广东河源市龙川县第一中学2026-2027学年第一学期高二年级10月份考试数学试卷

龙川一中2026-2027学年第一学期高二年级10月份考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.） 1．已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 2. 已知向量，.若，则等于（ ） A. 8 B. -2 C. -8 D. 2 3. 已知偶函数在上单调递减，则下列正确的是（    ） A. B. C. D. 4.已知集合A={ ，}，集合B=，则A∩B=（    ） A. B. C. D. 5．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则（ ） A．2 B．4 C．1+ D．2+2 6. 已知正四棱锥，底面边长是2，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 在中，角，，所对的边分别为为的面积，若，则（ ） A. B. C. D. 8．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（  ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为实数 D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 10.下列说法正确的是（   ） A．直线在轴上的截距为2 B．若直线与直线平行，则 C．经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 D．若点在直线上，且满足，则的取值范围为 11．空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据以上材料，以下选项正确的是（    ） A．若直线的方程为，则点在直线上 B．已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C．已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D．已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知两个随机事件和，其中，则 13.在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成夹角余弦值为 14. 如图，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则 4、 解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．） 15. （13分）为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值及名学生这次竞赛成绩的众数； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 16.（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形是梯形，，平面，且 （1） 求证：平面 （2）求直线PC与面PBQ所成夹角的正弦值 17. （15分）一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. （1）当 时，求考生填空题得20分的概率； （2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求的值. 18.（17分） 记内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 19．（17分） 如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面． (1)求证：平面； (2)已知点为棱上的点，且， ①求三棱锥外接球的表面积； ②过点作平面，使平面，且平面交边于点，平面交于点，求点、的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2026-2027学年第一学期高二年级10月份考试 数学参考答案 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.） 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B C A A B D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 题目 9 10 11 答案 ACD BD ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 0.4 13. 14. 1. 【答案】C 【详解】直线经过点，则直线的斜率为. 2.【答案】D 【详解】由，得，解得. 3.【答案】B 【详解】因为为偶函数，所以，又因为， 且在上单调递减，所以 4.【答案】C 【详解】集合A=，集合B=，所以A∩B=，故选C 5.【答案】A 【详解】因为四点共面，对于，有 得：，所以，即最小值为2 6.【答案】A 【详解】因为正四棱锥，底面边长是2，所以底面积为2×2=4. 设正四棱锥的高为h，由，所以. 所以侧棱长为. 即侧棱长为 .故选：A 7.【答案】B 【详解】将代入已知条件，得到， 则，则，则. 8．【答案】D 【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，此时存在两种情况，选手与甲、乙比赛获胜，与丙比赛失败或者选手与甲、丙比赛获胜，与乙比赛失败 则连胜两盘的概率为 则 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 同理： 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 同理： 则 则 即，，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大. 故选：D 9.【答案】ACD 【详解】因为复数， 所以 ，故A正确；而，故B错误； 因为，是实数，故C正确； 因为，实部大于0，虚部小于0，所以在复平面内所对应的点位于第四象限，D正确. 故选ACD 10.【答案】BD 【详解】直线过点所以其在轴上的截距为，故A选项错误； 若 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为或，故C选项错误；因为点在直线上，所以，又因为，所以即，，当时即故当时，故，所以的取值范围为，故D选项正确；故选：BD 11．【答案】ABC 【详解】对于A，因为直线的方程为，则 所以点在直线上，故A正确； 对于B，因为平面的方程，所以平面的法向量为，平面的方程为，所以平面的法向量为，所以，则这两平面所成角的正弦值为，所以B正确， 对于C，因为平面的方程为，即为，所以平面的法向量，且点在平面内，所以，设点到平面的距离为，则，所以C正确； 对于D，因为平面的方程为，所以平面的法向量；又平面的方程为，所以平面的法向量；设直线的方向向量为，则有，取，则，又因为平面的方程为，所以平面的法向量为，设直线与平面的夹角为，则，所以，故D错误. 故选ABC 12.【答案】0.4 【详解】由概率的基本性质，对于任意两个随机事件，有 将 13.【答案】 【详解】以D为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 所以，，， 即： 所以 ， 所以 因为异面直线所成角范围，故异面直线与所成角的余弦值为 14.【答案】 【详解】如图， 由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和， 又，所以，因为函数图象向左平移个单位长度得到的图象，所以 ，所以 ，即，由图象可得代入1 所以 ，则，又，所以． 15.【答案】（1），众数为； （2）中位数为，平均数为. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，组距为10， 所有小矩形的面积之和为1， 则， 解得. 由图可知，频率最高的组为，其对应的小矩形最高， 故众数为该组底边的中点值，即. （2）由（1）知， 各组频率依次为：：， ：， ：， ：， ：. 因为前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内. 设中位数为， 则， 解得， 所以估计这名学生这次竞赛成绩的中位数为. 平均数为各组组中值与对应频率乘积之和， 即. 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为. 16.【答案】（1）证明见解析 （2） 【详解】（1）已知，且，因此且， 设PD的中点为E，连接，有∥ ∵底面ABCD为正方形 ∴∥ ∴∥ ∴四边形为平行四边形，则 ∵ ∴∥ （2）∵PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形 以点D为原点，DA，DC，DP分别为 由题意：正方形ABCD边长为2，OD=2，CD=1 ∴P（0,0,2），C（0,2,0）， B（2,2,0）， Q（2,0,1） ∴(0, 2, -2) , (2, 2, -2) , (2, 0,-1 )，设面PBQ的法向量 有 ，令 ∴ ∴= 17.【答案】（1） （2） 【详解】（1）设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，， 考生填空题得20分的概率 （2）设考生填空题得10分、15分分别为事件B，C 由题意可得：， ， 由，得 18.【答案】（1） （2） 【详解】（1）易得， 由正弦定理得， 而， 故， 易知，故， 即，又因为， 所以，即，解得； （2）因外接圆直径为，则由正弦定理可知， 故，，因为是锐角三角形， 所以， 得：，， 则， 所以 ， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 故的取值范围为. 19.【答案】(1)证明见解析 (2) ① ②是上满足的点， 是上满足的点. 【详解】（1）由题意，在中，勾股定理得，， 过D点作垂足为点E， 则在中，勾股定理可得， 在中，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，平面，, ，， 所以平面 （2）①：由（1）知平面，平面， 所以，故在中，，解得， 在中，， 由（1）知，以D为原点，为轴，为轴，过点在平面中作垂直于的垂线为轴，建立空间直角坐标系，作轴，轴， 在等腰直角中，由面积相等可得，,解得， 所以，因为四边形为矩形，所以， 所以 设三棱锥的外接球球心，设外接球半径为R 则：， 因为 ； ； 即： ，解得： 所以，即三棱锥的外接球的表面积为： ②：由（1）及①知，所以，，， ， 设，，，得， 同理，， ，，， 由题意得，， 所以，，解得，， 所以，， 是上满足的点， 是上满足的点. 学科网（北京）股份有限公司 $