精品解析：北京市第八十中学2026-2027学年高一贯通班上学期10月阶段评价数学试题（A卷）

北京市第八十中学2026—2027学年第一学期10月阶段评价 高一数学（A卷） 2026年10月 （考试时间90分钟 满分100分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一．选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题所给的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 3. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义，逐个构造新函数，代入计算，对比与,的关系，判断奇偶性． 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，令， 对于A，的定义域为， 因为， 所以是奇函数，A正确； 对于B，的定义域为， 因为， 所以是偶函数，B错误； 对于C，的定义域为， 因为，所以，且， 所以是非奇非偶函数，C错误； 对于D，的定义域为， 因为， 所以是偶函数，D错误． 4. 已知，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例即可判断ABD，对于C根据不等式的性质即可判断. 【详解】对于A：令 ，，所以，故A错误； 对于B：令，故B错误； 对于C：因为，所以，所以，故C正确； 对于D：当时，显然不成立，令，故D错误 故选：C. 5. 下列函数中，值域为(0，+∞)的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出每一个选项的函数的值域判断得解. 【详解】A. 函数的值域为，所以该选项与已知不符； B. 函数的值域为，所以该选项与已知不符； C. 函数的值域为，所以该选项与已知不符； D.函数的值域为(0，+∞)，所以该选项与已知相符. 故选D 【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可将不等式恒成立转化为函数恒成立，然后分为、两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为不等式对于任意的恒成立， 所以函数对于任意的恒成立， 当时，函数，满足题意； 当时，结合二次函数性质易知，，解得， 综上所述，实数的取值范围是， 故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查利用二次函数性质解不等式，在解题时要特别注意这种情况，考查判别式的应用，考查计算能力，是中档题. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可． 【详解】当时，， ∵的值域为，∴，即， ∴时，， ∴，解得，又因为，所以， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 8. 已知非空集合A，B满足以下两个条件： （1），； （2）A的元素个数不是A中的元素，的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，按集合中得元素个数进行分类讨论. 【详解】若集合A中只有1个元素，则集合中有3个元素，且，，所以，，此时有序集合对有1对；同理，若集合中只有1个元素，则集合A中有3个元素，此时有序集合对有1对；若集合A中有2个元素，则集合中有2个元素，且，，不满足题意．所以满足题意的有序集合对的个数为．故A，C，D错误. 故选：B． 二．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 9. 已知是定义在上的奇函数，当时，．函数在上的解析式为________；若函数在区间单调递增，实数的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：利用奇函数的性质求出时的分段解析式，从而写出在上的解析式； 第二空：画出图像确定函数单调递增区间，再根据子区间的包含关系列出不等式，解出参数的取值范围． 【详解】第一空： 当时，， ， 又是定义在上的奇函数， 所以， 所以函数在上的解析式为； 第二空： 的图象如图所示： 若函数在区间单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围是． 10. 一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解. 【详解】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，则，解得：或 设的两根为，，不妨令，则， 由题意得：，解得：，结合或，所以实数k的取值范围为 故答案为： 11. 高斯取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据的取值范围，分别求出，的值，判断①；作出函数与函数的图像，即可判断②；对的取值分类讨论，即可判断③；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④． 【详解】对于①：若，则，则，， 所以， 所以，故①正确； 对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确； 对于③：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以 ，故③错误； 对于④：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确． 故答案为：①②④. 三．解答题（本大题共5小题，共53分；解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12. 已知：，：，是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出条件，，由题意可得出⫋，解不等式即可得出答案. 【详解】由可得：，则， 由可得：， 因为，所以，解得：， 因为是的必要不充分条件，所以⫋， 所以且不能同时取等，解得：. 所以实数的取值范围为： 13. 已知关于的方程. （1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2） （3） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分当和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解； （2）当时，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解； （3）根据题意，不等式转化为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由关于的方程， 当时，方程即为，解得，满足题意； 当时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足， 即，解得， 综上可得，实数的值为或. 【小问2详解】 解：当时，不等式为，即， 由时，恒成立，即为时，恒成立， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由不等式，可化为， 因为，可得，即为， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，不等式为，此时不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得： 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 14. 已知二次函数的一个零点为1，且满足． （1）求的解析式； （2）求函数在上的最小值； （3）设，垂直于轴的直线分别交函数与的图象于两点，若线段的长度恒大于2，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为. （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知，，求解可得的解析式； （2）由（1）求得函数的对称轴，从而得到函数的单调性，分类讨论，所给区间与对称轴的位置关系，可得函数在上的单调性，从而求得其最小值； （3）将“线段的长度恒大于2”转化为一元二次不等式恒成立问题，即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 由题可知，，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）知，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，即时，在上单调递减，所以在处取得最小值，最小值为； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为； 当时，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为. 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当 时，的最小值为. 【小问3详解】 由题可得，则 则得①或②， 由①得恒成立，故，解得； 由②得，因，故此式不能恒成立. 综上，可得实数的取值范围是. 15. 已知关于x的方程的两根为，，试问：是否存在实数m，使得，不等式都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】存在，或， 【解析】 【分析】由题意可得的在，上的最小值大于或等于的最大值．分类讨论的符号，分别求出的最大值和的在，上的最小值，从而求出的范围． 【详解】解：关于的方程的两根为，，△， ，． ，，不等式都成立， 的在，上的最小值，大于或等于的最大值． 的最大值为， 的在，上的最小值，大于或等于4． （1）当时，对于一次函数，当时， 最小值为， 故有，求得． （2）当时，对于一次函数， 当时，的最小值为， 故有，求得． 综上可得，存在或，满足题中条件． 【点评】本题主要考查韦达定理，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题． 16. 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意，都有f(·)＝f()＋f()，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1. (1)证明：(x)是偶函数； (2)证明：(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式(2－1)<2. 【答案】 （1）证明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， ∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0， ∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数． （2）证明：设x2>x1>0， 则f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1) ＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()， ∵x2>x1>0，∴>1. ∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0. ∴f(x2)>f(x1)． ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）令，求得，再由，求得，进而得出，即可得到证明； （2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数； （3）由（1）（2）可把不等式 转化为，进而得，结合，即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2. 又∵f(x)是偶函数， ∴不等式f(2x2－1)<2可化为f(|2x2－1|)<f(4)． 又∵函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|2x2－1|<4. 解得－ <x<，又，解得：， 即不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的定义法证明，以及函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义，合理运算、化简是解答的关键，同时考查了转化思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2026—2027学年第一学期10月阶段评价 高一数学（A卷） 2026年10月 （考试时间90分钟 满分100分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一．选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题所给的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，值域为(0，+∞)的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知非空集合A，B满足以下两个条件： （1），； （2）A的元素个数不是A中的元素，的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 二．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 9. 已知是定义在上的奇函数，当时，．函数在上的解析式为________；若函数在区间单调递增，实数的取值范围是________． 10. 一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为___________． 11. 高斯取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为．其中所有正确结论的序号是______． 三．解答题（本大题共5小题，共53分；解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12. 已知：，：，是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 13. 已知关于的方程. （1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 14. 已知二次函数的一个零点为1，且满足． （1）求的解析式； （2）求函数在上的最小值； （3）设，垂直于轴的直线分别交函数与的图象于两点，若线段的长度恒大于2，求实数的取值范围． 15. 已知关于x的方程的两根为，，试问：是否存在实数m，使得，不等式都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由. 16. 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意，都有f(·)＝f()＋f()，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1. (1)证明：(x)是偶函数； (2)证明：(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式(2－1)<2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $