广东深圳实验学校高中部2026-2027学年度高二第一学期第一阶段数学考试试卷

深圳实验学校高中部2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A C C A B D BD AC ACD 填空题 12． 13．或 14．7 解答题 15．（13分） 【解析】（1）由题设得，， 解得，．所以的方程为． 5分 （2）由（1）可知．设，则，且． 直线，的斜率分别为，， 故两直线的斜率之积为． 13分 16．（15分） 【解析】（1）由已知得底面，而底面，所以． 由，得，代入已知条件得． 因为，所以． 而，平面，，所以平面． 6分 （2）因为底面，底面，所以，故，，两两垂直．以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，，，所以，，． 设平面的法向量为，则即令得． 设平面的法向量为，则即令得． 记平面与平面所成的角为，则． 所以平面与平面所成的角的余弦值为． 15分 17．（15分） 【解析】（1）由题设得，． 设，则，． 由得，由得． 所以中点的坐标为，即． 记，，则，． 因为，所以． 因此，中点的轨迹方程为，． 7分 （2）直线的方程为，化简得． 当时，上述方程始终成立，所以直线过定点． 因为（1）中的轨迹是圆，不含点和，恰为点所在的直径，所以； 又因为点到圆心的距离为，所以． 综上，的取值范围是． 15分 18．（17分） 【解析】（1）由已知得，圆的圆心为，半径为． 因为到直线的距离为， 故圆与直线相切． 4分 （2）圆的方程可化为． 设当变化时，圆过定点，则，解得． 所以圆仅过定点． 8分 （3）先研究圆与的位置关系．两圆的圆心距为 ， 半径之和为，故两圆外切于点，有3条公切线． 由（1）（2）知，在3条公切线中，一条外公切线为，内公切线为过且垂直于直线的直线． 因为与的交点恒在直线上，故根据对称性，与另一外公切线的交点与关于点对称，从而恒在直线上． 因为的方程为，所以，． 15分 选择①：对任意，存在，过点可作两条圆与的公切线，即与． 17分 选择②：对任意，因为关于的方程总有非零实根，故存在，过点可作两条圆与的公切线． 17分 注：如选取多个语句分别作答，则按①进行计分． 19．（17分） 【解析】（1）记，则由轴可知，从而． 又因为，所以， 解得或（舍去）．因此的方程为． 4分 （2）（ⅰ）设，，直线的方程为． 由，得，，所以，． ，同理，． 所以 ． 10分 （ⅱ）由圆的几何性质，只需证明的外心在定直线上． 设，，的外心为，记，． 直线的方程为，故．同理，． 由得，，解得． 由得，，解得． 由（ⅰ）可得，， 所以， ． 因此， 即，故在定直线：上，从而的外接圆始终经过点，其中为关于的对称点． 所以直线的斜率为，且的中点是直线与的交点． 由，得，故． 综上，的外接圆经过异于的定点． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中部2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的班级，姓名和学号填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线的倾斜角是，则 A． B． C． D． 2．设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则 A．1 B．3 C．4 D．5 3．直线与的距离为 A． B． C． D． 4．若直线与圆相切，则 A． B． C． D． 5．在棱长为1的正方体中，到平面的距离为 A． B． C． D． 6．有一椭圆形溜冰场，其中椭圆的长轴长为，短轴长为．现要在该溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，则此时矩形的周长为 A． B． C． D． 7．设圆：与圆：交于，两点，则 A．1 B．2 C． D． 8．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，点满足是等边三角形，且，则的面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆：，：，其中，则 A．与的长轴长相等 B．的焦距小于的焦距 C．与有公共点 D．与的离心率相等 10．设，直线：，圆：，则 A．与圆相切 B．经过定点 C．存在唯一的使与相切 D．存在无穷多个使与相交 11．对于平面点集，若中至少含有2个元素，则称中任意两点距离的最大值为的直径，记为．已知平面点集．对任意，定义，则 A． B．的最小值为 C．中恰有2个元素 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过，，三点的圆的半径为________． 13．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则的方程为________． 14．已知，，动点在曲线上．过作直线的垂线，垂足为，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． （1）求的方程； （2）设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 16．（15分） 如图，是三棱锥的高，，，，为中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分） 设圆：与轴交于，两点，其中在的左侧．是上异于，两点的动点，点和满足，． （1）求中点的轨迹方程； （2）若直线与（1）中的轨迹交于，两点，求的取值范围． 18．（17分） 设，圆：． （1）判断直线与圆的位置关系，并证明； （2）当变化时，求圆过的所有定点； （3）证明：________，使得过点可作2条圆与的公切线．在①②中仅选择一个填入横线处，将问题补充完整，并证明． ①对任意，存在 ②对任意，存在 19．（17分） 已知椭圆：的右焦点为F，C上一点满足轴． （1）求C的方程； （2）过F且斜率为k的直线与C交于A，B两点． （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ)若直线，分别与x轴交于点Q，R，证明：的外接圆经过异于P的定点． 学科网（北京）股份有限公司 $