精品解析：江西省九江市多校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2025-2026学年度上学期第一次综合小练 九年级数学 （上册第一-二章） 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、方程中若，则不是一元二次方程，故不符合题意； B、，等号右边是分式，不是整式，故不是一元二次方程，故不符合题意； C、是一元一次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意． 2. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，根据正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，求出和的长，进而确定点的坐标． 【详解】解：连接交于点，如图， 四边形是正方形， ，与互相平分且相等， 点的坐标为， ，且在轴上， ，， ， 点的坐标为． 3. 如图，在矩形中，若，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵在矩形中，， ∴． 4. 若二次三项式可以分解为，则方程的根为（ ） A. 或8 B. 或 C. 2或 D. 2或8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵二次三项式可以分解为， ∴方程因式分解，得， ∴或， ∴，． 5. 我国北宋文人欧阳修的名言“立身以立学为先，立学以读书为本”道出了读书修身的重要意义．为了鼓励全民阅读，安徽某图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆3000人次，第三个月进馆4320人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则下列选项中符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均增长率的等量关系，列出方程即可. 【详解】解：由题意，得. 6. 如图，在正方形中，连接是上一点，连接交于点，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，根据三角形外角的性质求出，根据直角三角形性质，求出结果即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 用配方法解方程，应在方程两边同时加上______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为，再两边同加上一次项系数一半的平方解答即可． 【详解】解：， ， 转化为：． 8. 若正方形的周长为16，则其对角线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由周长求边长，再由边长用勾股定理求对角线即可． 【详解】解：正方形周长为16 边长为4 对角线 故答案为 【点睛】本题考查了正方形的性质与勾股定理的结合，熟悉正方形的性质是解题关键． 9. 已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵方程的两个根是和， 则． 10. 已知关于x的方程，若该方程的一个根小于，则k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用十字相乘得出，然后解出方程的两个根，然后根据该方程的一个根小于列出不等式求解即可得出答案． 【详解】解：， 即， ∴或， ∴，， ∵该方程的一个根小于， ∴， ∴． 11. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点是边的中点，于点，若，则菱形的面积为___________． 【答案】120 【解析】 【分析】延长，取点F，使，连接，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：延长，取点F，使，连接，如图所示： 则， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，且，沿过点E的直线折叠矩形，使点B的对应点落在矩形的边上（点B除外），则的长为______． 【答案】4或16或 【解析】 【分析】根据折叠的性质确定点的位置，并分类讨论，由于点落在矩形的边上，且，分别利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，， ， ， 由折叠知， （1）当过点E的直线与边有交点，且点落在边上时，如图1， 过点作于点， 四边形与四边形均为矩形， ，， 在中，， ∴； （2）当过点E的直线与边有交点，且点落在边上时，如图2， 过点作于点， 四边形与四边形均为矩形， ，， 在中，， ∴； （3）当过点E的直线与边有交点，且点落在边上时，如图3， 在中，， ， 在中，； （4）当过点E的直线与边有交点时，点不会落在矩形的边上； 综上所述，的长为4或16或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答下列问题： （1）解方程：． （2）如图，在Rt中，M是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为4，求的长． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）由正方形的面积得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出的长． 【小问1详解】 解： ， ，． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴． ， ． 在中，M是斜边的中点， ． 14. 2026年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）的常规赛阶段，每两支球队之间都要进行1场比赛，共要比赛55场，求参加2026年“赣超”的球队数量． 【答案】参加2026年“赣超”的球队数量为11 【解析】 【详解】解：设参加2026年“赣超”的球队数量为x． 根据题意得， 解得或（舍去）， ∴x的值为11． 答：参加2026年“赣超”的球队数量为11． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）若2是该方程的一个根，求k的值． （2）若k是最小的正整数，a是该方程的一个根，求的值． 【答案】（1）6 （2）2 【解析】 【分析】（1）将代入一元二次方程，计算即可得出结果； （2）由题意可得，求出，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 即， 解得， k的值为6． 【小问2详解】 解：k是最小的正整数， ． 由题意可知， ， ． 16. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，作的中点F． （2）在图2中，以为对角线作一个菱形． 【答案】（1）如图，点F即为所求： （2）如图，四边形即为所求： 【解析】 【分析】（1）连接交于点F，则点F即为所求； （2）连接交于F，连接、交于点，连接并延长交于P，连接，则四边形即为所求． 【小问1详解】 解：作图依据： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，则点F为的中点； 【小问2详解】 解：作图依据： ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴，又 ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是菱形． 17. 如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接与相交于点．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，再根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，点E在的延长线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，这是一张2026年9月的月历表．在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出4个数（如3，4，10，11）．如图2，已知圈出的4个数a，b，c，d中，最小的数． （1）c的值为_________．（用含x的代数式表示） （2）若圈出的4个数中，，求b的值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据数的位置关系列出代数式即可； （2）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知：c的值为； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解得，（舍去）， ． 19. 如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）交于点，延长至点，使得，若，，求的长． 【答案】（1）证明：平分， ． ， ， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，根据中位线的性质得出，，最后根据勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 20. 某旅行社推出某周边游产品，已知该产品7月份的报名人数为400人，9月份的报名人数增长到576人，且从7月到9月的报名人数月增长率相同． （1）求7月到9月的报名人数的月增长率． （2）该产品的成本为每人300元，当收费标准为每人400元时，月报名人数为600人．若在此基础上，收费标准每提高1元，月报名人数将减少1人．为使月总利润达到100000元，且尽可能让游客得到实惠，该产品的实际收费标准应定为每人多少元？ 【答案】（1）7月到9月的报名人数的月增长率为 （2）该产品的实际收费标准应定为每人500元 【解析】 【分析】（1）设7月到9月的报名人数的月增长率为x，根据题意列方程即可求解； （2）设产品的实际收费标准应定为每人y元，根据总利润每人利润报名人数列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设7月到9月的报名人数的月增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：7月到9月的报名人数的月增长率为． 【小问2详解】 解：设产品的实际收费标准应定为每人y元，则每人的利润为元，报名人数为人， 根据题意得， 解得，． 要尽可能让游客得到实惠，则应选择较低的收费标准， ． 答：该产品的实际收费标准应定为每人500元． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本变式】 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段上（不与点A，B重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为C，D． 【问题解决】 （1）四边形的形状是______；连接，当时，的长为______． （2）当四边形的面积为时，求点P的坐标． 【答案】（1）矩形；． （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，矩形的判定，勾股定理等知识． （1）根据垂直即可证明；求出直线与坐标轴的交点坐标，进而求出和，再根据勾股定理求出，根据三角形的面积的两种求解方式，即可求解； （2）设，根据点P的位置，表示出和，根据矩形的面积列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，即四边形的形状是矩形， 令时，， ∴，即， 令时，解得， ∴，即， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 设， ∵点P在线段上（不与点A，B重合），，， ∴，， ∴，， ∵四边形的面积为， ∴， 解得：，， ∴，， ∴点P的坐标为或． 22. 问题背景： 我们知道，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，我们还可以用换元法来解某些方程，如：解方程，可以将看作一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程无实数解．故原方程的解为，． 解决问题： （1）请用换元法解方程：． （2）已知实数x，y满足，求的值． 【答案】（1）， （2）9 【解析】 【分析】（1）令，将原方程化为关于y的一元二次方程，再利用因式分解法求出y，即可解答； （2）设（），将原方程化为关于t的一元二次方程，再利用因式分解法求出t，即可解答． 【小问1详解】 解：令，则原方程为：， ∴或者， 解得，， 当时，，∴； 当时，，∴； ∴，． 【小问2详解】 解：设（） 则原方程化为， 解得或（舍去）， ∴． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 特例探究 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，交直线于点． （1）如图1，若点在线段上，求证：． （2）如图2，若点在线段的延长线上，探究线段和之间的数量关系． 拓展应用 （3）如图3，是矩形的边上一动点，连接，在上方作，且，连接，，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：过点作于，于． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴平分，， ∴，且四边形是正方形，． 又∵， ∴， 因此， 即． 在和中： ∴， 因此； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，于．根据正方形的性质及角平分线的性质定理得到，且四边形是正方形，，证明，可知； （2）过点作于，于，同理（1）可证四边形是正方形，，得，根据正方形的性质得到，可知是等腰直角三角形，进而得到，进而根据，，计算即可； （3）过点作于，交于，可知四边形是矩形，得到，，根据矩形的性质证明，得到，，设，根据得到，根据勾股定理得到，，进而代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于，于， 同理（1）可证四边形是正方形，， ∴，． ∵是正方形对角线，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 而， 又，， 代入得：， 整理得． 【小问3详解】 解：过点作于，交于， 可知四边形是矩形， ∴，， ∵矩形，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，． 设，则，， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， 化简得， 解得（舍去），． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期第一次综合小练 九年级数学 （上册第一-二章） 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，若，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 12 4. 若二次三项式可以分解为，则方程的根为（ ） A. 或8 B. 或 C. 2或 D. 2或8 5. 我国北宋文人欧阳修的名言“立身以立学为先，立学以读书为本”道出了读书修身的重要意义．为了鼓励全民阅读，安徽某图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆3000人次，第三个月进馆4320人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则下列选项中符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，连接是上一点，连接交于点，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 用配方法解方程，应在方程两边同时加上______． 8. 若正方形的周长为16，则其对角线长为______． 9. 已知方程的两个根是和，则_________． 10. 已知关于x的方程，若该方程的一个根小于，则k的取值范围是_________． 11. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点是边的中点，于点，若，则菱形的面积为___________． 12. 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，且，沿过点E的直线折叠矩形，使点B的对应点落在矩形的边上（点B除外），则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答下列问题： （1）解方程：． （2）如图，在Rt中，M是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为4，求的长． 14. 2026年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）的常规赛阶段，每两支球队之间都要进行1场比赛，共要比赛55场，求参加2026年“赣超”的球队数量． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）若2是该方程的一个根，求k的值． （2）若k是最小的正整数，a是该方程的一个根，求的值． 16. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，作的中点F． （2）在图2中，以为对角线作一个菱形． 17. 如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接与相交于点．若，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，这是一张2026年9月的月历表．在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出4个数（如3，4，10，11）．如图2，已知圈出的4个数a，b，c，d中，最小的数． （1）c的值为_________．（用含x的代数式表示） （2）若圈出的4个数中，，求b的值． 19. 如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）交于点，延长至点，使得，若，，求的长． 20. 某旅行社推出某周边游产品，已知该产品7月份的报名人数为400人，9月份的报名人数增长到576人，且从7月到9月的报名人数月增长率相同． （1）求7月到9月的报名人数的月增长率． （2）该产品的成本为每人300元，当收费标准为每人400元时，月报名人数为600人．若在此基础上，收费标准每提高1元，月报名人数将减少1人．为使月总利润达到100000元，且尽可能让游客得到实惠，该产品的实际收费标准应定为每人多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本变式】 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段上（不与点A，B重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为C，D． 【问题解决】 （1）四边形的形状是______；连接，当时，的长为______． （2）当四边形的面积为时，求点P的坐标． 22. 问题背景： 我们知道，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，我们还可以用换元法来解某些方程，如：解方程，可以将看作一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程无实数解．故原方程的解为，． 解决问题： （1）请用换元法解方程：． （2）已知实数x，y满足，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 特例探究 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，交直线于点． （1）如图1，若点在线段上，求证：． （2）如图2，若点在线段的延长线上，探究线段和之间的数量关系． 拓展应用 （3）如图3，是矩形的边上一动点，连接，在上方作，且，连接，，若，，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $