精品解析：江苏镇江市第三中学2026-2027学年九年级上学期 数学学情自测试题

数学作业01 一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而减小 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象经过点 D. 当时，y随x的增大而增大 3. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 三角形的外接圆有且只有一个 D. 长度相等的两段弧是等弧 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 7. 如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知菱形的两条对角线的长刚好为一元二次方程的两个根，则菱形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论中：①；②点C是的中点；③四边形是平行四边形；④k的值是2．正确的有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 已知2是关于x的方程的一个解，则a的值是_________． 12. 若是反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值为_______． 13. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，则Rt△ABC其外接圆半径为________cm． 14. 设是方程的两个实数根，则的值为_________． 15. 如图，是的直径，是的弦，、的延长线相交于点，， 若，则______． 16. 已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 三、解答题(本题共10小题，共72分) 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3）(用公式法) （4） 18. 北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形摆件的底座（如图1）采用木雕工艺制作，它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为． （1）用尺规作出所在的圆（保留作图痕迹）； （2）直接写出卡槽所在圆的半径的长． 19. 已知与成反比例，且其函数图象经过点． （1）求关于的表达式； （2）当时，求的值． 20. 某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． （1）据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 21. 已知：如图，是的直径，点在上，于E，于F，且与相等吗？为什么？ 22. 已知：关于的方程． （1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 24. 如图，为反比例函数． （1）如图1，若关于t的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求k的值及P点坐标； （2）在题（1）的条件下，若Q为该反比例函数图象上一点，且Q点的横、纵坐标相等，作轴与A点，将反比例函数图象在直线上方的部分沿着翻折，在线段上有一点F，过F作平行于x轴的直线，与翻折后的图像及原反比例函数图像分别交于E点、D点（如图2所示），已知，求F点坐标； （3）如图3，若线段绕点顺时针旋转到，O点对应H点，当P、H在同一个反比例函数图像上，则________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学作业01 一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据其定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程”即可求解． 【详解】解：A、化简得，，不是一元二次方程，不符合题意； B、，当时，该方程不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C ． 2. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而减小 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象经过点 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】反比例函数的符号为突破口，结合图象性质与点坐标验证各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误； 当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误； ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 三角形的外接圆有且只有一个 D. 长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 【解析】 【分析】以等弧的定义为突破口，判断各选项正误． 【详解】解：A、B、C的说法均符合圆的相关概念，正确，不符合题意， ∵ 能完全重合的弧是等弧，仅长度相等的两段弧不一定能完全重合， ∴ D中说法错误，符合题意． 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 5. 已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 6. 如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 7. 如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 8. 已知菱形的两条对角线的长刚好为一元二次方程的两个根，则菱形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求得两条对角线的乘积，代入菱形面积公式计算即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系得， ∴菱形的面积为． 9. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论中：①；②点C是的中点；③四边形是平行四边形；④k的值是2．正确的有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用可证明，据此可判断①；由全等三角形的性质得到，由等边对等角推出，则可证明，据此可证明四边形是平行四边形，则可判断③；由平行四边形的性质得到，即轴；延长交y轴于点E，证明四边形是矩形，推出；根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则可得到，据此可判断④；根据现有条件无法得到点C是的中点，故②错误． 【详解】解：∵轴，， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故③正确； ∴，即轴； 如图所示，延长交y轴于点E， 则轴，即， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴； ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 又∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴，即，故④错误； 根据现有条件无法得到点C是的中点，故②错误； 综上所述，正确的有①③，共2个． 10. 已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，由原方程两根的和与积计算新方程两根的和与积，即可构造对应方程． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， 设所求方程的两根为，， ∴两根之和为，两根之积为， ∴所求方程为，即． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 已知2是关于x的方程的一个解，则a的值是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴， 解得． 12. 若是反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，指数部分应为，即，再根据函数在每个象限内随的增大而增大，系数，解不等式即可得出答案． 【详解】解：函数是反比例函数， 则指数部分， 解得：， 又∵在每个象限内，随的增大而增大， ∴系数，即， ∴． 13. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，则Rt△ABC其外接圆半径为________cm． 【答案】6.5． 【解析】 【分析】根据直角三角形的外接圆直径就是直角三角形的斜边长,所以根据勾股定理只要得到斜边长度即可得出外接圆半径 【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，∴AB=， ∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴AB是其外接圆的直径，∴其外接圆半径为：AB=6.5． 故答案为6.5． 【点睛】本题考查了三角形外接圆的有关知识，对于三角形的外接圆,要熟练掌握以下结论: (1)锐角三角形的外接圆圆心在三角形内部; (2)直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点处; (3)钝角三角形的外接圆圆心在三角形外部. 14. 设是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程解的定义得到的表达式，结合根与系数的关系得到两根之和，将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 根据根与系数的关系可得， ∴ ． 15. 如图，是的直径，是的弦，、的延长线相交于点，， 若，则______． 【答案】##26度 【解析】 【分析】连接，得到，继而得到，再根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 16. 已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】将已知两式相减，结合得到，代入反比例函数解析式得到一元二次方程，根据方程有两个不相等实根结合反比例函数定义求的范围． 【详解】解： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上，且存在两个不同的关联点， ∴，整理得， 该方程需有两个不相等的实数根，且反比例函数要求， ∴，且， 计算得，解得， 综上，的取值范围是且． 三、解答题(本题共10小题，共72分) 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3）(用公式法) （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问4详解】 解：， ， 或， 解得，． 18. 北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形摆件的底座（如图1）采用木雕工艺制作，它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为． （1）用尺规作出所在的圆（保留作图痕迹）； （2）直接写出卡槽所在圆的半径的长． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）圆的半径的长为． 【解析】 【分析】本题考查确定圆心的位置，垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）在上取一点，连接，作、的垂直平分线，两直线交于点，即可得； （2）利用垂径定理得出，在中，利用勾股定理求出的长，即可得答案． 【小问1详解】 解：在上取一点，连接，作、的垂直平分线，两直线交于点，以点O为圆心，以为为半径画圆，则即为所求． 【小问2详解】 解：设的垂直平分线交于，交于，连接， ∴ ∵弓形高（即弧的中点到弦的距离）为，即，， ∴， ∴， 解得：， ∴圆的半径的长为． 19. 已知与成反比例，且其函数图象经过点． （1）求关于的表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，则， 解得． 20. 某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． （1）据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 【答案】（1） 月平均增长率为． （2） 每件商品的售价应降低元． 【解析】 【分析】（1）本题为增长率问题，由初始量最终量（为增长月数），列方程即可求出增长率； （2）由利润公式：单件商品利润销售量总利润，列方程解决问题，注意题目要求尽量减少库存，优先选择降价多的方案． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 设每件商品的售价应该降低元，则每件商品的利润为元，每天的销量为件， 依题意可得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：每件商品的售价应该降低元． 21. 已知：如图，是的直径，点在上，于E，于F，且与相等吗？为什么？ 【答案】 解：与相等．理由如下： 连接，如图， ∵， ∴ ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．连接，由，，得到，由得到，再根据“HL”可判断，则，所以弧弧，． 【详解】略 22. 已知：关于的方程． （1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）证明：∵方程为， ∴判别式 ， ∵对任意实数，都有，即， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程判别式的意义，结合非负数的性质进行判断即可； （2）通过因式分解法可求得方程必有一个根为，分两类讨论等腰三角形的腰长，最后求和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， 解得，， ∴等腰中，必有一条边长为， ①当等腰的腰长为时， ∴的三边长为，，， ∵，不符合三角形的三边关系， ∴该三角形不存在； ②当等腰的腰长为时， ∴的三边长为，，，符合三角形的三边关系， ∴的周长为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 【答案】（1）， （2）和 （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法分别计算两个函数的解析式即可； （2）先求出点的坐标，再结合图象找出一次函数的图象在反比例函数的图象的上面的部分即可； （3）求出点的坐标，设点的坐标为，然后把三角形的面积用含的代数式表示出来，列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：反比例函数 的图象经过点， ， ， ， 反比例函数 的图象经过点，点的横坐标为， ， 的坐标为， 把点、点代入得： ， 解得：， ． 【小问2详解】 解：点、点， 观察图象可知一次函数在反比例函数上方的部分为：和． 自变量的取值范围是和． 【小问3详解】 解：如图， 在中，令得， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则， ， ， 整理得：， 解得：或， 点的坐标为或． 24. 如图，为反比例函数． （1）如图1，若关于t的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求k的值及P点坐标； （2）在题（1）的条件下，若Q为该反比例函数图象上一点，且Q点的横、纵坐标相等，作轴与A点，将反比例函数图象在直线上方的部分沿着翻折，在线段上有一点F，过F作平行于x轴的直线，与翻折后的图像及原反比例函数图像分别交于E点、D点（如图2所示），已知，求F点坐标； （3）如图3，若线段绕点顺时针旋转到，O点对应H点，当P、H在同一个反比例函数图像上，则________． 【答案】（1）；P点坐标为 （2）点F坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根，求出，即可得出；结合求出P点坐标即可； （2）先求出，设点D坐标为，点E的纵坐标为，进而求出点E的坐标，根据题意列方程求出m值，即可求出结论； （3）过点P作轴于点M，作，交延长线于点N，证明，求出点H的坐标为，得出，解出值即可． 【小问1详解】 解：∵关于t的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ∵为反比例函数图象上一点， ，即反比例函数表达式为； ∵， ，代入，得， 解得：（不合题意舍去）， ， ∴P点坐标为； 【小问2详解】 解：∵点Q为该反比例函数图象上一点，且Q点的横、纵坐标相等， 即当时，则， （负值已舍去）， ， ， 轴与A点， 轴， ∵点D为该反比例函数图象上一点， ∴设点D坐标为， 轴， ∴点E的纵坐标为，， 将反比例函数图象在直线上方的部分沿着翻折， ∴翻折前反比例函数图象上的点与翻折后图象上的点E关于直线对称， ∴点的纵坐标， 把代入， 则， ∴点的坐标， ∴点E的坐标， ∴， ， ， ∴， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴点D坐标为， ∴点F坐标为； 【小问3详解】 解：过点P作轴于点M，作，交延长线于点N， ， ∵线段绕点顺时针旋转到， ， ， ， ， 点H的坐标为， 当P、H在同一个反比例函数图像上， 则， ， 两边同时除以，得：， 设，则原方程化为， 两边同乘以x，得：， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $