精品解析：江苏无锡市天一实验学校2026-2027学年第一学期 九年级上学期数学10月学情自测

江苏无锡市天一实验学校2026-2027学年第一学期九年级上学期数学10月学情自测 全卷共28题，满分150分（选择题30分+填空题24分+解答题96分）．考查范围：一元二次方程、反比例函数的图象与性质、圆（圆周角、切线、正多边形与圆、弧长与扇形面积）、以及函数与几何综合． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B. 是一元二次方程，故符合题意； C. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D. 不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个扇形的半径为，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为． 【详解】解：由题意得，圆锥的侧面积为． 3. 反比例函数的图像与正比例函数的图像的一个交点为，则另一个交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，根据两个交点关于原点对称解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的一个交点为， ∴另一个交点与点关于原点对称， ∴另一个交点是． 故选：A． 4. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质证得，再根据圆周角定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 5. 在同一坐标系中，函数和的图像大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：分两种情况讨论： ①当k＞0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限； ②当k＜0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限． 故选：C． 6. 已知三点都在反比例函数的图象上，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较反比例自变量的大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴过一，三象限，在每一个象限内，随着的增大而减小， ∵三点都在反比例函数的图象上，， ∴； 故选：A． 7. 如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数比例系数的几何意义． 作轴于D，如图，则，然后根据k的几何意义确定k的值． 【详解】解：作轴于D，如图， ∵轴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 而， ∴． 故选：C． 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．如图，在中画内接正十二边形，设的半径为1，将这个正十二边形的面积作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（ ） A. B. 3.14 C. 3 D. 3.13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质． 根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出三角形的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可． 【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， 即的面积为3， 此时． 故选：C． 9. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据两点之间，线段最短可得点、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，， ∴，， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴，， 故， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵点是弦的中点， ∴， 故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小； 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理等，根据垂径定理得出点是在以点为圆心的圆上是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知的半径是9，当时，则点P与的位置关系是点P在______．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆内 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟记点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系进行解答即可得． 【详解】解：∵点到圆心的距离， ∴该点P在内， 故答案为：圆内． 12. 若反比例函数的图像位于第二、四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图像所在象限确定比例系数的符号，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴，解得：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 14. 已知的三边长分别是5，12，13，则外接圆的直径是________． 【答案】13 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形外接圆的性质求直径即可． 【详解】解∶∵的三边长分别为，，， ∴ ， ∴是直角三角形，斜边长为， ∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边的长， ∴外接圆的直径是． 15. 一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是___米． 【答案】7 【解析】 【分析】设原正方形的边长是米，根据扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米可得：，化简解之即可． 【详解】解：设原正方形的边长是米，根据题意得： ， 解得：， 则原正方形的边长是7米． 16. 如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先求出圆心角，进而求出扇形的面积，再求出，根据三角函数得到，然后求出四边形面积，由四边形面积减去扇形面积即可求解． 【详解】解：连接， ，是圆的切线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 危险区（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 17. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点．若，则的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可得，则．在中，利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，且为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴的半径为． 18. 如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线，交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为，则点A的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点，根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得，结合勾股定理即可表示出，最后根据菱形的面积求出m即可． 【详解】解：如图，过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F， 设点， ∵四边形为菱形，对角线，交于点D， ∴，， ∵轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即点D的纵坐标为， ∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴， 设所在的直线函数表达式为：， 将，代入得：， 解得：， ∴所在的直线函数表达式为：， 当时，解得， ∴， ∴， 在中，， ∵菱形的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问3详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得，． 20. 已知关于的方程． （1）求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1）运用根的判别式“，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根；”即可求解； （2）将代入方程，得到，再代入方程，运用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得 ， 解得， 将代入方程，得 ， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 21. 如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1） 过点作于， 切于D， 平分，， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理： （1）过点作于，切线的性质结合角平分线的性质，得到，即可得证； （2）中，求出的长，切线长定理得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的半径为4，，中，， ，是的切线， ∴，设， 在中，， ∴． 22. 如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合图形，请直接写出不等式的解集； （3）若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，可求出反比例函数表达式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，即可求解； （2）观察图象得到一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围，即可求解； （3）由题意可知，，，，再由，可得 ，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得：， ，，两点在的图象上， ， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 即不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：由题意可知，，，， ∵， ， 解得，（不合题意）， 经检验，为方程的解， ． 23. 在力（单位：）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示． （1）写出关于的函数解析式； （2）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将图象上点的坐标代入公式，直接计算功即可； （2）根据位移小于列出不等式，结合的隐含条件求解出力的取值范围即可． 【小问1详解】 小题详解：由且为定值，得，即是的反比例函数， 图象过点，代入得，所以． 故，自变量取值范围为（力是正数）． 【小问2详解】 小题详解：由题意，即， 因为，两边同乘不变号：，所以． 即在做功相同（都是）的情况下，要使位移小于，所施加的力应大于． 【点睛】注意：反比例函数中，所以解不等式时可以直接去分母；若忽略这个隐含条件，容易得出错误的“或”． 24. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ （2）已知方程是“邻根方程”，求的值； （3）若方程是“邻根方程”，求的值． 【答案】（1）③ （2）或 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义逐个判断即可； （2）先求出方程的两根，再根据“邻根方程”的定义建立方程，解方程即可； （3）利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得的值，再根据“邻根方程”的定义可得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①的根为，，此时，则不是“邻根方程”； ②即，方程的根为，此时，则不是“邻根方程”； ③即，方程的根为，，此时，则是“邻根方程”． 【小问2详解】 解：方程的两根为，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， ∴或， 解得或． 【小问3详解】 解：设的两根为，， 则，，方程根的判别式， ∴，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴的值为2． 25. 某旅游景区年“十一”接待游客万人次，年“十一”接待游客万人次．该景区内一家小吃店售卖特色小吃，每份成本7元，当售价为元时，平均每天销售份；售价每降低1元，平均每天多销售份． （1）求2024年至年“十一”假期游客人次的年平均增长率； （2）店员认为，通过降价，店铺每天至少能获利元．你认为该想法对吗？如果不对，求店家每天可获得的最大利润． 【答案】（1） （2）该想法不对，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为，则，解方程即可； （2）总利润等于单份利润乘以销量，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求解即可 ． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为，根据题意可得： 或 解得：，（不符合题意，舍去）， 所以年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每份降价元，则售价为元，每份利润为元，每天销量为份． 设每天利润为元，则， 因为，所以当时，取最大值， 因为，所以即使把价格调到最优，每天也获利不到元，店员的想法不对． 26. 矩形中，P在线段上． （1）请在图①中利用尺规画出点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）请在图②中利用尺规画出点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直径所对的圆周角是直角； （2）同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 【小问1详解】 解：时，在以为直径的圆上． 作法：①作的垂直平分线，交于中点； ②以为圆心、为半径作圆； ③该圆与的交点即为所求的点． 【小问2详解】 时，在以为弦、所含圆周角为的圆上，此时该弧所对的圆心角为． 作法：①分别以、B为圆心、为半径画弧，两弧交于点M； ②分别作、的线段垂直平分线，两线交于点O， ③以为圆心、为半径画圆； ④该圆与的交点即为所求的点． 理由：由作法可得，，所以，由圆周角定理． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1． （1）求b的值； （2）若点C在y轴上，且的面积为5，求点C的坐标； （3）如图2，若点P坐标是，将线段绕点P顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求m的取值范围． 【答案】（1）7 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，直线交轴于点，先求出点的坐标，再根据求解即可； （3）先利用全等三角形的性质求出点，的坐标，再代入反比例函数的解析式，由此即可得． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数得：， ∴， 将点代入一次函数得：， 解得． 【小问2详解】 解：如图，设点的坐标为，直线交轴于点， 由（1）可知，直线的解析式为，点的坐标为， 将代入函数得：，即， ∴， 联立， 解得或， ∴， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∵的面积为5， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 同理可得：， ∵线段与反比例函数在第三象限的图象有交点， ∴有以下两个临界点： ①将点代入反比例函数得：， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ②将点代入反比例函数得：， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴． 28. 如图1，边长为的等边中，是高，点以的速度从点向点运动，以点为圆心、为半径作，设点的运动时间为． （1）当与边相切时，求的值； （2）如图2，若在点出发的同一时刻，点以的速度从点向点运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，过点作的平行线，交于点．当与相切时，求的值； （3）在运动过程中，当与的边共有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为E，与边相切，则．根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再求出，根据建立等式求解； （2）需要进行分类讨论，若在左侧与之相切，作，垂足为F，若在右侧与之相切，分别进行求解； （3）分类讨论，当时，当时，当时，依次进行求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作，垂足为E． ∵与边相切， ∴． ∵边长为的等边中，是高， ∴，， ∴． 在中，， ∴． ∴， 解得． 【小问2详解】 解：若在左侧与之相切，过点作，垂足为F，设交于点，如图所示， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 若在右侧与之相切，过点作，垂足为F，设交于点，如图所示， 同理，． ∵ ∴． 解得． 综上，或． 【小问3详解】 解：当时，与的边共有两个公共点， ， ， 当时，此时与相切，与的边共有两个公共点， ， ； 当恰好经过点时，则， 解得； 当点与点重合时，则， ∴当时，与的边共有两个公共点， 综上：当与的边共有两个公共点时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏无锡市天一实验学校2026-2027学年第一学期九年级上学期数学10月学情自测 全卷共28题，满分150分（选择题30分+填空题24分+解答题96分）．考查范围：一元二次方程、反比例函数的图象与性质、圆（圆周角、切线、正多边形与圆、弧长与扇形面积）、以及函数与几何综合． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图像与正比例函数的图像的一个交点为，则另一个交点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　 　） A. B. C. D. 5. 在同一坐标系中，函数和的图像大致是 A. B. C. D. 6. 已知三点都在反比例函数的图象上，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．如图，在中画内接正十二边形，设的半径为1，将这个正十二边形的面积作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（ ） A. B. 3.14 C. 3 D. 3.13 9. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 10. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知的半径是9，当时，则点P与的位置关系是点P在______．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 12. 若反比例函数的图像位于第二、四象限，则的取值范围是________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____． 14. 已知的三边长分别是5，12，13，则外接圆的直径是________． 15. 一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是___米． 16. 如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 17. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点．若，则的半径为__________． 18. 如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线，交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为，则点A的坐标为________． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 20. 已知关于的方程． （1）求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 21. 如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 22. 如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合图形，请直接写出不等式的解集； （3）若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 23. 在力（单位：）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示． （1）写出关于的函数解析式； （2）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 24. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ （2）已知方程是“邻根方程”，求的值； （3）若方程是“邻根方程”，求的值． 25. 某旅游景区年“十一”接待游客万人次，年“十一”接待游客万人次．该景区内一家小吃店售卖特色小吃，每份成本7元，当售价为元时，平均每天销售份；售价每降低1元，平均每天多销售份． （1）求2024年至年“十一”假期游客人次的年平均增长率； （2）店员认为，通过降价，店铺每天至少能获利元．你认为该想法对吗？如果不对，求店家每天可获得的最大利润． 26. 矩形中，P在线段上． （1）请在图①中利用尺规画出点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）请在图②中利用尺规画出点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1． （1）求b的值； （2）若点C在y轴上，且的面积为5，求点C的坐标； （3）如图2，若点P坐标是，将线段绕点P顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求m的取值范围． 28. 如图1，边长为的等边中，是高，点以的速度从点向点运动，以点为圆心、为半径作，设点的运动时间为． （1）当与边相切时，求的值； （2）如图2，若在点出发的同一时刻，点以的速度从点向点运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，过点作的平行线，交于点．当与相切时，求的值； （3）在运动过程中，当与的边共有两个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $