精品解析：北京市第二中学2026-2027学年高一上学期第一学段高一年级学段考试数学试卷

北京二中2026—2027学年度第一学段高一年级学段考试试卷 数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知集合，集合，那（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，集合，故. 2. 命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，”的否定为“，”. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 4. 已知，，则，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，等号成立时， 因为，所以， 则 5. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 且 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由得，等价于， 利用“穿针引线法”如下图所示： 由图可知，原不等式的解集为或. 6. 我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】因为，借助重要不等式求最大值. 【详解】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 7. 已知命题，命题，，则成立是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别由命题p,q求得a的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解不等式可得， 对于命题，当时，命题明显成立； 当时，有：，解得：， 即命题为真时， 故成立是成立的充分不必要条件. 故选A. 【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8. 设，若关于的不等式在上有解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分离参数，得到，由对勾函数单调性求得最大值即可求解. 【详解】由， 得到， 由题意， 令，由对勾函数单调性可知在上单调递增， 即最大值为， 所以， 故选：C 9. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是  （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的单调性得到不等式，解得范围. 【详解】设，， 由题意得函数在上单调递增， 函数在上单调递增， ． 故选：B. 10. 若在函数定义域的某个区间上定义运算 则函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新运算法则求解的解析式和的范围，根分段函数的性质求解值域． 【详解】， 由新运算法则可得， 即当或时，， 当时，， 若，则，其值域为，即值域为； 若，则，其值域为，即值域为； 综上可得函数值域为， 故选：D． 11. 函数，当时，，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析二次因式有一正一负根，要使时恒非负，需一次因式零点与二次因式正零点重合，由此建立关系式求出的范围再验证选项. 【详解】令，则， 是开口向上的二次函数，，恒有两个零点， 因为，所以两个零点一正一负，不妨设，又的零点为， 因为时，，所以时，与同号，可得， 所以，得，因为，所以，解得，即且， 所以， 当时，，得，所以； 当时，，得，所以， 所以. 因为，，所以A正确，B、C、D错误. 12. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数单调性可得、是关于的方程的两不同根，再利用根的判别式与韦达定理计算即可得. 【详解】由，则有，故， 且有在定义域内单调递增， 则，， 即、， 令、，则，， 则、， 故是关于的方程的两不同非负根， 则有，解得. 故选：A. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上） 13. 已知且，则由的值构成的集合是_______ . 【答案】 【解析】 【分析】由集合的互异性列出不等式解得答案即可. 【详解】，；或，解得. 故答案为：． 14. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据充分不必要条件，以及对进行讨论，由此求得的值. 【详解】由""是""的充分条件知满足该方程， 代入得，即，解得或. 当时，方程为，即，解集为， 此时""是充要条件，不符合"不必要"； 当时，方程为，即， 解得或，解集为， 此时由能推出方程成立，而方程成立不一定有， 故""是充分不必要条件，符合题意. 所以. 15. 若，则实数的一个取值为__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式的解集为的子集即可满足题意. 【详解】因为， 且当时，即时，， 当时，即时，才有可能使得， 所以的解集为的子集， 则，所以，所以实数的一个取值可以为. 故答案为: 16. 设函数,若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分段讨论求出和的解析式，代入可求出结果. 【详解】（i）当，即时，，， 由得，即， 因为，所以恒成立，所以； （ii）当，即时，，， 由得，即，即恒成立， 所以； （iii）当，即时，，， 由得，即，所以， 综上所述：的取值范围是. 故答案为： 17. 若函数的单调递增区间为，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用二次函数的单调增区间求得，再利用，利用基本不等式可求最小值． 【详解】的对称轴为，故， 又，当且仅当时等号成立，从而的最小值为，填． 【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 18. 高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据的取值范围，分别求出，的值，判断①；作出函数与函数的图像，即可判断②；对的取值分类讨论，即可判断③；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④． 【详解】对于①：若，则，则， ， 即，故①正确； 对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确； 对于③：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，故③错误； 对于④：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确． 故答案为：①②④. 三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上） 19. 已知集合， （1）若时，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式化简集合A，代入得到集合，再利用集合的交并补运算即可求得所求； （2）由题设条件得到是A的真子集，利用数轴法即可求得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为， 所以，或， 故. 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 因为， 所以，解得，故， 当时，是A的真子集，满足题意； 当时，是A的真子集，满足题意； 所以. 20. 已知函数. （1）利用函数单调性的定义证明：在上的单调递减. （2）设，解不等式：. 【答案】（1） 因为函数， 任取，设， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义结合作差法分析证明即可； （2）根据函数单调性可得，解二次不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则， 又因为在上单调递减，且， 则，解得， 所以的解集为. 21. 已知关于的不等式，. （1）已知不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式 【答案】（1）； （2）； （3）当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件得，2是方程的两根即可计算作答； (2)将所给不等式等价变形，利用二次型不等式在R上恒成立分类求解即得； (3)按不等式类型及二次项系数正负分类解含参数的不等式即可. 【详解】（1）依题意，，2是方程的两根()，于是有，，解得 所以实数的值为1； （2）不等式对恒成立，即为恒成立， 当时，恒成立，则， 当时，一元二次不等式在R上恒成立，则必有，解得， 综上得，， 所以实数的取值范围是； （3）不等式化为：即有， ①当时，原不等式为，解得； ②当时，原不等式化为，，解得或， ③当时，原不等式化为，当，即时，解原不等式得：， 当，即时，解原不等式得：，当，即时，解原不等式得：， 综上所述：当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 22. 已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）若函数，求的最值； （2）已知，求函数f(x)的值域； （3）对于（2）中的函数和函数，若对任意x1∈[0，1]，总存在∈[1，2]，使得＝成立，求实数k的值. 【答案】（1）最小值为4，最大值为5；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用已知得出函数的单调区间，利用单调性可求得函数的最值； （2）令，根据函数的性质，可得函数的单调性，从而求出函数的值域； （3）对任意，总存在，使得成立可转化成函数的值域为函数值域的子集，建立关系式，解之即可． 【详解】（1）当a=4时，函数在上是减函数，在上是增函数， 所以是单调递减函数，是单调递增函数， ，，， 的最小值为4，最大值为5. （2）∵ ∴令，，则，. ∵函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. ∴当，即时，函数单调递减， 当，即时，函数单调递增， ∵，， ∴函数为的值域为. （3）， 当时，在是单调递增函数， ∵对任意，总存在，使得成立 ∴函数的值域为函数值域的子集，由（2）知函数为的值域为， ∴，无解， 当时，是单调递减函数，， ∵对任意，总存在，使得成立 ∴函数的值域为函数值域的子集， ∴，得， 当时，，不符合题意， 综上所述，. 【点睛】本题主要考查了利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题． 23. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”， 且， 求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 【答案】（1）P不是“封闭集”， Q是“封闭集”，理由为： 集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，， ，，， 所以集合是“封闭集”； （2） （3） 证明：因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以 ， 所以，则，命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据“封闭集”的定义分析判断； （2）根据“封闭集”的定义结合可求出，从而可求出集合； （3）根据是“封闭集”，结合“封闭集”的定义及集合中元素的互异性，求出，，，，，，相加可得递推式，进而可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中2026—2027学年度第一学段高一年级学段考试试卷 数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知集合，集合，那（ ） A. B. C. D. 2. 命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知，，则，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 且 D. 或 6. 我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 15 7. 已知命题，命题，，则成立是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设，若关于的不等式在上有解，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是  （ ） A. B. C. D. 10. 若在函数定义域的某个区间上定义运算 则函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 11. 函数，当时，，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 12. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上） 13. 已知且，则由的值构成的集合是_______ . 14. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值为________． 15. 若，则实数的一个取值为__________. 16. 设函数,若，则的取值范围是__________. 17. 若函数的单调递增区间为，则的最小值为__________． 18. 高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上） 19. 已知集合， （1）若时，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20. 已知函数. （1）利用函数单调性的定义证明：在上的单调递减. （2）设，解不等式：. 21. 已知关于的不等式，. （1）已知不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式 22. 已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）若函数，求的最值； （2）已知，求函数f(x)的值域； （3）对于（2）中的函数和函数，若对任意x1∈[0，1]，总存在∈[1，2]，使得＝成立，求实数k的值. 23. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”， 且， 求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $