期中培优：二次函数平移问题、图像与各项系数的关系、最值问题专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

期中培优：二次函数平移问题、图像与各项系数的关系、最值问题专项训练 期中培优：二次函数平移问题、图像与各项系数的关系、最值问题专项训练 考点目录 二次函数平移问题 二次函数图像与各项系数的关系 二次函数的最值问题 考点一 二次函数平移问题 例1．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）把函数图象向上平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 把函数图象向上平移个单位长度， ∴平移后图象的函数解析式为． 例2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，得， 再向上平移2个单位长度，得． 例3．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为________． 【答案】 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为． 变式1．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的规则：上加下减常数项，平移即可求出解析式． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，得新抛物线解析式为． 变式2．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减． 【详解】解：将的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为． 变式3．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则新抛物线对应的函数表达式是________． 【答案】 【分析】利用抛物线平移的“左加右减，上加下减”法则，分步计算得到平移后的解析式． 【详解】解：由抛物线平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规则，可知： 将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则新抛物线对应的函数表达式是：． 考点二 二次函数图像与各项系数的关系 1．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【详解】解：由图象开口向下得；顶点横坐标为2，即，得，则， B正确； 由图象与轴交于点得，所以，A错误； 抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，C正确； 时图象在轴下方，，D正确． 2．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向得出，由对称轴的位置得出，由抛物线与轴交点的位置得出，即可判断①；由，即可判断②；由抛物线经过点，且开口向上，即可判断③；由，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴大于且小于， ∴， ∴， ∴， ∴①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴②错误； ∵抛物线经过点，且开口向上， ∴当时，， ∴当时，， ∴③正确； ∵抛物线经过点， ∴， 又∵， ∴，即， ∴④正确； 综上：正确的结论有2个． 例3．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用对称轴公式判断的值；利用对称性判断时的函数值符号；利用时函数取得最大值判断不等式关系 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则 ∵对称轴为直线 ∴，即 ∴，且，故结论③正确 ∵抛物线与轴交于正半轴 ∴ ∴，故结论①正确 抛物线的对称轴为直线 ∴与关于直线对称 由图象可知，当时， ∴当时，，故结论②正确 ∵时， ∴ ∴，故结论④错误 ∵当时，函数取得最大值 ∴对于任意实数，都有 ∴ ∴，故结论⑤正确 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 变式1．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．小斌同学得到下列结论：①；②图象过；③；④；⑤若，是抛物线上的两点，则．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断，，符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标；利用二次函数的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线开口向下，  抛物线对称轴为直线， ∴，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，故②正确； ∴当时，，故③错误； ∵当时，，由图象可知时， ∴，故④正确； ∵，，且，抛物线开口向下， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的结论是①②④． 变式2．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（     ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据开口朝向可以确定a的符号，再根据抛物线经过原点，可得，根据对称轴确定a、b的数量关系，再逐项判断即可． 【详解】解：抛物线开口朝下，即有， 抛物线经过原点，即，则， 由图可知抛物线的对称轴为：，即， ∴， ∴，即①正确； ∵，， ∴，即②错误； ∵，， ∴，即③正确； ∵，， ∴，即④错误； 即正确的有2个． 变式3．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，函数的图象过点和．请思考下列判断： ①；②；③； ④； ⑤若，点，，在抛物线上，且满足，则．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】对于①，由二次函数的开口方向与对称轴位置确定、的符号；对于②，观察时，函数图象的位置即可；对于③，将点和代入解析式，化简可得；对于④，将③的结论代入可得，原式；对于⑤，先计算出抛物线的对称轴，再结合函数的图象与性质将比较函数值大小转化为到对称轴的距离问题，解不等式得出的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图可知，当时，抛物线在轴下方， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象过点， ∴，即， 又∵二次函数的图象过点， ∴， 将代入，得， 整理，得， 由图可知，， ∴， ∴，故③错误； ， ∵， ，， ∴， ∵二次函数的图象交轴于正半轴， ∴，即， ∴，即，故④正确； 对于⑤：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的图象开口向下， ∴点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵， ∴， 不等式两边平方，得， 解得，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． 考点三 二次函数的最值问题 例1．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而增大，直接写出的取值范围； (3)如果当时，的最大值为，求的值． 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) (3) 的值为或 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，求出的值，再将的值代入解析式即得答案； （2）先求出抛物线的对称轴为，开口向上，判断出当时，随的增大而增大，从而求得答案； （3）抛物线的对称轴为，开口向上，故当时，的最大值为，即当时，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， 代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 由 得顶点坐标为； （2）解： ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即； （3）解：由（2）知抛物线对称轴为直线，开口向上， 又当时，的最大值为， 且， 即当时，， 代入得：， 化简得：， 解得：． 例2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为． (1)求，的值； (2)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求的值； (3)过点作轴的平行线交直线于点，以为边在的左侧作正方形，当此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出的值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为 (2)的值为或 (3)或或 【分析】（1）把点，代入解析式进行求解即可； （2）先求得抛物线顶点为，分两种情况讨论，当时，在点左侧的图象顶点为最低点，则，当时，随的增大而减小，则为最低点，得出，解方程，即可求解； （3）先求出点B坐标，再得到的值，分情况讨论即可； 【详解】（1）解：把，代入， 则， 解得； （2）解：由（1）知抛物线对应的函数表达式为， ， 抛物线顶点为， 当时，在点左侧的图象顶点为最低点， 即， 解得； 当时，随的增大而减小， 为最低点， 即当时，， 解得（舍去），， 综上所述，的值为或． （3）解：∵过点作轴的平行线交直线于点，点的横坐标为， ∴的横坐标为，， ∴， 即 ∴， ∵以为边在的左侧作正方形，设正方形为， ∴正方形边长为， ∵轴， ∴轴， 当A在B上方且时，如图， 此时此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为， 解得：（舍去）； 当A在B上方且即时，如图， 由图可知此时点A到顶点的纵坐标距离，舍去； 当B在A上方且时，如图， 此时此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为 解得：； 当A在B上方且时，如图， 可知抛物线内不存在正方形； 综上所述，的值为或或． 例3．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积直接计算的值； （2）根据抛物线开口向上且对称轴在轴右侧的性质，分类讨论对称轴与区间的位置关系，结合最值差列方程求解，舍去不符合范围的解即可． 【详解】（1）解： ∵ 抛物线与轴交点为，，且，， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴ ； （2）∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ， ∴ ， 分情况讨论： ① 当，即时， ∵ 在范围内，随的增大而减小， ∴ （时取得），（时取得）， ∵ 最大值与最小值的差为， ∴ ， 解得， ∵ ，与矛盾， ∴ 该情况舍去； ② 当，即时， ∵ 抛物线开口向上， ∴ 最小值在对称轴处取得，， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 整理得， 解得，； ∵ ， ∴ 符合条件， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 解得， ∵ ， ∴ 符合条件； 综上所述，的值为或 变式1．（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) 最大值为，最小值为 【分析】（1）将三个已知点的坐标代入二次函数一般式，列方程组求解待定系数，，，再回代即可； （2）先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合的取值范围，比较顶点和取值范围两端点的函数值，得到最值． 【详解】（1）解：把点，，代入解析式，得 ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由（1）得该二次函数的解析式为， ∴，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，； 当时，； ∵， ∴函数的最小值为； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为． 变式2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线，该抛物线顶点纵坐标为． (1)求该抛物线的对称轴． (2)根据（1）中求出的对称轴及抛物线顶点纵坐标，此抛物线的解析式可以写为顶点式______；已知是该抛物线上的一点，求的值． (3)若存在实数，当，且时，的取值范围是，求的值． 【答案】(1)直线； (2)；； (3)或． 【分析】（1）根据抛物线对称轴为直线求解； （2）根据题意写出顶点式，再将代入解析式，化简后得到关于的一元二次方程求解； （3）分两种情况讨论：①当时，抛物线开口向上，有最小值，且距离对称轴越远函数值越大；②当时，抛物线开口向下，有最大值，且距离对称轴越远函数值越小，据此得到关于、的方程求解． 【详解】（1）解：抛物线， 对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， 抛物线的解析式可以写为顶点式， 在函数的图象上， 整理，得， 解得； （3）解：， 对称轴为直线，顶点坐标为， 当，且时，自变量取值包含，且两个端点到对称轴的距离分别为与，右端点更远， ①当时，抛物线开口向上，有最小值，且距离对称轴越远函数值越大， 当时有最小值为；当时有最大值， 的取值范围是 ，解得：（负值舍去）； ②当时，抛物线开口向下，有最大值，且距离对称轴越远函数值越小， 当时有最大值为；当时有最小值， 的取值范围是 ，解得：（负值舍去）； 综上可知，或． 变式3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（为常数，）． (1)若该二次函数的图象经过，求该二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）确定抛物线的对称轴，利用对称轴确定函数的增减性，然后利用最值求出参数． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，函数的最小值为， 即， 解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：二次函数平移问题、图像与各项系数的关系、最值问题专项训练 期中培优：二次函数平移问题、图像与各项系数的关系、最值问题专项训练 考点目录 二次函数平移问题 二次函数图像与各项系数的关系 二次函数的最值问题 考点一 二次函数平移问题 例1．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）把函数图象向上平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为________． 变式1．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则新抛物线对应的函数表达式是________． 考点二 二次函数图像与各项系数的关系 1．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 2．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例3．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 变式1．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．小斌同学得到下列结论：①；②图象过；③；④；⑤若，是抛物线上的两点，则．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 变式2．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（     ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，函数的图象过点和．请思考下列判断： ①；②；③； ④； ⑤若，点，，在抛物线上，且满足，则．其中正确的是__________．（填序号） 考点三 二次函数的最值问题 例1．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而增大，直接写出的取值范围； (3)如果当时，的最大值为，求的值． 例2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为． (1)求，的值； (2)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求的值； (3)过点作轴的平行线交直线于点，以为边在的左侧作正方形，当此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出的值． 例3．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 变式1．（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 变式2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线，该抛物线顶点纵坐标为． (1)求该抛物线的对称轴． (2)根据（1）中求出的对称轴及抛物线顶点纵坐标，此抛物线的解析式可以写为顶点式______；已知是该抛物线上的一点，求的值． (3)若存在实数，当，且时，的取值范围是，求的值． 变式3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（为常数，）． (1)若该二次函数的图象经过，求该二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $