期中（第1章～3章）阶段复习解答题考点汇总训练（十四大类型）-2026-2027学年苏科版九年级上册数学《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章～3章）阶段复习解答题考点汇总训练 （十四大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二一元二次方程的解法 4 考点三一元二次方程的根与系数的关系 7 考点四用一元二次方程解决问题 9 考点五反比例函数的概念 12 考点六反比例函数的图象与性质 14 考点七用反比例函数解决问题 20 考点八圆的相关概念 24 考点九确定圆的条件 28 考点十圆的对称性 32 考点十一圆周角 35 考点十二点与圆、直线与圆的位置关系 41 考点十三正多边形与圆 45 考点十四扇形 48 考点一一元二次方程的概念 1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为1． (2)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为1． (3)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． (4)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为． (5)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为5，一次项系数为，常数项为0． (6)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∴， 略； （3）解：∵， ∴， 略； （4）略； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， 略； （6）解：∵， ∴， ∴， ∴， 略． 2．已知a是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义，得到，变形得到和的代数式，整体代入所求式子进行化简求值． 【详解】解：是方程的一个根， ， 移项得：，． ． 3．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出c的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据倒方程的定义，互换原方程二次项系数与常数项，一次项系数保持不变，即可得到倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将代入倒方程，求解关于的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 根据倒方程的定义，其倒方程为． （2）解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． ∴它的倒方程为． ∵是该倒方程的解， ∴将代入，得， 即， 解得． 考点二一元二次方程的解法 4．解方程： (1)； (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，； （3）解： ，； （4）解： 或 ，． 5．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)试用配方法求出代数式的最小值． 【答案】(1)是等腰三角形，理由如下： ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)代数式的最小值为 【分析】（1）将代入方程，整理得出，从而可得，即可得出结果； （2）利用配方法计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 6．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求此时方程的根． 【答案】(1) 且 (2) 方程的根为， 【分析】（1）结合一元二次方程的定义与根的判别式，联立不等式求解k的取值范围； （2）将代入原方程，用求根公式求解方程的根. 【详解】（1）解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个实数根， ∴， ， ∴，解得； 综上所述，的取值范围是且. （2）解：当时，原方程为， ， ， ∴方程的根为，. 考点三一元二次方程的根与系数的关系 7．若，是方程的两根，求的值． 【答案】12 【分析】由根与系数的关系得出，，，然后化简分式进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ 8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1)的取值范围是且 (2)的值为 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根可得出且求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，然后代入，得出关于m的一元二次方程，求解并舍去不符合的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． （2）解：∵， ∴，， ∴ 即， 整理得：， 解得，， 由（1）知且，故不符合舍去， 即． 9．关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个根分别为，，若，求的值． 【答案】(1)证明：在方程中， ，，， ∴ . ∵， ∴方程有两个不相等的实数根； (2)或 【分析】（1）利用根的判别式证明即可； （2）由根与系数的关系可得，又，再代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个根分别为，， ， ， 即， ， 或， 解得或． 考点四用一元二次方程解决问题 10．有1人不小心患了甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染人 (2)经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了甲流；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患甲流的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人． 根据题意得， 解得 因为，所以， 故每轮传染中平均一个人传染10人． （2）解：根据题意可得经过三轮传染后患甲流的总人数为 因为， 所以经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人． 11．某图书馆2023年的藏书量为20000册，2025年达到了28800册，已知每年藏书量的增长率相同． (1)求该图书馆藏书量的年平均增长率； (2)假设2025到2026年的藏书量的增长率不变，2026年该图书馆的藏书量能否达到34000册？请说明你的理由． 【答案】(1)该图书馆藏书量的年平均增长率为. (2)能达到 理由如下： ∵2025年藏书量为28800册，每年藏书量的增长率相同，由（1）得增长率为， ∴2026年藏书量为（册）， ∵. ∴2026年该图书馆的藏书量能达到34000册． 【分析】（1）根据2023年与2025年的藏书量，列关于年平均增长率的一元二次方程求解； （2）利用2025年藏书量和（1）中求得的增长率计算2026年藏书量，与34000册比较得出结论． 【详解】（1）解：设该图书馆藏书量的年平均增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该图书馆藏书量的年平均增长率为． （2）略 12．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）属于典型的增长率问题，需利用公式“增长后的量=增长前的量×（增长率）”建立方程．设出增长率，根据两年后的面积列方程，并根据实际意义（增长率为正数）对解进行取舍． （2）属于几何图形面积问题，需根据图形特征（一边靠墙、中间有隔断）和板材长度（含门的宽度）表示出长方形的长和宽，然后根据长方形面积列方程，最后根据墙长限制条件对解进行检验． 【详解】（1）解：设这个增长率为x，由题意得： 解得：，（舍去） 答：这个增长率为． （2）解：设场地的宽为y米，则的长为米， 由题意得： 整理得： 因式分解，得 解得：，． 当时，长为米， 因为，超过了墙长，不符合题意，舍去． 当时，长为米， 因为，符合墙长限制，符合题意． 答：场地的宽为15米． 考点五反比例函数的概念 13．已知m辆汽车可运载货物，每辆汽车运载货物．请写出用b表示m的函数表达式． 【答案】 【分析】根据总货物质量、单车载货量与车辆数的等量关系变形求解． 【详解】解：由题意得， ． 每辆汽车运载货物的质量为正数， ． 答：用表示的函数表达式为． 14．已知． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【答案】(1) 当或时，是的正比例函数 (2)当时，是的反比例函数 【分析】（1）根据正比例函数的定义，列关于的方程与不等式求解； （2）根据反比例函数的定义，列关于的方程与不等式求解． 【详解】（1）解：∵是的正比例函数， ∴， 由得， 解得或， 由得， ∵，，均满足条件， ∴或． （2）解：∵是的反比例函数， ∴， 由得， 解得或， 由得， ∴． 15．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 考点六反比例函数的图象与性质 16．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【答案】(1) 解：连接，过点作交轴于点，如图： 轴，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形即为所求； (2) 解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图： 由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称， ， ， ， ， ， 即为所求． 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求； （2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 17．如图，正比例函数与反比例函数的图象都经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点在该反比例函数图象上，且它到轴的距离小于3，请直接写出n的取值范围是___________． (3)请直接写出不等式的解集___________． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，与不等式的关系，待定系数法求解函数解析式等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）当时，；当时，，由题意得，，再根据反比例函数的性质求解即可； （3）先确定直线与双曲线的另外一个交点为，再利用图象即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象都经过点 ∴， 解得 ∴，反比例函数的解析式为； （2）解：当时，；当时， 由题意得，， ∵， ∴在每一象限内，随着的增大而减小， ∴或； （3）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴另一个交点为， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 18．在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（是常数，且），则称点，是“瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有 ．（填序号） ①点与；②点与；③点与． (2)如图，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点，是“瞬移点”． ①的值为 ； ②若的面积为4，求的值． 【答案】(1)②③ (2)①；②3 【分析】（1）根据 “瞬移点” 定义，2 瞬移点需要满足；依次代入每组点的坐标，分别计算纵坐标之差与倍横坐标之差，比较结果是否相等，从而判断． （2）①设交点、，根据 “瞬移点” 的关系式，再把两点代入直线解析式，作差化简得到，由两点不相同可知，两边同除这个式子求出．②过、向轴作垂线，利用面积转化得到面积等于梯形面积等于 4，代入求出，利用完全平方变形，代入计算得到． 【详解】（1）解：①点与， 设， ， ， 不是 2 瞬移点． ②点与 设 ， ， 是 2 瞬移点． ③点与 设 ， ， 是 2 瞬移点． 综上，是 “2 瞬移点” 的有 ． （2）解：①设点的坐标为，点的坐标为． 点，是 “瞬移点”， ． 点，在直线上， ，． ， 整理得 ． 点，是两个不同的交点， ，即 ．等式两边同时除以， ． ②联立，消去得，， ，， ， 有两个交点，， ，即， 又在的右侧，则， ，    如图所示， 过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，， ，在第一象限，则， ， ；    所以，， 经检验是原方程的解， ∴的值为3． 考点七用反比例函数解决问题 19．在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 【答案】(1) (2)电流变为原来的 【分析】（1）将已知的、数值代入，求出常数，再写出关于的函数表达式． （2）设原来电阻为，表示出原电流；再表示电阻增大为原来的倍后的电阻，求出新电流，对比得出电流变化规律． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2）解：设原电阻为，原电流． 电阻增大为原来的倍后，新电阻． ， ， ， 电流变为原来的． 20．某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 【答案】(1)线段的解析式为；反比例函数为 (2)18 【分析】（1）根据待定系数法即可求出线段和反比例函数的表达式，观察图像即可知道自变量取值范围． （2）将代入线段和反比例函数的表达式，即可求出对应的值，从而求出畅销持续的天数． 【详解】（1）解：设线段的解析式为， ，， ，解得， 线段的解析式为． 设反比例函数的解析式为， 经过， ， ， ． （2）解：， 满足的函数有线段的解析式和反比例函数， 时，代入得， 时，代入得． 时，， 畅销期持续的天数为（天）． 21．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． 【答案】(1)双曲线的函数表达式为； (2)第二天早上能驾车上班，理由， 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时， 由得双曲线的函数表达式为， 当时，， ∵，即血液中的酒精含量小于国家规定的“酒后驾驶”标准， ∴第二天早上能驾车上班． 【分析】首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时，当时，，然后比较进行判断即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，由图象可知直线过， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 设双曲线的函数表达式为， 将点，代入得， 解得， ∴双曲线的函数表达式为； （2）略． 考点八圆的相关概念 22．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）如图1，DE为所作； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 23．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值． 【答案】6 【分析】由是的中位线，从而得出，当为直径时即可求出的最大值． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ， ∴当取最大值时，的值最大． ∵当为的直径时值最大，此时， ∴的最大值为6． 24．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 【答案】(1)； (2)，； (3)该跑道宽度符合规范．理由： 设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，则起跑线前移为两个跑道的长度差，即为， ∵际测量得到第8道起跑线比第1道前移了． ∴， 解得， ∵规范要求跑道宽度为， ∴， 即 ∵， ∴该跑道宽度符合规范． 【分析】（1）设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，内圈（第1道）的长度为，据此列方程并解方程即可； （2）先求出第2道半圆形弯道的半径为，再用直道的长度加上第2道半圆形弯道的长度即可得到第2道的全长，用第2道的全长减去第1道的全长即可得到第2道起跑线比第1道应前移的长度； （3）设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，根据起跑线前移为两个跑道的长度差求出起跑线前移的长度，再与规范要求跑道的宽度范围比较即可． 【详解】（1）解：设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，则 ， 解得， 即内圈（第1道）半圆形弯道的半径为； （2）解：∵每条跑道宽， ∴第2道半圆形弯道的半径为， ∴第2道全长， ∵， ∴第2道起跑线比第1道应前移； （3）略 考点九确定圆的条件 25．如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D． 【答案】如图，即为所求， 不经过点D 【分析】分别连接，、，分别作、的垂直平分线，交于点O，分别连接，再以点O为圆心，为半径作，由图形可以判断不过点D． 【详解】解：由作图可知，，故经过A，B，C三点， 由图形可知，到圆心的距离不等于半径， ∴不经过点D． 26．如图三个顶点的坐标分别是，，，将绕C逆时针旋转，得到； (1)请在网格图中画出． (2)在（1）的条件下，则点B的路径的长为_____． (3)若是的外接圆，直接写出点M的坐标_______． 【答案】(1) 如图所示，即为所求. (2) (3) 【分析】本题主要考查了作旋转图形、求弧长、求三角形的外接圆的圆心等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键. （1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，然后再顺次连接即可解答； （2）先根据勾股定理求得的长，进而利用弧长公式求解即可； （3）根据网格特点作出的垂直平分线的交点M，再结合坐标系即可解答． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵ ∴点B的路径的长为． （3）解：如图所示，． 27．问题探究 (1)如图1，在中，，，求外接圆的半径． 问题解决 (2)为了营造春节节日氛围，管理部门对某地城墙段设计灯光夜间探照，如图2，点为探照灯位置，点为变电枢纽，为电缆线．按照设计要求，点到三点的距离相等，且．若，则电缆线是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）作出外接圆，结合垂径定理以及的余弦值求解即可； （2）先求解出，确定点在以为直径的半圆上，再根据点运动到与点重合时，的值最小，即为，由此求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作外接圆，作于点，连接． ， ． ，即为等腰三角形， ，且， ， 外接圆的半径为． （2）解：存在． 如图2，连接． 点到三点距离相等， 点为的外心，作的外接圆． ， 点在劣弧上．（两点除外） ， 由（1），易得，． ， ， 点在以为直径的半圆上． 取的中点，连接，交于点， 则当点运动到与点重合时，的值最小，即为． 作于点， ， ． 在中，， 的最小值． 考点十圆的对称性 28．如图，，是上的两点，，，是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是上的点，直接写出的最大值为________． 【答案】(1)证明：如图，连接， ，是的中点， ， 又， 和均为等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由是的中点，可得，进而证明和均为等边三角形，推出，即可证明四边形是菱形； （2）连接交于点E，延长交于点D，此时取最大值．由菱形的对角线互相垂直且平分，求出，再利用勾股定理、垂径定理求出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点E，延长交于点D，此时取最大值． ， ，， 由（1）知四边形是菱形， ，， ，， ， ． 即的最大值为． 29．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 30．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 考点十一圆周角 31．如图，在中，，垂足为，， (1)求的度数； (2)如果，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先得出，则，再根据圆周角定理求解即可； （2）先得出，再求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 32．如图，已知． (1)尺规作图：求作，使经过，，三点； (2)仅用没有刻度的直尺作的内接矩形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)分别作线段，的垂直平分线 两条垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画圆 ∴即为所求 (2)作直径，，连接、、 矩形即为所求 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可； （2）作直径，，连接、、，则矩形即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 33．已知，在中，，点，点在上，交于，交于，连接． (1)如图，求证：；    (2)如图，过点作于，连接，若，求证：平分；    (3)如图，在（2）的条件下，过点作，交于，连接，，延长交于，若，，求线段的长．    【答案】(1) 证明：在中，四边形内接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 证明：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， (3) 【分析】（1）根据圆的内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可证得； （2）连接，，根据题意可证得，即可得到平分， （3）连接，为直径，过作于，，，中位线，连接，，易证， 设，，，中，勾股，（舍），中，勾股，连接，中，勾股，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，，过作于，如图所示：    ∵，平分， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，（舍）， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理解三角形，知识点综合性比较强，解题的关键在于能够通过找到相应的方法并熟练的运用． 考点十二点与圆、直线与圆的位置关系 34．已知的半径为3，P是外一点，，分别求点P到的最近点和最远点的距离． 【答案】 点到的最近点距离为，最远点距离为 【分析】根据圆外一点到圆上一点的最大值为点到圆心的距离与半径的和，最小值为点到圆心的距离与半径的差，进行计算即可. 【详解】解：∵的半径为3，P是外一点，， ∴点到的最近点距离为，最远点距离为. 35．如图，在矩形中，，连接，以点B为圆心，r为半径作． (1)当与相切时，求r的值； (2)若与边有唯一公共点，求r的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）因为直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以先求点B到的距离，该距离即为r的值，计算时可利用直角三角形面积的等积法． （2）圆与线段有唯一公共点的两种情况：圆与线段相切，或圆与线段相交且仅一个交点在边上，得，根据，．，即可确定r的范围． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ∴由题意可知． ∵与相切， ∴点B到的距离即为的半径r， ， 解得． （2）解：∵在矩形中，，． 由（1）知，，∴， 与边有唯一公共点， ∴， ∵， ∴r的取值范围是． 36．如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使． (1)请直接写出的正切函数值，即______； (2)求证：是的切线； (3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 是⊙的直径， ， ， ，即， ． 是的半径， 是的切线． (3) 解：，理由如下：   如图，过点作，垂足为，与交于点， ， ， ． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 【分析】（1）利用直径所对圆周角是直角得到，再根据正切函数定义 ，代入、计算得出结果． （2）先由得出，结合证明，得到，再通过圆的性质及等量代换推出，即，从而证明结论． （3）过点作，先利用平行线性质得出，结合三角函数值求出长度，再通过相似三角形得出长度，进而得到，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质证明 ． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， 在中，，，， ∴． （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了圆的相关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定以及三角函数的应用，解题关键是熟练运用上述知识，通过边与角的关系进行推理和计算． 考点十三正多边形与圆 37．已知和上的一点A，求作的内接正六边形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，正六边形ABCDEF即为所求． 【详解】解：连接并延长交于点，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，交分别于点、、、，进而构造内接正六边形即可． 38．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 39．如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 【答案】(1) (2)正六边形的周长为18cm，面积为 【分析】（1）连接，根据中心角定义求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）过点作于点，证明是等边三角形，结合的周长可求出的长度，然后根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算. 【详解】（1）解：如图，连接． ∵正六边形内接于， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ． 的周长等于， 的半径为． ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 正六边形的周长为，面积为． 考点十四扇形 40．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识， （1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可； （2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得， 解得； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴． 故答案为：． 41．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少?    【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线．    ∵  ， ∴  ，即． ∵， ∴  ． ∴  小虫爬行的最短距离为． 42．已知是的直径，点为上一点，平分交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出过点的的切线（其中圆规仅使用一次画弧写出简要的作图步骤，保留必要的作图痕迹）； (2)如图（2），设（1）中的交的延长线于点，连接，当时，求线段，与围成的图形的面积． 【答案】(1)如图所示，作图步骤如下： 1、连接交于点； 2、连接，并延长交射线于点； 3、把圆规两只脚分别与点重合，即此时圆规两脚的距离为线段长，以点为圆心以长为半径画弧交线段于点； 4、作直线即为过点的的切线； (2) 【分析】（1）由切线的定义可得，作出过点的的切线，即要作，题意要求圆规仅使用一次画弧，常规尺规作，需要不止一次使用圆规画弧，所以需要利用现有的点、线来作图，连接 交于点；连接，并延长交射线于点；以点为圆心以长为半径画弧交线段于点；作直线即为过点的的切线； （2）连接 ，可得四边形 是菱形，得出，从而得出，则线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积，由是等边三角形，得出扇形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，此时直线为过点的的切线，理由如下： 连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，，即，， ∴ ，即， 由垂径定理可得：点为的中点， 在与中 ∴， ∴，即点为中点， ∴是 的中位线， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵ ， ∴点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴直线为过点的的切线． （2）解：如图所示，连接 ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴，即点是中点， 由（1）得：，， 在 中，是斜边上的中线， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是菱形， ∴， ∴， ∴线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积， ∵ ， ∴是等边三角形，即， ∴ ， ∴线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章～3章）阶段复习解答题考点汇总训练 （十四大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二一元二次方程的解法 2 考点三一元二次方程的根与系数的关系 3 考点四用一元二次方程解决问题 4 考点五反比例函数的概念 5 考点六反比例函数的图象与性质 6 考点七用反比例函数解决问题 8 考点八圆的相关概念 9 考点九确定圆的条件 10 考点十圆的对称性 12 考点十一圆周角 13 考点十二点与圆、直线与圆的位置关系 15 考点十三正多边形与圆 16 考点十四扇形 17 考点一一元二次方程的概念 1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．已知a是方程的一个根，试求的值． 3．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出c的值； 考点二一元二次方程的解法 4．解方程： (1)； (2)． (3)． (4)． 5．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)试用配方法求出代数式的最小值． 6．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求此时方程的根． 考点三一元二次方程的根与系数的关系 7．若，是方程的两根，求的值． 8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 9．关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个根分别为，，若，求的值． 考点四用一元二次方程解决问题 10．有1人不小心患了甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 11．某图书馆2023年的藏书量为20000册，2025年达到了28800册，已知每年藏书量的增长率相同． (1)求该图书馆藏书量的年平均增长率； (2)假设2025到2026年的藏书量的增长率不变，2026年该图书馆的藏书量能否达到34000册？请说明你的理由． 12．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 考点五反比例函数的概念 13．已知m辆汽车可运载货物，每辆汽车运载货物．请写出用b表示m的函数表达式． 14．已知． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 15．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 考点六反比例函数的图象与性质 16．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 17．如图，正比例函数与反比例函数的图象都经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点在该反比例函数图象上，且它到轴的距离小于3，请直接写出n的取值范围是___________． (3)请直接写出不等式的解集___________． 18．在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（是常数，且），则称点，是“瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有 ．（填序号） ①点与；②点与；③点与． (2)如图，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点，是“瞬移点”． ①的值为 ； ②若的面积为4，求的值． 考点七用反比例函数解决问题 19．在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 20．某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 21．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． 考点八圆的相关概念 22．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 23．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值． 24．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 考点九确定圆的条件 25．如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D． 26．如图三个顶点的坐标分别是，，，将绕C逆时针旋转，得到； (1)请在网格图中画出． (2)在（1）的条件下，则点B的路径的长为_____． (3)若是的外接圆，直接写出点M的坐标_______． 27．问题探究 (1)如图1，在中，，，求外接圆的半径． 问题解决 (2)为了营造春节节日氛围，管理部门对某地城墙段设计灯光夜间探照，如图2，点为探照灯位置，点为变电枢纽，为电缆线．按照设计要求，点到三点的距离相等，且．若，则电缆线是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 考点十圆的对称性 28．如图，，是上的两点，，，是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是上的点，直接写出的最大值为________． 29．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 30．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 考点十一圆周角 31．如图，在中，，垂足为，， (1)求的度数； (2)如果，求弦的长度． 32．如图，已知． (1)尺规作图：求作，使经过，，三点； (2)仅用没有刻度的直尺作的内接矩形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 33．已知，在中，，点，点在上，交于，交于，连接． (1)如图，求证：；    (2)如图，过点作于，连接，若，求证：平分；    (3)如图，在（2）的条件下，过点作，交于，连接，，延长交于，若，，求线段的长．    考点十二点与圆、直线与圆的位置关系 34．已知的半径为3，P是外一点，，分别求点P到的最近点和最远点的距离． 35．如图，在矩形中，，连接，以点B为圆心，r为半径作． (1)当与相切时，求r的值； (2)若与边有唯一公共点，求r的取值范围． 36．如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使． (1)请直接写出的正切函数值，即______； (2)求证：是的切线； (3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 考点十三正多边形与圆 37．已知和上的一点A，求作的内接正六边形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 38．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 39．如图，正六边形内接于，已知的周长等于． (1)求的度数； (2)求正六边形的周长和面积． 考点十四扇形 40．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 41．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少?    42．已知是的直径，点为上一点，平分交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出过点的的切线（其中圆规仅使用一次画弧写出简要的作图步骤，保留必要的作图痕迹）； (2)如图（2），设（1）中的交的延长线于点，连接，当时，求线段，与围成的图形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $