精品解析：北京市对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

数学 （满分150分，考试时间120分钟．） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或或1 4. 给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 已知，则“”是“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 7. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 8. 已知不等式的解集非空，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 9. 若函数在处取最小值，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 2或4 10. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个． A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 已知集合，则_____ 12. 已知命题p：，，则是______． 13. 函数的定义域是__________. 14. 若关于x的方程的两个实数根为，且，则实数m的值为___________. 15. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 三、解答题（共6小题；共85分） 16. 因式分解完成下列各题： （1） （2） （3） 17. 已知集合，. （1）若，求集合，集合； （2）若，求实数的取值范围. 18. 分别求下列关于的不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 19. 已知函数． （1）若关于x的不等式的解集为，求a的值； （2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，，求的取值范围； （3）若当时，恒成立，求a的取值范围． 20. 某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑，已知该品牌电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入（为正整数）台，且每批需付运费元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为），若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. （1）记全年所付运费和保管费之和为元，求关于的函数. （2）若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？ 21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”． （1）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）． （2）请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”． （3）当时，集合，求证：集合不是“和谐集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （满分150分，考试时间120分钟．） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的概念与集合间的基本关系进行各选项的判断. 【详解】集合中的元素为0，A、B选项错误； 是任何集合的子集，C选项正确； 集合是点集，元素为， 集合是数集，元素为、，D选项错误. 2. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再利用集合的交集运算求解. 【详解】 ，即D选项正确. 3. 已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合为单元素集，可得方程只有一个实根，对分类讨论即可求解. 【详解】若集合为单元素集，则方程只有一个实根. 当,可得，满足题意； 当时，,解得. 故的取值是0或1. 故选:C. 4. 给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由空集的性质判断①②，由集合元素的互异性判断③，由集合的表示判断④. 【详解】①空集只有本身一个子集，①错误； ②若，则，不一定成立，②错误； ③若，则，此时成立，若，不符合集合元素的互异性，故，③错误； ④，④正确； 故选：B. 5. 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 6. 已知，则“”是“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件. 【详解】设，可知函数对称轴为 由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立 由此可知：当，即时， 当时，可得，即 可知“”是“”的充要条件 本题正确选项：C 【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题. 7. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有， 当且仅当时，等号成立， 则的最小值为. 故选：A. 8. 已知不等式的解集非空，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式有解，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由在R上有解，又开口向上， 所以，解得或，即或. 故选：B 9. 若函数在处取最小值，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得. 故选：B 10. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个． A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 已知集合，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可． 【详解】解不等式得， 所以， 所以可以求得 故答案为 【点睛】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查． 12. 已知命题p：，，则是______． 【答案】， 【解析】 【分析】利用全称命题否定求解 【详解】全称命题否定“改量词否结论”故是：， 故答案为：， 13. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可. 【详解】由题意知，，解得， 则函数的定义域是， 故答案为：. 14. 若关于x的方程的两个实数根为，且，则实数m的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题知，，再根据韦达定理求解得，进而解方程得 【详解】解：因为关于x的方程的两个实数根为， 所以，， 所以 所以， 因为， 所以，即，解得 因为，所以 故答案为： 15. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 【答案】 ①. 130. ②. 15. 【解析】 【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值. 【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, 元时,李明得到的金额为,符合要求. 元时,有恒成立,即,即元. 所以的最大值为. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 三、解答题（共6小题；共85分） 16. 因式分解完成下列各题： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据十字相乘法因式分解即可. 【小问1详解】 十字相乘：，，交叉积之和 ， 故.  【小问2详解】 十字相乘：，，交叉积之和 ， 故. 【小问3详解】 十字相乘：，，交叉积之和 ， 故. 17. 已知集合，. （1）若，求集合，集合； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义求出、，最后根据并集的定义计算可得； （2）由，可得，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】解：（1）因为，所以， 或. 当时， 所以或. 所以或. （2）因为，所以. 当时，，则； 当时，由题意得， 解得. 综上，实数的取值范围是. 【点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件． 18. 分别求下列关于的不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）当时，为；当时，为；当时，为. 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法求解即可. （2）根据分式不等式的解法求解即可. （3）根据一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 等价于或，解得或， 故解集为. 【小问2详解】 可化为，等价于，解得， 故解集为. 【小问3详解】 等价于， 方程的根为或. 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为. 故不等式的解集为 当时，为；当时，为；当时，为. 19. 已知函数． （1）若关于x的不等式的解集为，求a的值； （2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，，求的取值范围； （3）若当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得和3为方程的两根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）结合一元二次方程的根的判别式和韦达定理求解即可； （3）将问题转化为对于恒成立，令，进而结合二次函数的性质可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，和3为方程的两根，且， 则，解得. 【小问2详解】 由题意方程有两个不相等的实数根，， 则，即且， 又， 则当时，； 当时，， 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 由，，即， 即对于恒成立， 令， 则， 因为函数在上单调递增， 所以当时，，即， 所以，即a的取值范围为． 20. 某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑，已知该品牌电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入（为正整数）台，且每批需付运费元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为），若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. （1）记全年所付运费和保管费之和为元，求关于的函数. （2）若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？ 【答案】（1）；（2）台. 【解析】 【分析】（1）若每批购入台，则需要进购批，可计算出总运费和电脑的保管费，可得出的值，若每批购入台，则需要进购批，进而可得出关于的函数解析式； （2）利用基本不等式求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得解. 【详解】（1）若每批购入台，则需要进购批，总运费为元， 每批购入电脑的总价值为元，由题意可得， 解得， 若每批购入台，则需要进购批， 所以，； （2）由基本不等式可得（元）， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，当每批购入台电脑时，全年用于支付运费和保管费的资金最少. 【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”． （1）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）． （2）请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”． （3）当时，集合，求证：集合不是“和谐集”． 【答案】（1）集合不是“和谐集”. （2） 略 （3） 略 【解析】 【分析】（1）根据定义，判断集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”；（2）集合，根据定义验证即可；（3）不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有③，或者④，由定义得出矛盾即可证明结论. 【小问1详解】 集合不是“和谐集”． 【小问2详解】 集合， 【小问3详解】 略 【点睛】考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于创新题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $