精品解析：贵州贵阳一中李端棻中学2026-2027学年度第一学期数学九年级阶段检测(一)

贵阳一中李端棻中学2026-2027学年度第一学期阶段检测（一） 本卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 3. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 4. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 5. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，在中，，点D是中点，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 16 8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ） A. B. C. 12 D. 24 12. 如图，是三条角平分线的交点，过M作，分别交，于D，E，设，，，下列关于x的方程的根的情况判断正确的是（ ） A. 一定有两个相等的实数根 B. 一定有两个不相等的实数根 C. 有两个实数根，但无法确定是否相等 D. 无实数根 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 线段a，b，c，d是成比例线段，若，则________． 14. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为___________． 15. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为12，则的长等于_______． 16. 如图，在中，点D、E在、边上，连接并延长交延长线于点G．过D作于点F．若，，，，，则的长度为___________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程： （3）解方程： 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； （2）与的面积比为________． （3）的面积是________． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，则的长为 ． 21. 如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：； （2）若的面积为4，，求的面积． 22. 已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证． 23. 如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． （1）求小明在A点处的影子的长度； （2）当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 24. 杭州特产专卖店春季热销春笋干货，经销商统计了3月份到5月份的销量，3月份销售2500千克，5月份销售3600千克，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店春笋干货销售量的月增长率； （2）该春笋干货进价为每千克25元，按每千克45元出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：单价每降低1元，平均每天销量可增加10千克．若该专卖店想平均每天获利2090元： ①每千克春笋干货应降价多少元？ ②在每天获利不变的前提下，为尽可能让利于顾客，商店打折出售．应按原售价的________折出售． 25. 如图1，在矩形中，，点分别是边上的动点（不与，重合），． 将沿直线对折，点对应点为点，连接． （1）如图2，当点落在对角线上时，则的长为__________； （2）如图3，当时，求的长； （3）若直线交于点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳一中李端棻中学2026-2027学年度第一学期阶段检测（一） 本卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 2. 如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴． 故选：B． 3. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选：A． 4. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角相等，正方形的对角线相等，且互相垂直平分，解答即可． 【详解】解：①平行四边形绕对角线交点旋转后与原图形重合，是中心对称图形，为真命题． ②矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，为假命题． ③菱形的对角相等，四个角不一定都相等，为假命题． ④　正方形同时具备矩形和菱形的性质，对角线相等且互相垂直平分，为真命题． 综上，真命题为①④． 5. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 6. 如图，在中，，点D是中点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解答的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，最后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求得即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ∴该菱形的周长是． 8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由网格特点得，，，则，由相似三角形的性质得出，，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：由网格特点得，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 9. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 10. 南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 11. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，设对角线相交于点O， ∵AC=8，DB=6， ∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3， 由勾股定理得AB===5， ∵DH⊥AB， ∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD， 即5DH=×8×6， 解得DH=． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质． 12. 如图，是三条角平分线的交点，过M作，分别交，于D，E，设，，，下列关于x的方程的根的情况判断正确的是（ ） A. 一定有两个相等的实数根 B. 一定有两个不相等的实数根 C. 有两个实数根，但无法确定是否相等 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】由是三条角平分线的交点，过作，则得出，即可得出，再求出，，即可得出：，即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是三条角平分线的交点， ∴， 同理可得出：， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ∴方程一定有两个相等的实数根． 【点睛】掌握三条角平分线的交点的含义，正确添加辅助线，证出，，是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 线段a，b，c，d是成比例线段，若，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 14. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，且， 解得. 15. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为12，则的长等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得到，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可； 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 菱形的周长为12， ， 解得， H为边中点，， . 16. 如图，在中，点D、E在、边上，连接并延长交延长线于点G．过D作于点F．若，，，，，则的长度为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】设，利用三角形内角和及已知条件推导，判定为等腰三角形；利用勾股定理求出及的长，进而求得；过点作交于点，利用相似三角形性质求，再证即可求解 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，，， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，过点作交于点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程： （3）解方程： 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： ， 【小问3详解】 解： 或 ， 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； （2）与的面积比为________． （3）的面积是________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） （3）14 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的性质作图即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为； 【小问3详解】 解：的面积是． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 20. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，则的长为 ． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得，进而得出，再说明四边形是平行四边形，然后根据“一个角是直角的平行四边形是矩形”证明即可； （2）先根据矩形的性质说明是等边三角形，进而求出，再根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 21. 如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：； （2）若的面积为4，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）25 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 22. 已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证． 【答案】（1）证明：在和中， ， ，  ， ， ， ， ， 又，， ， 四边形是菱形． （2）证明：， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先由三条边对应相等得到，结合得到，利用等角对等边得到即可得证； （2）由结合，推得，从而，再利用相似三角形性质结合可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． （1）求小明在A点处的影子的长度； （2）当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 【答案】（1）5米 （2）缩短了，缩短了米 【解析】 【分析】（1）先证明，即可列方程求解； （2）先求得米，再证明，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， 解得（米）； 【小问2详解】 解：米，米， （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得（米）， 所以当小明从A点走到B点，影子缩短了，缩短了（米）． 24. 杭州特产专卖店春季热销春笋干货，经销商统计了3月份到5月份的销量，3月份销售2500千克，5月份销售3600千克，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店春笋干货销售量的月增长率； （2）该春笋干货进价为每千克25元，按每千克45元出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：单价每降低1元，平均每天销量可增加10千克．若该专卖店想平均每天获利2090元： ①每千克春笋干货应降价多少元？ ②在每天获利不变的前提下，为尽可能让利于顾客，商店打折出售．应按原售价的________折出售． 【答案】（1）该专卖店春笋干货销售量的月增长率为20% （2）①每千克春笋干货应降价1元或9元．②八 【解析】 【分析】（1）设该专卖店春笋干货销售量的月增长率为x，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）①设每千克春笋干货降价y元，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②要尽可能让利于顾客，应降价9元，根据题意列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：设该专卖店春笋干货销售量的月增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该专卖店春笋干货销售量的月增长率为20%． 【小问2详解】 解：①设每千克春笋干货降价y元，则每千克春笋干货的销售利润为元，平均每天可售出千克， 根据题意，得， 解得，． 答：每千克春笋干货应降价1元或9元． ②要尽可能让利于顾客，应降价9元， ， 应按原售价的八折出售. 25. 如图1，在矩形中，，点分别是边上的动点（不与，重合），． 将沿直线对折，点对应点为点，连接． （1）如图2，当点落在对角线上时，则的长为__________； （2）如图3，当时，求的长； （3）若直线交于点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得：，即，证明，得到，则； （2）当时，此时点，，三点共线，证，得，设，则，，，再由勾股定理得，然后证，得，解得，即可解决问题； （3）分类讨论，①当时，②当时，由折叠的性质和相似三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接，交于点， 由折叠的性质得：，即， ， ， ， 解得：， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：由折叠和矩形的性质可得，， 当时，， ∴此时点，，三点共线， ， ， ， 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ，， ， ，即， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 【小问3详解】 解：不与，重合, ①当时，如图5， ∵， ∴ ∴， ， 设，则， ，，，， ， 由折叠的性质得：， ， ，， ， ，即， 解得：， ； ②当时，如图6， 同理可得， ， ， 由折叠的性质得：，， 设，则， ，，，， ， 同②得：， ， 解得：， ； 综上所述，在点的运动过程中，存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似，的长为或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $