广东深圳实验学校高中部2026-2027学年度高二第一学期第一阶段数学考试试卷

深圳实验学校高中部2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 命题人：项意成 审题人：刘嘉 终审：彭新春 (时间：120分钟 满分：150分) 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的班级，姓名和学号填在答题卡上，正确粘贴条形码. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑 4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 5.考试结束后，考生上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.若直线x+y=1的倾斜角是30°，则m= A.3 B.、3 D.-√5 3 3 C.5 2.设椭圆c:上+x =1的上、下焦点分别为耳，F,,C上的点P满足|P|=2,则 94 IPE= A.1 B.3 C.4 D.5 3.直线3x+4y-2=0与3x+4y+3=0的距离为 A.1 B. 2W5 c. 5 D 4.若直线y=c+3与圆(x+2)2+y2=4相切，则k= D.1 5.在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D中，B到平面ACD的距离为 A 2 B. C. 3 √6 D. 2 3 3 高二数学试卷第1页（共4页） 6.有一椭圆形溜冰场，其中椭圆的长轴长为100m,短轴长为60.现要在该溜冰场 上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，则此 时矩形的周长为 A.160√2m B.120√2m C.80v2m D.60√2m 7设图C+y=1与G:收-0-2交于4，B胸点，剥8 3 A.1 B.2 C. D.√2 2 &设椭圆C:号-y-1的左、右焦点分别为R,R,点P在C上，点Q满足△RPQ 是等边三角形，且F2=6,则△PF的面积为 A.V② B.√2 c.3 D.5 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9日描版G片+片1，C苦 -=1,其中>1，则 A.C与C,的长轴长相等 B.C的焦距小于C,的焦距 C.C,与C,有公共点 D.C1与C,的离心率相等 10.设0∈[0,2π)，直线：xcos0+ysin0=2,圆C:x2+(y-1)2=1,则 A.1与圆x+y2=4相切 B.1经过定点 C.存在唯一的0使l与C相切 D.存在无穷多个日使1与C相交 11.对于平面点集2，若2中至少含有2个元素，则称2中任意两点距离的最大值为2 的直径，记为diam2.已知平面点集S={(x,y)川x+|y=2},对任意(a,b)∈S, 定义S2={(x,y)川(x-a)2+(y-b)=4,则 A.diam S=diam S2 B.diam(S,US2)的最小值为2+2√2 C.S∩S,中恰有2个元素 D.diam(S,∩S2)的最大值为24 高二数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过(-1,0)，(3,0)，(1,4)三点的圆的半径为 13.若直线l过点(1,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则1的方程为 14.已知A(-3,0),B(0,-√5)，动点P在曲线y=21-x2上.过P作直线AB的垂线， 垂足为H,则PB+PH的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知椭圆C:￡+X装1(a>b>0)的离心率为)，长轴长为4， (1)求C的方程： (2)设C的左顶点为A,C上两点M,N关于原点对称，且M在第一象限，求 直线AM与直线AN的斜率之积. 16.(15分) 如图，PA是三棱锥P-ABC的高，AB=1, AC=V5,BC=2W2,D为BC中点， (1)证明：AD⊥平面PAB: (2)若PA=1,求平面PAC与平面PBC 的夹角的余弦值. 高二数学试卷第3页（共4页） 17.(15分) 设圆C:x+y2=4与x轴交于A,B两点，其中A在B的左侧.P是C上异于A, B两点的动点，点S和T满足A卫=P下，PT=B. (1)求ST中点的轨迹方程： (2)若直线ST与(1)中的轨迹交于M,N两点，求N的取值范围. 18.(17分) 设t∈R,圆M.:(x-t2)2+(y-2t)2=t2+1)2. (1)判断直线x=-1与圆M的位置关系，并证明： (2)当t变化时，求圆M过的所有定点： (3)证明： 一，使得过点(3，)可作2条圆M,与M,的公切线.在①②中 仅选择一个填入横线处，将问题补充完整，并证明. ①对任意t≠0，存在s∈R②对任意s∈R,存在t≠0 高二数学试卷第4页（共4页） 19.(17分) 已椭圆CC+卫Q>b>0)的右焦点为P,C上一点PL的满足P7LK铂 (1)求C的方程： (2)过F且斜率为k的直线与C交于A,B两点. (i)记直线PA,PB的斜率分别为k,k2,求k+k-2k; (ii)若直线PA,PB分别与x轴交于点Q,R,证明：△PQR的外接圆经过异于 P的定点. 高二数学试卷第5页（共4页） 深圳实验学校高中部2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A C C A B D BD AC ACD 填空题 12. 5 13.y=x+1或y=2x 14.7 解答题 15.(13分) 【解折】1)由题设得匠-B-V ,2a=4, 解得a=2,b=1.所以C的方程为 4+y=1. …5分 (2)由(1)可知4A-2,0).设M,),则N=,),且黄+5=1. 直线AM,AW的斜率分别为为，一% 6+2-6+2 故两直线的斜率之积为，6=1,1-5)= …13分 4-6x-4 4 16.(15分) 【解析】(1)由已知得PA⊥底面ABC,而ADC底面ABC,所以AP⊥AD 由AB+AC=2AD,AB-AC=CB得2(AB+AC)=4AD+CB°，代入已知条件 得AD=1. 因为AD+AB2=2=BD,所以AB⊥AD. 而AP,ABC平面PAB,AP∩AB=A,所以AD⊥平面PAB. …6分 高二数学答案第1页（共5页） (2)因为PA⊥底面ABC,ABC底面ABC,所以AP⊥AB,故AP,AD,AB 两两垂直.以A为坐标原点，AD的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A-z.由题设得D1,0,0),B(0,1,0),C(2,-1,0),P(0,0,1),所以AP=(0,0,1), PC=(2,-1,-1),PB=(01,-1). 设平面PAC的法向量为m=(x,y,=), m4严=0，即 则 ==0， Z .PC=0, 2x-y-三=0， P 令x=1得m=(1,2,0). 设平面PBC的法向量为n=(P,4,r), B 则mP丽=0 即y-=0, n.PC=0,2x-y-=0, C 令x=1得n=(1,1,1). 记平面PAC与平面PBC所成的角为O,则 cos0=cos(m,n)= m.n 3V15 |mnl√5xv35 所以平面PAC与平面PBC所成的角的余弦值为西 …15分 17.(15分) 【解析】(1)由题设得A(-2,0),B(2,0). 设P(),则x+后=4，%≠0. 由A=P西得S(2x+2,2),由P7=B得T西+2). 2, 2 2,+2+522%+ 所以ST中点的坐标为（ 2 2),即3+6,5). 2 -，2 4,4 4 4 4 因为亏+片=4，所以(c-多+ 2、2 4 因此，57中点的税迹方程为(：多》+少-空y0。 …7分 高二数学答案第2页（共5页） y-o x步+2 (2)直线ST的方程为 3% ,2,,化简得(3+1y-%(3x-2)=0. 3x+2 2 当3r-2=y0时，上述方程始终成立。所以直线7过定点层0。 因为(1)中的轨迹是圆(x- +25 不含点（←1,0和(4,0，恰为点（径，0所 4 在的直径，所以W<5; 236 综上，MNI的取值范围是[ …15分 18.(17分) 【解析】(1)由已知得，圆M,的圆心为C,(t,2),半径为5=t2+1. 因为C,到直线x=-1的距离为t2+1川=t+1=r, 故圆M,与直线x=-1相切. …4分 (2)圆M的方程可化为(2-2x)t2-4yt+(x2+y2-1)=0. 2-2x=0 x=1 设当t变化时，圆M过定点(x,y),则{-4y=0 ,解得 x2+y2-1=0 y=01 所以圆M,仅过定点(1,0). …8分 (3)先研究圆M,与M,的位置关系.两圆的圆心距为 0+(o+3-++40+4=+2, 半径之和为(++（宁+）=+方+2，故两圆外切于点1,0)，有3条公切线。 由(1)(2)知，在3条公切线中，一条外公切线1为x=-1,内公切线1为过1,0) 且垂直于直线M,M,的直线， 高二数学答案第3页（共5页） 因为1与1的交点P恒在直线x=-1上，故根据对称性，1与另一外公切线1，的交点 2与P关于点1,0)对称，从而Q恒在直线x=3上. 因为1的方程为y=--x-),所以P(-1-月，Q3,-0, …15分 选择①：对任意t≠0，存在5=】-t,过点(3，)可作两条圆M,与M1的公切线， 即1与12· …17分 选择②：对任意s∈R,因为关于t的方程t+st-1=0总有非零实根，故存在t≠0， 过点(3，s)可作两条圆M与M,的公切线. …17分 注：如选取多个语句分别作答，则按①进行计分 19.（17分) 【解析】(1)记F(c,0),则由PF⊥x轴可知c=1,从而a2-b2=1. 因为宁8-1所以。-1=ra- 4 解得a=4或d-}(舍去).因此C的方程为￥+ 1 …4分 4 43 (2)(i)设A(x,片)，B(:,),直线AB的方程为y=k(x-1). 01.得.3+4-82x+42-12)=0, 由{43 y=k(x-1) 8k2 4k2-12 所以+634农，=3+4状· 3 3 -15-1 所以k+k-2k=31,+1)=-3x5+x-2 2x-1x2-1了2x2-x-为+1 =-3×8-23+4h9) 3×6=-1. 2×4h-12-82+3+4W=29 …10分 高二数学答案第4页（共5页） (ⅱ)由圆的几何性质，只需证明△PQR的外心在定直线上. 设0g.0),R0,0),△POR的外心为10为)，记与=1 63-11 直线1的方程为y子低-子X-》故g=1或 3一.同理，r=1-2k-3 3 由1=R得，(。-)2+6=(-2+，解得6=9牛”. 2· 1Q1P得，化-g+-化+0}，解得%号星97+g 113 由D可得：5+号=3+，所以 2 9 9 9 -10-0=2k-32k-3）4h2-4k-3-4k3+4k q+r-2=-3.4h-3(9+5)12k-6 (2k-3)(2k-352)3+4k 气932k-6)=g+r-5)月 因此3%-43+4k53+4k 563, 21 即%=56-4 散I在定直线：y=号x青上，从而△POR的外接园始络给过点 P,其中P'为P关于I的对称点 所以直线PP的斜率为-，且PP的中点M是直线PP与1的交点. 由 54 得M( 8539、 3 5 58'116 y-2-2-0 徐L,△PQR的外接经过片于P的定点r(S为 …17分 高二数学答案第5页（共5页）