质，数形结合，即可求解；对于D，结合几何性质，数形结合，即可判断； 【详解】对于A，设，当PM斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当PN斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当且时，，， 若，则，即， 由于，方程无解，故与不垂直； 综合可知不存在点，使得，A错误； 对于B，若等腰的顶点为P，此时P在的垂直平分线上， 则P点横坐标为，此时； 当M为等腰的顶点时，由于点M到直线：的距离为， 故直线l上必存在两点满足，设这两点为， 由于l上纵坐标为1的点为，该点和M的距离为2， 故和M，N不共线，适合题意， 由于N点到直线：的距离为， 故以N点为顶点的等腰不存在， 综合以上可知为等腰三角形，则点的个数是3个，B正确； 对于C，设点关于直线l的对称点为， 则，解得，即， 故, 当且仅当三点共线（P在之间）时取得等号， 即的最小值为，C正确； 对于D，如图，， 当且仅当P为的延长线与l的交点时等号成立， 即最大值为3，D正确， 故选：BCD 【点睛】方法点睛：（1）注意分类讨论方法的应用，比如选项A，B的判断；（2）注意数形结合思想的运用，比如选项C，D的求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，则，根据数量积的坐标表示得到方程，即可得解. 【详解】因为直线的一个方向向量，平面的一个法向量且， 所以，所以，即， 所以. 故答案为： 13. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求得，根据向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出点关于直线、轴的对称点、的坐标，数形结合可知周长的最小值为，结合平面间两点间的距离公式可求得结果. 【详解】设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 如图所示，连接交于点，交轴于点， 由对称性可知，， 所以，， 当且仅当、、、四点共线时，等号成立， 因为点与关于直线对称， 所以，解得，所以． 因为与关于轴对称，所以， 所以的周长的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 16. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 点为的中点，， ， ． 【小问2详解】 ，由（1）得 ． 17. 直线l的方程为． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】（1）0或2；（2）． 【解析】 【分析】（1）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，可根据直线截距式，利用截距相等构造方程求得结果； （2）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当过坐标原点时，，解得：，满足题意 当不过坐标原点时，即时 若，即时，，不符合题意 若，即时，方程可整理为： ，解得： 综上所述：或 （2）当，即时，，不经过第二象限，满足题意 当，即时，方程可整理为： ，解得： 综上所述：的取值范围为： 18. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，∠DAB＝60°.侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝3. （1）求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值； （2）设E是D1B的中点，在线段D1C上是否存在一点P，使得AE∥平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的夹角即可求二面角， （2）根据线面平行的向量方法，利用法向量与方向向量垂直即可求解. 【小问1详解】 如图1，连接BD，由题意，△ADB是正三角形，设M是AB的中点，则DM⊥AB，所以DM⊥DC， 又DD1⊥平面ABCD，所以DM⊥平面DD1C1C. 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，D1(0,0,3)，C(0,2,0)，B(,1,0)， 则＝(－,1,0)，＝(－,－1,3). 显然，平面D1CD的一个法向量是， 设平面BD1C的法向量为(x,y,z)， 则令x＝，得(,3,2)， 设二面角B-D1C-D的平面角为θ，由几何体的特征可知为锐角， 则＝＝. 故二面角B-D1C-D的平面角的余弦值为. 【小问2详解】 设＝λ，即有，其中 由（1）知D1，C，则， 所以P，又D，B， 于是＝，＝， 设平面PBD的法向量为， 则令x＝，得， 因为A，D1B的中点为E， 所以＝， 因为平面PDB，所以， 即，得λ＝， 即线段D1C上存在点P使得平面PDB，此时＝ 19. 已知直线 （1）证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； （2）求点到直线l距离的最大值； （3）若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 【答案】（1）证明：对于，化简得， 令，得到， 对于点，直线与直线都是必过点， 所以，无论为何值，直线与直线总相交. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简直线，得到的必过点，得证； （2）根据直线过点可得点到直线距离的最大值为即可； （3）设，由（1）得，列出三角形面积公式，利用基本不等式即可求得三角形面积最小值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可得直线过点， 故点到直线l距离的最大值为， 当直线取到. 【小问3详解】 设，由（1）得， ，整理得， 因为，则，得，（当且仅当时，即时，等号成立）， ，面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $