-2026-2027学年人教版数学九年级上册期中阶段复习能力提升卷一（第25章～28章）

期中阶段复习能力提升卷一（第25章～28章） 一、选择题（共16分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（     ） A．3，5 B．3，1 C．， D．3， 【答案】D 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再对应确定二次项系数与一次项系数． 【详解】解：∵， ∴， ∴二次项系数为，一次项系数为． 3．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， ∴， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为． 4．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为，当压力F一定时，另外两个变量的函数图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据压力F、压强p、受力面积S之间的关系为，变形即可得答案. 【详解】解：由得：， ∴当压力F一定时，变量与满足反比例函数，图象是反比例函数图形，故D正确. 5．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ， ， . 6．某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从统计图中读取2月份和4月份的产量数据，根据平均增长率公式建立等量关系即可． 【详解】解：由折线统计图可知，2月份的产量为万件，4月份的产量为万件． ∵从2月份到4月份经过了2个月，且月平均增长率为， ∴3月份的产量为，4月份的产量为， ∴可列方程为：． 7．在校园吉尼斯“弹性球挑战赛”中，小明将弹性球从地面竖直向上弹起时的速度为米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：（表示球弹起时的速度，表示重力加速度，取米/秒2），则球的高度不低于米的持续时间是（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】B 【分析】利用高度为1米的临界情况求出对应时间，其差即为高度不低于1米的持续时间． 【详解】解：将，代入，得， 令，则， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 二次函数的图像开口向下， ∴ 当时，， ∴ 高度不低于1米的持续时间为（秒）． 8．抛物线过三点，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式可知：抛物线开口向上，对称轴为直线，利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； ∵点关于对称轴的对称点的坐标为，， ∴， 即． 二、填空题（共20分） 9．已知函数是关于的二次函数，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据二次函数定义，二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 函数是关于的二次函数， ∴ 二次项系数不为，可得 ， 解得． 10．已知，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴． 11．新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 【答案】 【详解】解：， 与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是。 化为一般式得． 12．已知抛物线的最高点为，则 ________． 【答案】 【分析】把代入即可求出的值． 【详解】把代入得，， ， ， 又∵有最高点， ，， ． 13．某年级进行篮球循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛场，则这个年级共有________个班． 【答案】 【分析】设这个年级共有个班，根据循环赛规则，每两个班之间仅比赛一场，总场次可表示为，据此列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设这个年级共有个班， 根据题意列方程，得 整理，得 解得，（舍去） 即这个年级共有个班． 14．若一个直角三角形的两直角边长恰好是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长为________． 【答案】 【分析】先对一元二次方程因式分解求解得到两条直角边长，再利用勾股定理求出斜边长，最后根据直角三角形斜边上中线的性质计算结果． 【详解】解：原方程为 ， 变形得 ， 提取公因式得 ， 解得 ，，即直角三角形两条直角边长为和， 斜边长为 ， 直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半， 斜边上的中线长为 ． 15．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上的一点，若点的横坐标为，则的面积为______． 【答案】4 【分析】求出三点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，过点作轴交于点，求出点的坐标，算出线段的长，利用求解． 【详解】解：对于， 令，则，故， 令，则，故， 令，可得， 解得或，故， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 则对， 令，则，故， ∴ ∴ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 【答案】 【分析】根据直线与反比例函数的交点坐标规律，得出，进而得到通项，利用裂项相消法进行求和计算． 【详解】解： 由题意可知，，，，，， 点在反比例函数的图象上， ， ， 原式 ． 17．一次函数和反比例函数的图象交于，两点，则当时，的取值范围为_______． 【答案】或 【详解】解：如图， 当时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不满足； 因此，时，的取值范围为或． 18．矩形绕点A旋转得到矩形（B与E，C与F对应），的延长线交于点H，若点G恰好为的中点，，，则_____． 【答案】 【分析】过点F作交延长线于T，过点C作于Q，连接，设，则，由旋转的性质可得，先证明，再证明，得到，通过证明，推出，再证明，得到，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点F作交延长线于T，过点C作于Q，连接， ∵四边形是矩形， ∴ 设，则， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵点G恰好为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共64分） 19．计算题： (1)；（配方法）； (2)；（公式法） (3)．（自选方法） 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． 【分析】（1）二次项系数是 且一次项系数为偶数，移项后两边加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，再用直接开平方法求解； （2）确定 、、，先计算判别式 ，再代入求根公式求解； （3）观察左边的二次三项式可分解为两个一次因式的积，用因式分解法把原方程化为两个一元一次方程求解． 【详解】（1）解：移项，得 ． 配方，得 ，即 ． 直接开平方，得 或 ． ∴ ，． （2）解：∵ ，，， ∴ ． 由求根公式 ，得 ． ∴ ，． （3）解：原方程可化为 ． ∴ 或 ． ∴ ，． 20．（1）化简： （2）已知二次函数与坐标轴有3个交点，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2），且 【分析】本题考查分式的化简及含参数的二次函数与坐标轴交点取值问题． （1）先对括号内的分式进行加法运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简即可； （2）先确定函数与坐标轴交点的情况，再根据交点个数要求列出条件求解m的取值范围即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵二次函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点， ∴，， 即，解得，且． 故答案为：，且． 21．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点在的垂直平分线上 (2)解：存在， 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得   或     不符合题意，舍去  ， 当时，使得的面积等于． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得到关于t的方程，即可求解； （2）根据的面积等于，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒， ，， ， ， 在的垂直平分线上， ， ，解得， 当时，点在的垂直平分线上 （2）略 22．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数过点，若A、B是二次函数与x轴的交点（A在B的左边），点P是该二次函数图象上的动点并且位于x轴上方，设点P的横坐标为m，求m为何值时，面积最大，并求最大面积． 【答案】(1)的值为 (2)当时，的面积最大，最大面积为 【分析】（1）利用纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称求出对称轴，结合对称轴公式推导与的比值； （2）先代入已知点坐标结合第一问结论求二次函数解析式，再将的面积最大值转化为点纵坐标的最大值，利用二次函数顶点性质求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 整理得； （2）解：∵二次函数过点，且由（1）知， ∴将代入解析式得， 把代入上式，得， 解得， ∴， ∴二次函数的解析式为， 令，则， 解得，， ∵、是二次函数与轴交点，且在的左边， ∴，， ∴， 设点的横坐标为， ∵点在二次函数图象上且位于轴上方， ∴，且，中边上的高为点的纵坐标， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 综上所述，当时，的面积最大，最大面积为． 23．已知矩形的最短边； (1)求矩形对角线长度的取值范围； (2)记其长、宽、对角线长、面积这四个量为一组数据，从中随机选取三个互不相同的量，按照从小到大依次记为a、b、c；且满足，求矩形的面积（写出所有可能的值）． 【答案】(1)对角线； (2)或或． 【分析】（1）求出的取值范围，根据勾股定理计算即可； （2）设矩形长为，四个量分别为：短边，长边，对角线​，面积．根据作差法得到面积对角线，分情况求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵矩形的最短边， ∴， ∴对角线长度； （2）解：设矩形长为，由最短边为2得，四个量分别为：短边，长边，对角线​，面积． ∴对角线​，面积， ∴面积对角线， ∵， ∴， ∴， ∴面积对角线， ∴面积对角线， ∴面积对角线． 若选取长、宽、对角线长，从小到大依次为宽、长、对角线长， 则、、， ∵， ∴，即， 设，则， 解得：（舍去）， ∴，即， ∴面积； 若选取长、宽、面积，从小到大依次为宽、长、面积， 则、、， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴面积； 若选取长、对角线长、面积，从小到大依次为长、对角线长、面积， 则、、， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴面积； 若选取宽、对角线长、面积，从小到大依次为宽、对角线长、面积， 则、、， ∵， ∴， 解得：， ∴面积． 24．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)______，______； (2)满足不等式的x的取值范围是______； (3)为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用点的坐标求出的长度，从而确定点的坐标，使用待定系数法求解即可； （2）求出直线与轴的交点坐标，观察图象得出答案； （3）根据题意求出的面积，再将的面积表示出来，利用不等式求解． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， ， 把及代入， 则，解得， ∴． （2）解：令，代入中， 则， 解得， 直线与轴交于点， 根据图象可知，当时，的取值范围为； （3）解：由条件可得， ， ， ， 的面积不小于的面积， ， 或． 25．如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：把绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得出三者间关系是_______________； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 【答案】(1) (2)解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点使，连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据两个三角形全等的判定与性质，证明，推出，即可得到三者间的关系； （2）延长到点使，连接，如图所示，同（1）求解即可； （3）将绕着点顺时针旋转到，如图所示，由旋转性质和正方形性质得到点三点共线，均在直线上，再由三角形全等的判定与性质得出，最后数形结合表示出的周长，代入相关线段长度计算即可． 【详解】（1）解：把绕点A逆时针旋转，得到，如图所示： ， ∵， ， ∴点在同一直线上， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）略 （3）解：将绕着点顺时针旋转到，如图所示： ，则，，， 在正方形中，，， 则， ，即点三点共线，均在直线上， ， ，则， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ． 26．已知二次函数解析式为． (1)抛物线的顶点坐标为______； (2)如图1，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，若在第一象限内的该二次函数图象上总存在不同的两点，假设点的横坐标为，点的横坐标为，且，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，使得，求、满足的关系式（不需要写、的取值范围）； (3)如图2，点是坐标系内一点，过作轴，且，过点作轴，垂足为点，点为线段上异于点的动点，关于直线对称的图形为（点的对应点为点），当点落在四边形内部（含边界）时． ①求点横坐标的取值范围； ②若点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②． 【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解； （2）根据题意得到，，，则，，再根据全等三角形对应边相等列方程求解即可； （3）①当点落在边上时，根据轴对称得出，可得；当点落在边上时，设，利用勾股定理列方程，可得，即可得解； ②先求出当点落在边上时，点的坐标为，再根据点满足抛物线解析式，得到点在抛物线上，即可得解． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：二次函数图象上总存在不同的两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ，， 轴，轴， ，， ，， ， ， ，， ， ， 由得， 整理得，， ， ，， ； （3）解：①， ， ，轴，轴， ， 当点落在边上时，如图，则、、三点共线， 关于直线对称的图形为， ，，， ， ； 当点落在边上时，如图， 设，则， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 解得：，即， 当点落在四边形内部（含边界）时，的横坐标取值范围为； ②当点落在边上时，点的横坐标为7， 由①可知，， ， 在中，， ， 当时，， 点在抛物线上， 此时，把代入抛物线，，点在抛物线上． 当点落在四边形内部（含边界）且恰好落在抛物线上时，点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中阶段复习能力提升卷一（第25章～28章） 一、选择题（共16分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C．D． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（     ） A．3，5 B．3，1 C．， D．3， 3．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 4．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为，当压力F一定时，另外两个变量的函数图象可能是（     ） A． B． C．D． 5．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．7 6．某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 7．在校园吉尼斯“弹性球挑战赛”中，小明将弹性球从地面竖直向上弹起时的速度为米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：（表示球弹起时的速度，表示重力加速度，取米/秒2），则球的高度不低于米的持续时间是（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 8．抛物线过三点，，，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 9．已知函数是关于的二次函数，则的取值范围是___． 10．已知，是方程的两个根，则的值为______． 11．新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 12．已知抛物线的最高点为，则 ________． 13．某年级进行篮球循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛场，则这个年级共有________个班． 14．若一个直角三角形的两直角边长恰好是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长为________． 15．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上的一点，若点的横坐标为，则的面积为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 17．一次函数和反比例函数的图象交于，两点，则当时，的取值范围为_______． 18．矩形绕点A旋转得到矩形（B与E，C与F对应），的延长线交于点H，若点G恰好为的中点，，，则_____． 三、解答题（共64分） 19．计算题： (1)；（配方法）； (2)；（公式法） (3)．（自选方法） 20．（1）化简： （2）已知二次函数与坐标轴有3个交点，求m的取值范围． 21．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 22．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数过点，若A、B是二次函数与x轴的交点（A在B的左边），点P是该二次函数图象上的动点并且位于x轴上方，设点P的横坐标为m，求m为何值时，面积最大，并求最大面积． 23．已知矩形的最短边； (1)求矩形对角线长度的取值范围； (2)记其长、宽、对角线长、面积这四个量为一组数据，从中随机选取三个互不相同的量，按照从小到大依次记为a、b、c；且满足，求矩形的面积（写出所有可能的值）． 24．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)______，______； (2)满足不等式的x的取值范围是______； (3)为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 25．如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：把绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得出三者间关系是_______________； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 26．已知二次函数解析式为． (1)抛物线的顶点坐标为______； (2)如图1，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，若在第一象限内的该二次函数图象上总存在不同的两点，假设点的横坐标为，点的横坐标为，且，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，使得，求、满足的关系式（不需要写、的取值范围）； (3)如图2，点是坐标系内一点，过作轴，且，过点作轴，垂足为点，点为线段上异于点的动点，关于直线对称的图形为（点的对应点为点），当点落在四边形内部（含边界）时． ①求点横坐标的取值范围； ②若点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $