2026-2027学年人教版九年级上册数学期中模拟检测 - 1

2026年九年级上册数学期中模拟检测 一．选择题（共10小题，每题4分，共4分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．xy+4＝1 B． C．x2＝2 D．ax2+bx+c＝3 2．下列函数中，属于二次函数的是（　　） A． B．y＝x2﹣（x+1）2 C． D．y＝x2+2 3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝x2 B． C． D． 4．下列方程两根之积是3的是（　　） A．x2﹣4x﹣3＝0 B．x2+2x+3＝0 C．x2+2x﹣3＝0 D．x2﹣4x+3＝0 5．为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝36 C． D．x（x+1）＝36 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0），A（﹣2，0），，C（4，0），D（2，y2）均在其图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 7．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（3，﹣4） B．图象位于第二、四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数，的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为10，，则k的值为（　　） A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣5 10．如图，抛物线y1＝a（x+1）2+2与y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，分别交抛物线于点A，C．则以下结论中正确的个数是（　　） ①无论x取何值，y2总是负数；②AB＝2BC；③四边形AECD为正方形； ④当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．二次函数y＝﹣（x+4）2﹣3的顶点坐标为____________ ． 12．是一个关于x的一元二次方程，则m＝_______ ． 13．物理实验小组根据在压力不变的情况下测得某物体承受的压强p（单位：Pa）和它的受力面积S（单位：m2）之间对应的数据画出p与S之间的函数关系图象（如图所示），当受力面积S＝0.5时，压强p的值为________ ． 14．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是________ ． 15．如图，直线y＝2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，与双曲线交于C，D两点，且DA＝AB＝BC，则反比例函数的表达式为____________________ ． 16．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝8厘米，占P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过_____ 秒钟△PBQ的面积等于5平方厘米． 三．解答题（共9小题，共86分） 17．（6分）按要求解下列方程： （1）x2﹣3x﹣3＝0（请用配方法）； （2）x2+2x﹣6＝0（请用公式法）． 18．（6分）已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数值时，方程x2﹣6x+k＝0与x2﹣mx＝1有一个相同的根，求m的值． 19．（8分）2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． （1）求该文创产品平均每次降价的百分率； （2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 20．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x的一些对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y＝ax2+bx+c … 3 ﹣1 3 … （1）根据表格中的数据，求二次函数的表达式； （2）填写表格中空白处的对应值，并利用五点作图法在下面的网格图中画出该二次函数y＝ax2+bx+c的图象；（不必重新列表） （3）根据图象回答：当1≤x≤4时，y的取值范围是___________ ． 21．（8分）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示． （1）求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； （2）生活委员7：40到校打开电源，请通过计算说明：当第一节下课时（8：50），同学们能否喝到不高于50℃的温水． 22．（10分）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度AB＝L（如图1），称为跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度L＝32m，拱高h＝8m． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点O为圆心，OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D．） ②设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得GH＝6.1m，EH＝16m，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 23．（12分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝10cm，AC＝16cm，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着BA运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着AC运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止． （1）经过多长时间，MN的长为 （2）△AMN的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 24．（14分）实践与探究 在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证：△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标． 25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）． （1）求此抛物线的解析式． （2）直线BC与抛物线对称轴交于H点，在抛物线上是否存在一点T使得△TDH与△TBH的面积相等．若存在，请求出T点坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P（横坐标为x）在抛物线上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，请写出实数t的所有整数值． 2026年九年级上册数学期中模拟检测 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，每题4分，共4分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．xy+4＝1 B． C．x2＝2 D．ax2+bx+c＝3 【解答】解：A、xy+4＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列函数中，属于二次函数的是（　　） A． B．y＝x2﹣（x+1）2 C． D．y＝x2+2 【解答】解：A、x的次数是1，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、y＝x2﹣（x+1）2＝x2﹣（x2+2x+1）＝x2﹣x2﹣2x﹣1＝﹣2x﹣1，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、含有分式，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、是二次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝x2 B． C． D． 【解答】解：A、是二次函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，故此选项符合题意； C、不是反比例函数，故此选项不符合题意； D、不是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．下列方程两根之积是3的是（　　） A．x2﹣4x﹣3＝0 B．x2+2x+3＝0 C．x2+2x﹣3＝0 D．x2﹣4x+3＝0 【解答】解：由根与系数的关系逐项分析判断如下： ∵各选项均为二次项系数是1的一元二次方程，要求两根之积为3， ∴常数项需为3，故A、C不符合题意； B选项中Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，方程无实数根，不符合题意； D选项中Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个实数根，符合题意． 故选：D． 5．为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝36 C． D．x（x+1）＝36 【解答】解：由题意，∵共有x个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的（x﹣1）支队伍比赛， ∴． 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0），A（﹣2，0），，C（4，0），D（2，y2）均在其图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【解答】解：抛物线的对称轴为直线． ∵a＜0， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大． ∵点到对称轴的距离为，点D（2，y2）到对称轴的距离为|2﹣1|＝1，且， ∴y1＞y2． 故选：A． 7．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（3，﹣4） B．图象位于第二、四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【解答】解：A、∵当x＝3时，， ∴函数图象不经过过（3，﹣4），原说法错误，不符合题意； B、∵k＝12＞0， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，原说法错误，不符合题意； C、∵k＞0，当x＜0 时，函数图象在第三象限， ∴y 随x的增大而减小，正确，符合题意； D、∵k＞0，当x＞0时，函数图象在第一象限， ∴y随x的增大而减小，不是增大，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴， 设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，2x2﹣24x+56＝0， 整理得：x2﹣12x+20＝0， 解得x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 即当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为2s． 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数，的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为10，，则k的值为（　　） A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣5 【解答】解：设AB与y轴相交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，如图所示： ∵AB∥x轴， ∴AM⊥AB，BN⊥AB，OE⊥AB， ∴四边形AMNB，四边形AMOE和四边形BNOE都是矩形， ∴点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴根据反比例系数的几何意义得：S矩形AMOE＝7，S矩形BNOE＝|k|， ∵△BCD的边CD上的高与△BAD的边AD上的高相同， ∴， 设S△BCD＝2a，S△BAD＝3a， ∴S△BCD+S△BAD＝5a， ∵△ABC的面积为10， ∴S△ABC＝S△BCD+S△BAD＝5a＝10， 解得：a＝2， ∴S△BAD＝3a＝6， ∴S△BADAB•AM＝6， ∴AB•AM＝12， ∴S矩形AMNB＝AB•AM＝12， ∴S矩形AMNB＝S矩形AMOE+S矩形BNOE＝12， ∵S矩形AMOE＝7，S矩形BNOE＝|k|， ∴7+|k|＝12， ∴|k|＝5， 又∵k＜0， ∴k＝﹣5， 即k的值为﹣5． 故选：D． 10．如图，抛物线y1＝a（x+1）2+2与y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，分别交抛物线于点A，C．则以下结论中正确的个数是（　　） ①无论x取何值，y2总是负数； ②AB＝2BC； ③四边形AECD为正方形； ④当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①∵（x﹣2）2≥0， ∴﹣（x﹣2）2≤0， ∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0， ∴无论x取何值，y2总是负数； 故①正确； ②∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1的对称轴为直线x＝2，点B（1，﹣2）， ∴A（﹣3，﹣2），C（3，﹣2）， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，BC＝3﹣1＝2， ∴AB＝2BC， 故②正确； ③设AC与DE交于点F， ∵A（﹣3，﹣2），C（3，﹣2）， ∴AF＝CF＝3，AC＝6， 当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5， ∴DE＝6，DF＝EF＝3， ∴四边形AECD为平行四边形， ∴AC＝DE， ∴四边形AECD为矩形， ∵AC⊥DE， ∴四边形AECD为正方形． 故③正确． ④∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6， ∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小； 故④错误； 故选：C． 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．二次函数y＝﹣（x+4）2﹣3的顶点坐标为　（﹣4，﹣3）　 ． 【解答】解：二次函数y＝﹣（x+4）2﹣3图象的顶点坐标为（﹣4，﹣3）， 故答案为：（﹣4，﹣3）． 12．是一个关于x的一元二次方程，则m＝　﹣1　 ． 【解答】解：由题意得： ， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．物理实验小组根据在压力不变的情况下测得某物体承受的压强p（单位：Pa）和它的受力面积S（单位：m2）之间对应的数据画出p与S之间的函数关系图象（如图所示），当受力面积S＝0.5时，压强p的值为　240　 ． 【解答】解：根据图象可知，压力不变，压强p与受力面积S成反比例函数， 设， 由题意可得：k＝pS＝0.2×600＝120， ∴函数表达式为， 当S＝0.5，． 故答案为：240． 14．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＜3　 ． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣3＜0， 解得k＜3． 故答案是：k＜3． 15．如图，直线y＝2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，与双曲线交于C，D两点，且DA＝AB＝BC，则反比例函数的表达式为　　 ． 【解答】解：令x＝0，则y＝4；令y＝0，则2x+4＝0，解得：x＝﹣2， ∴B（﹣2，0），A（0，4）， ∵DA＝AB， ∴点A是BD的中点， 设D（a，b）， ∴，， ∴a＝2，b＝8， ∴D（2，8）， ∵点D在双曲线的图象上， ∴， ∴k＝16， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：． 16．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝8厘米，占P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过　1　 秒钟△PBQ的面积等于5平方厘米． 【解答】解：经过t秒钟△PBQ的面积等于5平方厘米， 由题意得：AP＝tcm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t（cm）， 则， ∵△PBQ的面积等于5平方厘米， ∴﹣t2+6t＝5， 解得t1＝1，t2＝5， ∵2×5＝10＞8， ∴t＝5舍去， ∴t＝1， 故答案为：1． 三．解答题（共9小题，共86分） 17．（6分）按要求解下列方程： （1）x2﹣3x﹣3＝0（请用配方法）； （2）x2+2x﹣5＝0（请用公式法）． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2﹣3x＝3， ， ， ， ； 解得：， （2）∵， ， ∴， 解得：，． 18．（6分）已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数值时，方程x2﹣6x+k＝0与x2﹣mx＝1有一个相同的根，求m的值． 【解答】解：（1）由条件可知这个方程根的判别式Δ＝（﹣6）2﹣4k≥0， 解得k≤9． （2）由条件可知k＝9， ∴关于x的方程x2﹣6x+k＝0为方程x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∵方程x2﹣6x+k＝0与x2﹣mx＝1有一个相同的根， ∴32﹣3m＝1， 解得． 19．（8分）2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． （1）求该文创产品平均每次降价的百分率； （2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 【解答】解：（1）设该文创产品平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：100（1﹣x）2＝81， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9 （不合题意，舍去）． ∴该文创产品平均每次降价的百分率为10%； （2）设每件应降价y元， 根据题意得：（81﹣y）（30+2y）＝4590， 解得y1＝36，y2＝30， ∵为回馈顾客并减少库存， ∴y＝36， ∴每件应降价36元． 20．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x的一些对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y＝ax2+bx+c … 3 ﹣1 3 … （1）根据表格中的数据，求二次函数的表达式； （2）填写表格中空白处的对应值，并利用五点作图法在下面的网格图中画出该二次函数y＝ax2+bx+c的图象；（不必重新列表） （3）根据图象回答：当1≤x≤4时，y的取值范围是　﹣1≤y≤3　 ． 【解答】解：（1）根据题意得，解得a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）当x＝﹣1时，y＝x2﹣4x+3＝8； 当x＝1时，y＝x2﹣4x+3＝0；当x＝3时，y＝x2﹣4x+3＝0， 如图， 故答案为：8，0，0； （3）当1≤x≤4时，y的取值范围是﹣1≤y≤3． 故答案为：﹣1≤y≤3． 21．（8分）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示． （1）求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； （2）生活委员7：40到校打开电源，请通过计算说明：当第一节下课时（8：50），同学们能否喝到不高于50℃的温水． 【解答】解：（1）某新款饮水机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，则： 由题意可知，加热阶段y与x是一次函数关系． 设加热阶段的函数表达式为y＝k1x+b． 因为初始水温为20℃， 所以b＝20． 因为每分钟上升20℃， 所以k1＝20． 所以加热阶段的函数表达式为y＝20x+20． 当y＝100时，100＝20x+20， 解得x＝4． 所以加热阶段的函数表达式为y＝20x+20（0≤x≤4）． 由题意可知，水温下降阶段y与x成反比例关系． 设水温下降阶段的函数表达式为． 因为图象经过点（4，100）， 所以， 解得k2＝400． ∴． 当y＝20时，， 解得x＝20． 所以． 综上：加热阶段的函数表达式为y＝20x+20（0≤x≤4）， 水温下降阶段的函数表达式为； （2）从7：40到8：50经过的时间为：1小时10分钟＝70分钟． 由（1）可知，一个周期的时间为20分钟．70÷20＝3……10． 所以8：50时，饮水机处于第4个周期的第10分钟． 因为4＜10≤20， 所以此时处于水温下降阶段． 将x＝10代入，得． 因为40＜50， 所以能喝到不高于50℃的温水． 答：同学们能喝到不高于50℃的温水． 22．（10分）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度AB＝L（如图1），称为跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度L＝32m，拱高h＝8m． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点O为圆心，OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D．） ②设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得GH＝6.1m，EH＝16m，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 【解答】解：任务一：设计成圆弧型，设⊙O的半径为R， ∵CD＝8米， ∴OD＝（R﹣8）米， ∵OC⊥AB， ∴米， 由勾股定理可得：R2＝（R﹣8）2+162， 解得：R＝20， ∴圆弧所在圆的半径为20米； ②设计成抛物线型， 设抛物线的解析式为y＝ax2+c，由条件可得： 0＝256a+8， 解得， ∴抛物线的解析式为； 任务二： 在抛物线型拱桥中， 由条件可得， 当x＝8时，， ∴货船不能顺利通过抛物线型拱桥． 23．（12分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝10cm，AC＝16cm，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着BA运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着AC运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止． （1）经过多长时间，MN的长为 （2）△AMN的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【解答】解：（1）16÷2＝8（s）． 当运动时间为ts（0≤t≤8）时，AM＝（10﹣t） cm，AN＝2tcm， 根据题意得：（10﹣t）2+（2t）2＝（4）2， 整理得：t2﹣4t+4＝0， 解得：t1＝t2＝2． 答：经过2s，MN的长为4cm； （2）△AMN的面积不会等于△ABC面积的一半，理由如下： 假设△AMN的面积会等于△ABC面积的一半，当运动时间为ts（0≤t≤8）时，AM＝（10﹣t） cm，AN＝2tcm， 根据题意得：（10﹣t）×2t10×16， 整理得：t2﹣10t+40＝0， ∵Δ＝（﹣10）2﹣4×1×40＝﹣60＜0， ∴原方程无实数根， ∴假设不成立，即△AMN的面积不会等于△ABC面积的一半． 24．（14分）实践与探究 在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证：△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标． 【解答】解：（1）∵A（5，0），B（0，3）， ∴OA＝5，OB＝3， ∵四边形AOBC是矩形， ∴OB＝AC＝3，OA＝BC＝5，∠C＝90°， ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的， ∴AD＝OA＝5， 在Rt△ACD中，CD4， ∴BD＝5﹣4＝1， ∴D（1，3）； （2）①由旋转可知，OA＝DA，∠AOB＝∠ADE＝90°， ∴∠AOB＝∠ADB＝90°， 在Rt△AOB与Rt△ADB中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）； ②∵△ADB≌△AOB， ∴BD＝BO＝AC， 在△BDH与△ACH中， ， ∴△BDH≌△ACH（AAS）， ∴DH＝CH， ∵DH+AH＝AD＝5， ∴CH+AH＝5， 设CH＝x，则AH＝5﹣x， 在Rt△ACH中，（5﹣x）2＝x2+32， 解得，x， ∴BH＝5， ∴点H的坐标为（，3）． ∴PG＝FM， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/21 16:32:24；用户：微信用户；邮箱：orFmNt2XaOr9WnQX9Pu3xO--ahwI@weixin.jyeoo.com；学号：43689588 25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）． （1）求此抛物线的解析式． （2）直线BC与抛物线对称轴交于H点，在抛物线上是否存在一点T使得△TDH与△TBH的面积相等．若存在，请求出T点坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P（横坐标为x）在抛物线上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，请写出实数t的所有整数值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ，解得， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+3； （2）存在， 设直线BC的解析式为：y＝mx+n将（3，0），（0，3）分别代入， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴x1， ∴D（1，4）H（1，2）， ∴DH＝2，设T（t，﹣t2+2t+3）， ∴|t﹣1|＝|t﹣1|， 过T作TQ⊥x轴，与直线BC交于点Q， ∴Q（t，﹣t+3），S△THBTQ×2＝|﹣t2+3t|， ∴|t﹣1|＝|﹣t2+3t|， ∴当t﹣1＝﹣t2+3t时，解得， ∴T（1，2），（1，2）， 当1﹣t＝﹣t2+3t时，解得， ∴T（2），（2）， 综合得T的坐标为（1），（1），（2），（2，2）； （3）①当x＝t+1≤1，即t≤0时，m＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3＝﹣t2+4，n＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+3＝﹣t2+4t， ∵m﹣n≤6， ∴﹣t2+4+t2﹣4t≤6， ∴t， ∴， t的整数值是0， ②当t﹣1＜1＜t+1，即0＜t＜2时，m＝4，当0＜t≤1，n＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+3＝﹣t2+4t时，4+t2﹣4t≤6，t的整数值是1， 当1＜t＜2，范围内无整数， ③当t﹣1≥1，即t≥2时，m＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+3＝﹣t2+4t，n＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3＝﹣t2+4， ∴﹣t2+4t+t2﹣4≤6，∴，即2≤t，t的整数值是2， 综合得：t的所有整数值是0，1，2． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $