精品解析：江西新余市第四中学2026-2027学年度九年级上学期数学第一次段考试题

2026-2027学年度初三年级上学期第一次段考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列关系式中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数形如（为常数，）． 【详解】解： A、为正比例函数，不符合题意； B、符合该形式，且，符合题意； C、是二次函数，不符合题意； D、为一次函数，不符合题意． 2. 一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 1，3 D. ，3 【答案】D 【解析】 【详解】解：一元二次方程中， 一次项为， 一次项系数为，常数项为． 3. 在解一元二次方程时，可以将其“降次”，转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过开平方根进行降次． 【详解】解：由题意得， ∴或． 4. 红星村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定年到年的增长次数为2，结合年平均增长率的计算规则列方程． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为， 年平均每公顷产，年平均增长率为， 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产， 列方程得． 5. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将代入，得； 将代入，得； 将代入，得； ∵， ∴. 6. 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③（m为任意实数）；④当时，；⑤． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据时函数有最大值即可判断；④根据抛物线与轴的交点即可判断．⑤根据抛物线经过点，且对称轴为直线可得抛物线与轴的另一个交点坐标为即可判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ，故①正确； ②由①有， ∴，故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∵时，， ∴， ∴，故③正确； ⑤由图象可知抛物线经过点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，，故⑤正确； ④由⑤知抛物线与轴的两个交点为、， 所以当时，；当或时，，故④错误； 所以①②③⑤正确，共4个． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是____________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，逐步计算平移后的抛物线解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ， 将抛物线向上平移3个单位长度，根据平移规律“上加下减”，可得：， 再将得到的抛物线向右平移2个单位长度，根据平移规律“左加右减”，可得：． 8. 若是方程的一个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到满足的等式，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴． 9. 下表是函数的部分自变量与对应的函数值，根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是_________． 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.48 1.28 2.12 【答案】 【解析】 【详解】解：由表可知，当时，；当时，，由于二次函数的图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在2.6和2.7之间，即． 10. 有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 【详解】解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 11. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 12. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先由二次函数的解析式得到点，点的坐标以及对称轴，由于点在轴上方，且在对称轴上，设点坐标为，再根据以、、为顶点的三角形为等腰三角形的已知条件，讨论三角形哪两条边作为三角形的腰，利用勾股定理表示出两点之间的距离，以等腰三角形两腰相等为等量关系列出式子，计算得到的不同取值，检验是否大于后即可得到点的坐标． 【详解】解：二次函数为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，点的坐标为， 当时，，点的坐标为， 对称轴为直线． 点在对称轴上， 设点的坐标为． 以、、为顶点的三角形为等腰三角形， 需要分三种情况讨论． 当时，由，得， 解得， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 14. 求证：不论k取何值，抛物线与x轴总有交点． 【答案】证明： ∵ 即： ∴不论k取何值，该抛物线与x轴总有交点 【解析】 【分析】运用与x轴有两个不同的交点，与x轴有一个交点，结合题意列式计算即可． 【详解】略． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根是x=－2，求k的值以及方程的另一根. 【答案】k=-2，另一根为x=1. 【解析】 【详解】试题分析：将x=-2代入原方程即可求出k值，由两根之积等于即可求出方程的另一个根． 试题解析：∵x=-2是方程的一个根， ∴4-2（k+3）+k=0， 解得：k=-2， ∴原方程为， 解得：x1=1，x2=-2， ∴原方程的另一根为x=1. 16. 如图，矩形的顶点A，D在抛物线（a，b，c为常数且）上，边与该拋物线相交于点E，F，且轴．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图①中，画出该抛物线的对称轴； （2）在图②中，画的中点． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 如图，点即为所作； 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质以及画对称轴的作图技巧是解题的关键． （1）连接和交于一点，连接和交于另一点，过两点作直线，直线即为所作； （2）用无刻度直尺连接交于一点，连接交于另一点，再连接这两点交于点G，点即为所作． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 17. 已知与成反比例，且当时，． （1）求关于的函数关系式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义、待定系数法求反比例函数解析式． （1）设出与成反比例的解析式，代入数值计算出比例系数即可； （2）把的值代入即可得的值． 【小问1详解】 解：设 将，代入， 得， 解得， ； 【小问2详解】 解：当时，． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式列出不等式，即可求解； （2）由， ，结合，列出关于m的方程进而即可求解 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根和， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ∴，即， ∴， 解得：， ∵， ∴ 19. 贵州省遵义市湄潭县以茶产业为特色，某茶叶商家销售一种茶叶礼盒，已知每盒茶叶的成本为40元，原售价为80元，按原售价销售时每周可售出450盒．市场调查表明：每盒茶叶每降价1元，每周的销售量可增加15盒．设每盒茶叶降价元． （1）若每周的销售利润为元，求的值． （2）每盒茶叶降价多少元时，可使商家每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）的值为； （2）每盒茶叶降价元时，每周销售利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，即可求的值． （2）设商家每周的销售利润为，得关于的函数关系式，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每盒茶叶降价元． 由题意得，， 整理得，， 解得，（舍去）， 答：的值为12． 【小问2详解】 解：设商家每周的销售利润为，得 ； ， 时，有最大值18375， 即每盒茶叶降价元时，每周销售利润最大，最大利润为元． 20. 如图（单位：），等腰直角三角形在正方形的左侧，点在一条直线上．现将由如图所示的位置开始，以的速度沿直线从左向右运动（正方形保持不动），直到边与边重合．设运动时，与正方形重叠部分的面积为． （1）写出与之间的关系式． （2）当，时，的值分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了多长时间？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设运动时，运动到，设与交于点，根据题意，得到，根据等腰直角三角形的面积公式，求得关系式即可． （2）利用解析式，求对应的函数值即可． （3）先计算正方形的面积，再确定其一半的值，令函数值等于此值，求自变量的值即可． 【小问1详解】 解：设运动时，运动到，设与交于点，根据题意，得到， 由等腰直角三角形， ， ， 正方形， ， ， ， ， 此时运动的最大时间为：， 故与之间的关系式为：． 【小问2详解】 解：， 当时，； 当时，． 【小问3详解】 解：根据题意，得正方形面积的一半为：， 当时，， 解得或； 由于时间不能为负数， 故舍去， 故， 故当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了． 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球方式的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． （1）在图2所建的平面直角坐标系中，求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离_____m； （3）甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为，根据题意求出点A，D的坐标，代入解析式求解即可； （2）把代入抛物线解析式，求出的长，即可求解； （3）把代入抛物线解析式，求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， ， ， ，， ， ， ， 把，代入函数解析式得， 解得， ； 【小问2详解】 解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ， ； 【小问3详解】 解：把代入抛物线解析式得， 解得，， 乙站在球网右侧， ， 羽毛球离地高度不小于，且， ， ， 即乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 22. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．已知点． （1）求抛物线的解析式． （2）是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为2，的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了求解二次函数解析式，二次函数的性质． （1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解． （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解． 【小问1详解】 解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为． 六、解答题（本小题12分） 23. 在平面直角坐标系中，对于一次函数，若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“型相关量”为． 【理解】 （1）一次函数的“型相关量”为，则________； 【探究】 （2）已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的数量关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】 （3）类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为，请求出的值． 【答案】（1） （2）①当时，g为定值2；② （3）t的值为或 【解析】 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①由题意得：，即可求解；②，根据函数的增减性即可求解； （3）分3种情况讨论，①当时，时g取最大值，②当时，时g取最大值，③当时，时g取最大值，分别计算即可． 【小问1详解】 解：，解得； 【小问2详解】 解：①由题意得：， 为定值，与x无关， ，即， 所以当时，g为定值2； ②， 随x的增大而增大， ， ； 【小问3详解】 解：由题意得：， ， ， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 当，分情况讨论， ①当时，时g取最大值， 即， 解得，（舍去）； ②当时，时g取最大值， 即， 解得（舍去），（舍去）； ③当时，时g取最大值， 即， 解得，（舍去）； 综上，t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度初三年级上学期第一次段考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列关系式中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 1，3 D. ，3 3. 在解一元二次方程时，可以将其“降次”，转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ） A. B. C. D. 4. 红星村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③（m为任意实数）；④当时，；⑤． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是____________． 8. 若是方程的一个根，则___________． 9. 下表是函数的部分自变量与对应的函数值，根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是_________． 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.48 1.28 2.12 10. 有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 11. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 12. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 求证：不论k取何值，抛物线与x轴总有交点． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根是x=－2，求k的值以及方程的另一根. 16. 如图，矩形的顶点A，D在抛物线（a，b，c为常数且）上，边与该拋物线相交于点E，F，且轴．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图①中，画出该抛物线的对称轴； （2）在图②中，画的中点． 17. 已知与成反比例，且当时，． （1）求关于的函数关系式； （2）当时，求的值． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 19. 贵州省遵义市湄潭县以茶产业为特色，某茶叶商家销售一种茶叶礼盒，已知每盒茶叶的成本为40元，原售价为80元，按原售价销售时每周可售出450盒．市场调查表明：每盒茶叶每降价1元，每周的销售量可增加15盒．设每盒茶叶降价元． （1）若每周的销售利润为元，求的值． （2）每盒茶叶降价多少元时，可使商家每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 20. 如图（单位：），等腰直角三角形在正方形的左侧，点在一条直线上．现将由如图所示的位置开始，以的速度沿直线从左向右运动（正方形保持不动），直到边与边重合．设运动时，与正方形重叠部分的面积为． （1）写出与之间的关系式． （2）当，时，的值分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了多长时间？ 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球方式的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． （1）在图2所建的平面直角坐标系中，求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离_____m； （3）甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 22. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．已知点． （1）求抛物线的解析式． （2）是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 六、解答题（本小题12分） 23. 在平面直角坐标系中，对于一次函数，若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“型相关量”为． 【理解】 （1）一次函数的“型相关量”为，则________； 【探究】 （2）已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的数量关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】 （3）类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $