专题12 双曲线·焦点三角形·离心率·最值·直线与双曲线综合题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

专题12 双曲线·焦点三角形·离心率·最值·直线与双曲线综合题型突破（六大题型） 考点01 双曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值 考点02 双曲线中焦点三角形的问题 考点03 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 考点04 双曲线的几何性质 考点05 直线与双曲线联立弦长问题 考点06 直线与双曲线定点定值问题 考点01 双曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值 1．求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 2．已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 3．已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 4．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 6．已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 7．已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 10．（多选）若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 考点02 双曲线中焦点三角形的问题 11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（     ） A．2 B． C．1 D． 12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 13．（多选）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 15．已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 16．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 17．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 18．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 19．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 20．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上的一点满足，则点的坐标为______． 考点03 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 21．设、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线渐近线在第一象限的交点为，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．已知双曲线， (1)求双曲线离心率： (2)过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 23．设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 24．已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 25．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 26．设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 27．（多选）已知为坐标原点，过的直线与双曲线相交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．直线斜率的取值范围为 C．若是双曲线上的动点，则的最小值为 D．过作的垂线，垂足为，则点的轨迹与直线有且只有1个公共点 28．已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与y轴相交于点P，与C相交于M、N两点、且，则C的离心率为__________． 29．已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 30．已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点04 双曲线的几何性质 31．（多选）已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 32．（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 33．（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 34．（多选）在平面直角坐标系中，已知是双曲线上任意一点，射线上的点满足. 记的轨迹为，则下列说法正确的有（    ） A．关于轴､轴､原点都对称 B．上的点到原点的距离的最大值为1 C．存在，使得到点和点的距离之差大于2 D．任意 35．（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 36．（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 37．（多选）是关于的方程，则（　　） A．方程可以表示半径为的圆 B．当时方程表示焦点在轴上的椭圆 C．是方程表示焦点在轴上的椭圆的必要不充分条件 D．是方程表示双曲线的充要条件 38．（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（   ） A．若，则C为椭圆 B．若，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距可以为 D．若C为焦点在轴上的椭圆，则 39．（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（   ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 40．（多选）已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 考点05 直线与双曲线联立弦长问题 41．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 42．圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为_____． 43．已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 44．已知点，双曲线的一条渐近线方程是，直线被截得的弦长为. (1)求的方程. (2)已知是的右支上不同的两点，且存在实数，使得. （i）若点满足，求证：点总在某定直线上； （ii）若直线与的另一个交点为（异于），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 45．已知直线，双曲线 (1)求关于直线的对称直线； (2)若，求直线与双曲线相交所得的弦长； (3)若与双曲线有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围. 46．（多选）若双曲线C:的右焦点为F，且点在双曲线C上，则下列关于双曲线C的结论正确的是（    ） A．双曲线C的渐近线上的点到F点的距离的最小值为4 B．离心率为 C．双曲线C上的点到F的距离的最小值为2 D．过点F的最短弦长为 47．已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 48．（多选）已知双曲线C:，若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的渐近线方程为x±y=0 B．双曲线C的实轴长为6 C．双曲线C的离心率e= D．过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A，B两点，则弦长|AB|=2 49．已知双曲线的实轴长为8，过的焦点且垂直于实轴的弦长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 50．已知和为双曲线上的两点． (1)求C的方程． (2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）． （ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程； （ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 考点06 直线与双曲线定点定值问题 51．已知双曲线（，）经过点且其离心率为2，点为双曲线上一动点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，（，在轴同侧）． (1)求双曲线的方程； (2)证明点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出该值； (3)求（为坐标原点）面积的最小值． 52．已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 53．已知点，，，且. (1)求点P的轨迹方程C； (2)已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 54．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（     ） A．离心率 B．若的斜率为1时， C．为定值 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 55．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，右焦点到该渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左焦点为F，过F的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点． （i）若，求直线l的方程； （ⅱ）若点，直线与直线相交于Q点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 56．已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 57．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 58．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点 C．若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值 D．设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于 59．已知双曲线的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线于另一点（不与重合），线段的中垂线交x轴于点．若，求k的值； (3)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 60．（多选）已知双曲线的渐近线方程为分别为的左、右顶点，的右焦点为 为上在第一象限内的一点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则（    ） A．的离心率为3 B． C．直线的斜率之积为定值 D．的取值范围为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 双曲线·焦点三角形·离心率·最值·直线与双曲线综合题型突破（六大题型） 考点01 双曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值 考点02 双曲线中焦点三角形的问题 考点03 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 考点04 双曲线的几何性质 考点05 直线与双曲线联立弦长问题 考点06 直线与双曲线定点定值问题 考点01 双曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值 1．求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义把求的最小值转化为求的最小值，再利用两点间线段最短求解； （2）利用双曲线定义，结合圆的性质及两点间线段最短求解最小值． 【详解】（1）由题意知， 所以要求的最小值，只需求的最小值， 如图1所示，连接交双曲线的右支于点， 当点位于点处时，最小，最小值为． 故的最小值为． （2）设点的坐标为，则点，是双曲线的焦点， 如图2所示，连接，， 由双曲线的定义，得． 所以． 因为点是圆上的点，圆的圆心为，半径为1， 所以，从而， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 故的最小值为． 2．已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 3．已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 4．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 5．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 6．已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 7．已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 8．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 9．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 10．（多选）若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由焦点三角形面积公式可得A错误；由双曲线的定义可得B正确；当点位于右顶点时可得C正确；由向量的数量积和基本不等式可得D错误. 【详解】圆的圆心为，半径为1，双曲线的焦点， 对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得，故A错误； 对于B，由双曲线的定义可得，当三点共线时取等号，故B正确； 对于C，，所以当最小时，四边形的面积最小， 由双曲线的性质可得当点位于右顶点时，最小， 所以，所以四边形面积的最小值为，故C正确； 对于D， ，当时取等号，但，所以取不到等号，故D错误. 故选：BC 考点02 双曲线中焦点三角形的问题 11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义与切线长定理确定出切点为定点，进而将问题转化为求已知圆上的动点到定焦点的最短距离. 【详解】由题意得，则，所以， 设的内切圆与分别相切于两点，则有， 由双曲线定义可得，即， 进而，即， 因为，所以， 联立得，因为，所以， 所以点在以为圆心，半径的圆上移动，且， 所以. 12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 【答案】 【分析】根据内心的性质和双曲线的定义得到点G与点重合，再结合列方程，解方程即可. 【详解】设，，与内切圆的切点分别为E，F，G，令， ，， 则，得， ，，由双曲线定义得， 则点G与点重合， 又， 则，即. 又，， 直线GT的方程为， ， . 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据内心的性质得到，再结合双曲线的定义得到与重合，最后列方程求解即可. 13．（多选）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过内切圆半径确定双曲线中需满足的等式关系，进而逐项判断即可. 【详解】以原点为圆心、为半径的圆方程为，该圆过双曲线的两个焦点， 根据直径所对圆周角为直角，可得为直角三角形，， 设，，由双曲线定义得； 直角三角形内切圆半径公式为，又，， 代入得；结合， 可得：， 由勾股定理， 将、代入上式化简可得关系：； 选项A：双曲线，，， ，不满足条件， 选项B：双曲线，，， ，满足条件， 选项C：双曲线，，， ，满足条件， 选项D：双曲线，，， ，满足条件. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解. 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 15．已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 16．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 17．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 18．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 19．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 20．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上的一点满足，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据双曲线定义解出，再设点得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，， 由双曲线定义知，联立，解得， 设，因为，所以点在双曲线的右支上，则， 因为，所以①， 又因为点在双曲线上，则②， 联立①②解得或. 所以． 考点03 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 21．设、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线渐近线在第一象限的交点为，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的坐标，再利用余弦定理求出之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意得圆的方程为，由题意得双曲线的渐近线为． 由解得或， 因为点在第一象限，所以. 又，所以， 在中，，由余弦定理得， 即，化简得， 所以，则离心率. 22．已知双曲线， (1)求双曲线离心率： (2)过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由标准方程读出 ，利用 求 ，代入离心率公式 即得 ； （2）由 三点位置，结合中点条件可求，代入双曲线方程可求（依右支舍去负根），再代回斜率公式得 ； （3）将 展开整理得 ，与双曲线方程联立消元求得 ，以 为底求焦点三角形面积。 【详解】（1） 双曲线 （2）已知 是 中点， 设 ，由中点公式： ∵ 在双曲线 上，代入双曲线方程可得，故， 把 代入可得，所以， ∵ 在右支， 由 ，得 ，即 直线 过 （3）由已知 设 ， ，故， 又在双曲线上，故，即， 联立方程组， 所以 s所以 23．设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 【答案】3 【分析】令，可得，结合双曲线的定义可得，结合题意可得，即可得离心率. 【详解】令，，解得，故， 因为，所以， 又因为，解得， 所以双曲线的离心率为. 24．已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 【答案】 【分析】根据过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，得到渐近线的倾斜角范围，进而得到关于，的不等式，利用，进而得到关于，的不等式，可求得离心率的取值范围. 【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 所以双曲线经过第一象限的渐近线的倾斜角不小于， 即， 所以， 所以离心率， 即. 25．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【分析】先用双曲线定义表示出两条焦半径长度，再对焦点三角形用余弦定理，建立关系式，算出离心率． 【详解】设，则， 由双曲线定义可得， 即， 所以，， 又，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得， 故离心率． 26．设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由和点在双曲线上得到两个方程，利用平分得到角平分线定理，将线段比转化为离心率的表达式，联立方程消元后得到关于离心率的方程，解出并结合确定最终结果. 【详解】设，由得（1） 又在双曲线上：（2） 由平分，由角平分线定理得（3）， 由 (1)(2) 消去得（4）， 又 将 代入 (3) 的平方： 即，整理得（5）， 由(4)(5)得即 因为，所以，代入得 化简得，即， 解得，因为，所以 27．（多选）已知为坐标原点，过的直线与双曲线相交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．直线斜率的取值范围为 C．若是双曲线上的动点，则的最小值为 D．过作的垂线，垂足为，则点的轨迹与直线有且只有1个公共点 【答案】ACD 【分析】利用离心率公式求出离心率，假设直线的方程，联立双曲线方程，根据求出斜率取值范围，再判断斜率不存在时是否有两个交点，根据两点间距离公式及二次函数的性质即可求出的最小值，求出点的轨迹方程,结合B选项可确定出轨迹的范围，结合直线经过的特殊点判断. 【详解】对于A，； 对于B，假设斜率不存在，则直线，此时与双曲线没有交点，不符合题意，舍去， 若斜率存在，设，联立得， 因为直线与双曲线有两个交点，则且， 解得或或； 对于C，设，则， 因为，所以， 根据二次函数性质可得当时，， 即； 对于D，由于为定点，由题知，动点满足， 即点的轨迹是以线段为直径的圆的一部分，且圆心为，半径为1， 这个圆的方程为， 设过的直线为， 由B选项可知，该直线和双曲线交于两点时满足且， 当，过原点和垂直的直线为，此时垂足为， 当，过原点的直线和垂直，可设该直线为， 联立，解得， 由且，得到， 注意到在圆上可知， 综上所述，， 令代入圆可得，记， 如下图所示，的轨迹为一段优弧挖去两个点所得而来 ，即直线方程为恰好经过， 注意到该直线还经过圆心，如图，该直线和的轨迹只有一个交点. 综上所述，ACD正确. 28．已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与y轴相交于点P，与C相交于M、N两点、且，则C的离心率为__________． 【答案】 【分析】根据条件判断点是的中点，且点为的中点，，求出点的坐标，进而求出点的坐标，将点代入双曲线方程，计算即得离心率. 【详解】如图，取该双曲线的右焦点为，不妨设在第一象限，连接， 因，则点是的中点，且点为的中点， 又因点为的中点，则为的中位线，又，则， 将代入，可得，即， 故，因点为的中点，则得， 又因点在双曲线上，则，结合，化简得，解得， 故C的离心率为. 29．已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据点到直线距离公式求出、利用余弦定理求出，根据列方程即可求出答案. 【详解】如图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，∴， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，，即，因此，双曲线的离心率为. 30．已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义及基本性质，结合余弦定理，列出方程，求得，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，椭圆与双曲线的焦距相同，即焦点相同，设，， 则在椭圆中，可得。，则， 则， 又，即， 即，所以， 所以， 在双曲线中，可得，则， 所以， 又，所以，化简得， 又，所以，所以，解得， 所以双曲线的离心率为. 考点04 双曲线的几何性质 31．（多选）已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 【答案】AD 【分析】分情况去掉绝对值符号，进而可作出曲线，再结合每个选项的条件逐项判断 选项A：满足条件的曲线是双曲线的右支，所以存在点； 选项B：直线与一、三象限的曲线的渐近线不平行，故直线与曲线有交点； 选项C：结合图像，可知直线与曲线有两个交点，显然； 选项D：点到直线距离公式求得：，结合点是曲线上在第三象限内的一点，可求得：. 【详解】分情况去掉绝对值符号，进而可作出曲线，再结合每个选项的条件逐项判断即可. 当，时，曲线：； 当，时，曲线：； 当，时，曲线：（不存在）； 当，时，曲线：. 画出图形如图所示：    对于选项A：满足条件的曲线是双曲线的右支， 所以存在曲线上的点，使得成立，故选项A正确； 对于选项B：一、三象限曲线的渐近线方程为， 则直线与曲线有交点，故选项B错误； 对于选项C：设过点的直线：，与曲线有两个交点，显然，故选项C错误； 对于选项D：设，由点到直线距离公式得：，， 所以. 因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有， 即，所以，故选项D正确. 32．（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，故D正确. 33．（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABC 【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC. 【详解】由题意得，不妨设在第二象限， 当时，则，则， 故，， 故，由于是的角平分线，所以， 进而可得，故斜率为，故A正确， 由于，所以，故B正确， 延长交于点，连接， 由于是的角平分线，，所以， 故是的中点，， 由双曲线定义可得， 又是的中点，，故C正确，D错误. 34．（多选）在平面直角坐标系中，已知是双曲线上任意一点，射线上的点满足. 记的轨迹为，则下列说法正确的有（    ） A．关于轴､轴､原点都对称 B．上的点到原点的距离的最大值为1 C．存在，使得到点和点的距离之差大于2 D．任意 【答案】ABD 【分析】根据在射线上且得到和的坐标之间的关系，再利用点坐标满足双曲线方程得到的轨迹方程，对于A，由方程特点即可判断，对于B，根据范围即可知范围，对于C，把放在某条双曲线上，结合的坐标范围即可判断错误，对于D，利用进行代换即可得的范围. 【详解】设，因为且， 所以，又在射线上，所以存在使得， 即，又根据可得， 即，代入点坐标得， 再把点坐标代入双曲线方程有， 整理得的轨迹的方程为且， 对于A，无论是把替换为，还是把替换为，或者同时替换， 的方程及限制条件都不变，所以关于轴､轴､原点都对称，A正确； 对于B，由前述分析可知，当即点坐标为时， 取得最大值，B正确； 对于C，若到点和点的距离之差大于， 则在以点和点为焦点且半实轴的双曲线上， 该双曲线上的点显然满足，而由可知， 所以到点和点的距离之差不可能大于，C错误； 对于D，设，则由的方程可得且， 所以，即，D正确. 35．（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. 36．（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 【答案】ACD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可． 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C正确； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确． 故选：ACD 37．（多选）是关于的方程，则（　　） A．方程可以表示半径为的圆 B．当时方程表示焦点在轴上的椭圆 C．是方程表示焦点在轴上的椭圆的必要不充分条件 D．是方程表示双曲线的充要条件 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合圆的方程及椭圆的方程、双曲线的方程的特征，逐项分析判断即可求解. 【详解】方程表示圆的条件是，即， 此时方程为，即，半径为，故A正确； 当时，，则，所以， 表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 方程表示焦点在x轴上的椭圆的条件是， 得到，所以是表示焦点在轴上的椭圆的充分不必要条件，故C错误； 方程表示双曲线的条件是，即， 所以，所以是方程表示双曲线的充要条件，故D正确. 故选：ABD. 38．（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（   ） A．若，则C为椭圆 B．若，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距可以为 D．若C为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BCD 【分析】根据二元二次方程与曲线的关系列不等式求参数范围，依次判断各项的正误. 【详解】对于A，若表示椭圆，则，解得或，A错； 对于B，当时，，此时方程表示焦点在x轴上的双曲线，B对； 对于C，当时，方程，此时，则双曲线的焦距为，C对； 对于D，若表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，D对. 故选：BCD 39．（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（   ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 【答案】AD 【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程以及直线方程列式求解判断即得. 【详解】对A，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 则，则曲线的方程为， 若曲线表示圆，则有，则，A对； 对B，若曲线表示椭圆，则有，则且，B错； 对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错； 对D，若曲线表示轴，则，此时表示直线，即轴，D正确. 故选：AD 40．（多选）已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 【答案】ACD 【分析】由实轴长求，由离心率求，再由求，进而判断各选项. 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，解得. 又因为离心率，所以. 由双曲线中，得，解得. 所以双曲线方程为，故A正确； 双曲线的渐近线方程为，故B错误； 焦点坐标为，故C正确； 将点代入方程：，成立，所以点在双曲线上，故D正确. 考点05 直线与双曲线联立弦长问题 41．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率. 【详解】双曲线渐近线，即， 因为渐近线被圆所截得的弦长为， 则圆心到渐近线的距离，解得， 则双曲线方程为，故，，则， 故双曲线C的离心率为. 42．圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，再利用几何法求出弦长即可． 【详解】双曲线的一条渐近线为，即， 圆的圆心为，半径， 圆心到渐近线的距离为， 由勾股定理得，弦长为． 43．已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意建立关于的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立，写出韦达定理，利用和三角形相似可推得，与韦达定理联立求得，再用弦长公式即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，，      解得，      所以的方程为 （2）联立，整理得，      由，可得， 设，则      因为， 又直线过点，且，     所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出）     将①式代入得，消去得，     解得，     则    44．已知点，双曲线的一条渐近线方程是，直线被截得的弦长为. (1)求的方程. (2)已知是的右支上不同的两点，且存在实数，使得. （i）若点满足，求证：点总在某定直线上； （ii）若直线与的另一个交点为（异于），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）设，且， 则，， 因为，则，可得， 设，则，， 因为，则，可得， 因为点在双曲线：上， 则，即， 两式相减得，即， 可得，所以点总在定直线上； （ii）直线过定点 【分析】（1）根据渐近线可得，代入点可得，即可得双曲线方程； （2）（i）设，，根据向量共线结合点差法分析证明；（ii）设直线，联立方程可得韦达定理，利用韦达定理求、和，求点和直线，令可得，即可得结果. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程是，则，即， 则双曲线的方程即为， 因为直线的方程为， 由题意可知：双曲线过点，则， 所以双曲线的方程为. （2）（i）略 （ii）因为双曲线的渐近线方程为， 由题意可知：直线的斜率存在，设直线，， 联立方程，消去y可得， 则， 可得，， 则， ， ， 直线的斜率，直线的斜率方程：， 联立方程，消去y可得， 则， 设，可得， 则， 且，即， 可得， 且， 即， 则直线：，即， 令，可得 ， 因为 所以直线过定点. 45．已知直线，双曲线 (1)求关于直线的对称直线； (2)若，求直线与双曲线相交所得的弦长； (3)若与双曲线有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相关点法，在直线上任取一点，可得点关于直线的对称的点，代入即可得结果； （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，结合弦长公式运算求解； （3）联立直线与双曲线方程，根据题意结合判别式可得且，进而可求离心率. 【详解】（1）在直线上任取一点， 则点关于直线的对称点， 因为点在直线上，则，即， 所以直线的方程为. （2）若，双曲线方程为， 联立方程，消去y可得， 则，可知直线与双曲线相交，设交点坐标为， 可得，， 则所求弦长为， 所以直线与双曲线相交所得的弦长为. （3）联立方程，消去y可得， 若直线与双曲线相交，则，解得且， 又因为双曲线离心率， 当时，可得； 当时，； 综上所述：双曲线的离心率的取值范围为. 46．（多选）若双曲线C:的右焦点为F，且点在双曲线C上，则下列关于双曲线C的结论正确的是（    ） A．双曲线C的渐近线上的点到F点的距离的最小值为4 B．离心率为 C．双曲线C上的点到F的距离的最小值为2 D．过点F的最短弦长为 【答案】AC 【分析】将点代入双曲线方程求出，得到双曲线的标准方程，求出渐近线，过焦点作渐近线的垂线，垂线段就是双曲线C的渐近线上的点到F点的距离的最小值，利用点到直线的距离公式求出即可得解；利用离心率的公式求出离心率；当双曲线C上的点为其右顶点时，双曲线C上的点到点F的距离最小；过点F且斜率为零的直线与双曲线的交点为，为过点F的最短弦. 【详解】点在双曲线上， ，， 双曲线C的标准方程为，右焦点为， 渐近线的方程为， 由点F向双曲线C的渐近线作垂线，交渐近线于点，    垂线段的长度即为双曲线C的渐近线上的点到点F的距离的最小值， 由点到直线的距离公式可得，故选项A正确； 因为，所以双曲线C的离心率，故选项B错误； 当双曲线C上的点为其右顶点时，双曲线C上的点到点F的距离最小， 最小值为2，故选项C正确； 过点F且斜率为零的直线与双曲线C的交点为， 此时为过点F的最短弦，且，故选项D错误. 故选：AC. 47．已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的焦距和虚半轴长求出实半轴长，即得其标准方程； （2）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解； （3）设直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，再由化简计算即得. 【详解】（1）因为双曲线：的焦距为， 所以，解得， 由题意得，则， 所以双曲线的方程为； （2）依题意，可设直线MN的方程为， 由，消去y得， 由韦达定理得， 所以； （3）如图所示，设直线的方程为，， 由，消去x得， 则，且， 则，可得， 又，则，. 48．（多选）已知双曲线C:，若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的渐近线方程为x±y=0 B．双曲线C的实轴长为6 C．双曲线C的离心率e= D．过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A，B两点，则弦长|AB|=2 【答案】AD 【分析】由圆与双曲线C的渐近线相切，利用圆心到渐近线的距离等于半径求出，依次可求出渐近线方程，实轴长，离心率，由双曲线的右焦点是圆M的圆心得到弦长为直径，从而求出. 【详解】双曲线的渐近线方程为x±ay=0，圆M的圆心为，半径为1， 所以圆心到渐近线的距离，得（负值舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为，故选项A正确； 双曲线C的方程为，双曲线C的实轴长为，故选项B错误； ，所以双曲线的离心率，故选项C错误； 因为双曲线的右焦点是圆M的圆心，所以弦长即为直径，所以，故选项D正确. 故选：AD. 49．已知双曲线的实轴长为8，过的焦点且垂直于实轴的弦长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质，列方程组，即可求解. 【详解】不妨设双曲线的标准方程为，由题意，得， 解得，所以的半焦距，所以的离心率. 故选：D 50．已知和为双曲线上的两点． (1)求C的方程． (2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）． （ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程； （ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）直线，令，得， 同理可得，故，． 记以MN为直径的圆与x轴交于P，Q两点，圆心为， 所以 由（1）知， ，， 所以 ， 所以，为定值． 【分析】（1）将点代入求参数即可； （2）（ⅰ）设直线l的方程为，，，联立得到，，再利用弦长求参数即可求解； （ⅱ）由题知直线，进而得到，同理可得，利用，代入计算即可证明. 【详解】（1）由题可知，解得，， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题可知直线l斜率不为0，设直线l的方程为， 联立，得， 设，， 则且， 解得，，， ， 解得，所以l的方程为． （ⅱ）略 考点06 直线与双曲线定点定值问题 51．已知双曲线（，）经过点且其离心率为2，点为双曲线上一动点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，（，在轴同侧）． (1)求双曲线的方程； (2)证明点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出该值； (3)求（为坐标原点）面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明：双曲线的渐近线方程为：，点到两条渐近线的距离分别为：，，则，因在双曲线上，所以，代入解得为定值；定值为 (3) 【分析】1.使用离心率求出，，的关系，再将点代入求出双曲线方程； 2.利用双曲线上点的坐标特性，证明该点到双曲线两条渐近线的距离乘积恒为定值； 3.设过动点的直线，与渐近线方程联立得到三角形面积表达式，结合已知条件使用不等式求解。 【详解】（1）由题知，，故，结合，得：，将点代入双曲线方程得：，解得，，所以双曲线的方程为； （2）略，定值为； （3）设过点的直线方程为，联立直线与渐近线的方程得：，，，因为在轴同侧，所以，而，又因为，所以 原点到直线的距离，则， 又利用与，得： 因此， 所以面积最小值为. 52．已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)设点、，， 由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立，可得， 由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 由韦达定理可得，， ，，， 得，， ，， . 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由，可得出、的表达式，结合韦达定理可计算得出为定值. 【详解】（1）因为双曲线的焦点坐标为，则， 设椭圆的方程为， 又椭圆过点，， 可得，，椭圆的标准方程为：； （2）略. 53．已知点，，，且. (1)求点P的轨迹方程C； (2)已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据双曲线的性质及定义写出对应参数，即可得； （2）（i）设直线，联立双曲线方程得，讨论、，分别求直线与双曲线只有一个交点情况下对应k值；（ii）设直线，，联立双曲线并应用韦达定理，结合，韦达定理代入化简，根据定值列方程组求得参数m. 【详解】（1）由题意，点P的轨迹为双曲线，且， 所以，则点P的轨迹方程C为； （2）（i）由题设，设直线，联立双曲线，得， 所以， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 当，交点为；当，交点为； 当，此时，则， 当，切点为；当，切点为； 综上，或. （ii）由题设直线， 联立双曲线方程，得，则， 故，所以①， 设，则，， 由 又，， 为定值， 所以，此时为定值. 54．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（     ） A．离心率 B．若的斜率为1时， C．为定值 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】ABC 【分析】对于选项A，根据双曲线的渐近线方程可求得，进而可求得，可得离心率；对于选项B，联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解；对于选项C，根据双曲线定义，即可求解；对于选项D，设，，则，，代入化简即可求解. 【详解】对于A选项，因为双曲线：的渐近线方程为， 即，所以，此时双曲线的方程为，则，， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 又过的直线的斜率为1，所以直线的方程为， 因为直线与双曲线的左右两支分别交于，两点， 与双曲线联立，化简得， 设，，则，， 所以，故B正确； 对于C选项，根据双曲线定义，，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D选项，设，，线段的中点，则，，所以，，， 又，在双曲线上，所以，， 所以，， 所以，故D错误. 综上所述，选项ABC正确. 55．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，右焦点到该渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左焦点为F，过F的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点． （i）若，求直线l的方程； （ⅱ）若点，直线与直线相交于Q点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)（i），或者； （ⅱ）根据A，P的坐标，得到直线的方程为： 当时Q的坐标为 ,   ，              由A，F，B三点共线可知， 即  ，                                  . 【分析】（1）由渐近线得，焦点到渐近线距离求，结合得方程; （2）（i）设横截式，利用向量条件得到，结合韦达定理整体求解，简化计算； （ii）先求出点坐标，将斜率差通分整理，利用三点共线化简分子，再代入韦达定理整体代换，消去参数后得定值. 【详解】（1）渐近线为，得，又因为右焦点到该渐近线的距离为，所以， 双曲线中有，所以代入得， 故双曲线的标准方程为：. （2）（i）易得焦点坐标， 设直线方程为：，，由，得， 联立得到，， 由韦达定理得， 将代入得，，解得 故直线l的方程为：，或者 （ii）略 56．已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）略 57．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； 【详解】（1）解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 58．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点 C．若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值 D．设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于 【答案】ACD 【分析】选项A.利用求出坐标，再结合等腰三角形以及双曲线的离心率求解即可.选项B.直线与双曲线仅有一个公共点，包含与渐近线平行和相切两种情况，分析求解即可.选项C.设点，利用双曲线方程化简得到定值，同理.选项D.先求出T，结合离心率得渐近线方程，当与右顶点重合时，面积取得最大值. 【详解】A选项，当轴时，点的横坐标为，代入得． 由于点位于第一象限，故点的坐标为， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 又，则，解得（负根舍去），故A正确； B选项，直线过定点，若直线与双曲线仅有一个公共点， 则与渐近线平行或与双曲线相切，故符合条件的的值有4个，故B错误； C选项，设点的坐标为，则， 由于在上，故有， 于是，同理， 故直线，，，的斜率之积为9，C正确； D选项，令得，故，所以， 因为，所以双曲线的渐近线方程为， 故直线与渐近线平行，如果点与右顶点重合， 则的面积， 因为点P位于第一象限，所以的面积小于，D正确. 59．已知双曲线的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线于另一点（不与重合），线段的中垂线交x轴于点．若，求k的值； (3)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用双曲线的基本性质求解； （2）设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出点坐标，从而得到线段的中垂线方程.令，得到点坐标，再根据列方程求解； （3）假设直线方程，分别与双曲线方程、渐近线方程联立，再结合两点间的距离公式化简求解. 【详解】（1）由题意可得，解得 所以双曲线的标准方程： （2） 设直线方程 与双曲线方程联立可得 ，，则， 则中点，直线， 所以直线的中垂线斜率为，中垂线方程为： 令，得 又有，则，解得 所以的值为. （3） 由（1）知右焦点，渐近线方程： 设直线: 联立可得： 联立得；联立得 所以 所以为定值. 60．（多选）已知双曲线的渐近线方程为分别为的左、右顶点，的右焦点为 为上在第一象限内的一点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则（    ） A．的离心率为3 B． C．直线的斜率之积为定值 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】先根据渐近线与焦点条件，求出双曲线的标准方程与基本参数；接着，对每个选项分别运用双曲线的离心率公式、两点间距离公式、斜率定值推导、点到直线距离公式，并结合余弦定理与均值不等式，逐一验证选项的正确性. 【详解】选项A：因为双曲线 ，渐近线为 ， 所以，故 ，即， 因为右焦点 ，故 ， 所以，所以， 所以的离心率为，A错误； 选项B：由得，又，解得， 则的方程为， 设,，则，即： ， 则 ， 因为 ，所以 ，故 ，B正确； 选项C：由上可知，， 设 ，则：， 因为由，得 ， 所以 ，C正确； 选项D：因为渐近线方程为 ， 其两条渐近线夹角为 ，且，是垂线，因此与的夹角是 ， 则点 到两条渐近线的距离： 设 ，所以，所以， 由余弦定理得： ， 代入双曲线方程 ， ， 因为 在第一象限，，所以 ，故： ，所以， 故 的取值范围为 ，D正确. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $