期中培优：实数的混合运算、无理数整数部分的计算、算术平方根有关的规律探索题专项训练-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

期中培优：实数的混合运算、无理数整数部分的计算、算术平方根有关的规律探索题专项训练 期中培优：实数的混合运算、无理数整数部分的计算、算术平方根有关的规律探索题专项训练 考点目录 实数的混合运算 无理数整数部分的计算 算术平方根有关的规律探索题 考点一 实数的混合运算 例1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先计算乘方、算术平方根，再去绝对值符号，最后合并计算； （2） 先计算开方，再去绝对值符号，最后合并计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例3．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2)0 (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式1．（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)－28 (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 变式2．（25-26八年级下·甘肃武威·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 变式3．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，立方根和算术平方根，再计算加减法即可； 先计算立方根，绝对值和算术平方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点二 无理数整数部分的计算 例1．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)的小数部分是___________； (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）先根据算术平方根的定义估算大小，再估算的大小即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴的整数部分是，小数部分是； （3）解：∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， ∵， ∴， ∵是的小数部分， ∴， ∴ ． 例2．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，. (2) 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义列等式求，，通过估算的取值范围求； （2）将，的值代入代数式计算，再求所得结果的算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴，即； ∵， ∴的整数部分； （2）将，，代入， 得， 又∵， ∴ 的算术平方根为． 例3．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值． (1)的整数部分为_________，小数部分为__________________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先估算出在哪两个相邻的整数之间，这样可得的整数部分为，最后用表示小数部分． （2）先根据题意列出关于，的方程，进一步求出，的值，再根据区间估计法得出的值，最后代入式子求其平方根． 【详解】（1）解：∵， 即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，． ∵， 即， ∴的整数部分为， ∴， ∴， ∴的平方根是． 变式1．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知某个正数m的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2，的整数部分是c： (1)求m、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出m的值，再根据立方根的定义可求出b的值；估算出的取值范围可求出c的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵正数m的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴； ∵，且， ∴， ∴的整数部分为4，即； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∴的平方根为． 变式2．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）利用夹逼法估算的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先用夹逼法估算的范围，不等式两边同时加6得到的取值范围，求出相邻整数，计算后再求它的平方根． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是4，小数部分是； （2）解：， ， ， ，， ； 的平方根为． 考点三 算术平方根有关的规律探索题 例1．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）按要求计算下列各题 (1)计算： 1+ ；1+ ； 1+ ； (2)求．．．+的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）中三个具体的根式计算，对每个根号内的分式通分化简，根据完全平方公式将被开方数变形为完全平方形式，再根据算术平方根的非负性去掉根号，得到每个根式的化简结果，从中找出规律．推导的通用化简公式，将其变形为可裂项的形式． （2）将每一项用上述通用公式拆分，利用裂项相消法，相邻项抵消后计算剩余项的和 【详解】（1），而​，第一个空填； ，而，第二个空填​； ​，而​，第三个空填． 可以总结规律：对正整数，， 展开通分也可验证根号内的式子刚好是完全平方：， 开算术平方后直接得到上述结果． （2）根据上面的规律，把每一项都拆分改写：原式的每一项从到，代入规律可得： 原式 ． 例2．（26-27八年级上·江西吉安·阶段检测）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案； 根据（2）所求可得的值，求出的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长为； 由（2）得，新的长方形的周长， ∵， ∴． 例3．（25-26七年级下·广西崇左·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质化简； （2）结果中的分母是被开方数中分母的算术平方根，分子是分母减1，据此解答即可； （3）根据发现的规律求解． 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）解： ． 变式1．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 变式2．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 变式3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）先阅读理解： （1）； （2）； （3）； （4）． 根据你找到的规律，解决问题： (1)________； (2)________．（用含n的式子表示） 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了通过观察算式规律来解决问题． （1）先观察已知算式分析出每个算式的结果都是等于从1加到算式中最后一个数的和，根据上述规律可计算出对应的结果； （2）根据（1）中总结的规律，可推导出从1加到n的和用（首项+末项）×项数÷2可得出结论． 【详解】（1）解：中，， 中，， 中，， 中，， …… ∵， ∴． 故答案为：15． （2）解：由（1）中发现的规律可得 ． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：实数的混合运算、无理数整数部分的计算、算术平方根有关的规律探索题专项训练 期中培优：实数的混合运算、无理数整数部分的计算、算术平方根有关的规律探索题专项训练 考点目录 实数的混合运算 无理数整数部分的计算 算术平方根有关的规律探索题 考点一 实数的混合运算 例1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）计算： (1) (2) 例2．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）计算： (1)； (2)． 例3．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式1．（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 变式2．（25-26八年级下·甘肃武威·期中）计算： (1) (2)． 变式3．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）计算： (1)； (2)． 考点二 无理数整数部分的计算 例1．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)的小数部分是___________； (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 例2．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值； (2)求的算术平方根． 例3．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值． (1)的整数部分为_________，小数部分为__________________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 变式1．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知某个正数m的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2，的整数部分是c： (1)求m、b、c的值； (2)求的平方根． 变式2．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 考点三 算术平方根有关的规律探索题 例1．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）按要求计算下列各题 (1)计算： 1+ ；1+ ； 1+ ； (2)求．．．+的值． 例2．（26-27八年级上·江西吉安·阶段检测）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 例3．（25-26七年级下·广西崇左·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 变式1．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 变式2．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 变式3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）先阅读理解： （1）； （2）； （3）； （4）． 根据你找到的规律，解决问题： (1)________； (2)________．（用含n的式子表示） 2 学科网（北京）股份有限公司 $