第5章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（北师大版2024）

本章综合提升（答案P25) 本章知识归纳 方程：含有 的表示量相等的等式 一元一次方程：只含有个未知数，且方程中的代数式都是 未知数的次数都是 认识方程 的方程 方程的解：使方程左、右两边的值 的未知数的值 解方程：求方程的 的过程 等式的 等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得的结果仍是 基本性质 等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得的结果 仍是 元一次方程的解法 移项：把原方程的项从方程的一边移到另一边，这种变形称为 解方程的步骤 合并同类项 次方程 系数化为1 几何图形问题 类型 古代数学问题 行程问题 一元一次方程的应用 找等量关系 列方程 步骤 解方程 验证 实际问题的解 问题解决策略：直观分析 思想方法纳 【例1】已知a是非零整数，关于x的方程 >>>>>>>>>>>>>>>> a.xa-bx2+x-2=0是一元一次方程，求a+b 1.分类讨论思想 的值与方程的解. :管链接本章 《- 当判定一元一次方程时方程中的未知 系数存在的不确定的因素时往往需要进行 分类讨论. 109 优计学案·课时通 【变式训练1】(2023·九江月考)已知方程 (1-m2)x2-(m+1)x十8=0是关于x的一元 (2)利用上述方法解方程：9x+29x+2 5 3 一次方程，求m的值. 18x+48 5 15 2.整体思想 百链接本章 在解特殊类型的方程时，先把未知项看 成一个整体，再把方程看成关于这个整体的 通模拟>>222>2>29》 一元一次方程，进而减少了方程的项数，使 求解的过程变得简便易行， 1.(2024·武威凉州区一模)下列方程中是一元 、- 一次方程的是( 【例2】解方程：3(3x十7)- 3(3x+7)+ A.x+y=3 B.4 24 73x十7)=-73x十7). C.2x-x=0 D.2x-x 2.(2024·无锡惠山区一模)若x=1是关于x的 方程3x十m=4的解，则m的值为() A.7 B.1 C.-1 D.-7 3.(2024·台州二模)在一次学农活动中，在甲处 劳动的有27人，在乙处劳动的有19人.现在另 调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人 数的2倍，设调往甲处x人，则() A.27-x=2(19+20-x) B.27+x=2(19-20-x) C.27-x=2(19+20+x) 【变式训练2】李老师在课堂上提出这样一个 D.27+x=2(19+20-x) 问题：解方程：(2x+5)-1=4-}(2x+5). 4.(2023·宝鸡二模)《增删算法统宗》记载：“有个 小亮认为本题可设y=2x+5,因而原方程 学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍 多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资 可化为y-1=4一，只要求出y的值，即可 聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是 求出x的值. 前一天的两倍，问他每天各读多少个字.已知 (1)根据小亮的思路，求得y= ,进 《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x 而求得x= 个字，则列方程为 一七年级·上册·数学，B5 110 5.数学文化》《孙子算经》中有这样一道题，原文9.(2024·蚌埠模拟)甲、乙两港口相距80km,一 如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家 艘轮船从甲港口逆流向乙港口航行速度为 共一鹿，适尽.问：城中家几何？大意为：今有 48km/h,水流速度为2km/h.现计划在甲、乙 100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下 两港口之间修建一个丙港口，若该轮船从甲港 的鹿每3家共取一头，恰好取完.在这个问题 口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到 中，城中有 户人家 丙港口所用时间相同，求甲港口到丙港口之间 6.(2023·无锡期中)小静同学按如图所示的程 的距离 序输入一个正整数x,最后输出的结果为 2031,则满足条件的x的不同值有 是 输人x 计算5x+1的值 >2000> 输出结果 7.(2023·杭州一模)解方程： (1)5-2(x-1)=3; 10.(2023·南阳期末)爱读书是一种美德，快乐 读书吧为促进孩子们阅读，特推出两种付费 借阅方式（每借阅一本为一次）.方式一：先购 买会员证，每张会员证50元，只限本人当年 使用，凭证借阅每次再付费1元；方式二：不 购买会员证，每次借阅付费3元.设小明一年 (2)32-1=5-4虹 内借阅x次(x为正整数) 3 6 (1)m= ,n= 借阅次数 10 20 方式一的总费用/元 60 70 方式二的总费用/元 30 60 2 (2)当借阅次数为x时，求方式二比方式一的 总费用多多少元， 8.(2024·西安雁塔区四模)从一个底面半径是 (3)通过计算说明当x=23和x=27时，分别 10cm的圆柱形凉水杯中，向一个底面半径为 应选择哪种付费方式更合算？ 5cm,高为8cm的空圆柱形玻璃杯中倒水，当 (4)若小明计划今年到该书吧借阅的总费用 玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降多少？ 为100元，请说明他选择哪种付费方式借阅 次数比较多？ 111 优计学案·课时通 通中巾考》28>>9>9% 16.(2023·北京中考)对联是中华传统文化的瑰 宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别 11.(2023·永州中考)关于x的一元一次方程 称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一 2x+m=5的解为x=1,则m的值为( 般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、 A.3B.-3 C.7 D.-7 右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 12.(2023·海南中考)若代数式x+2的值为7， 1 则x等于() 。某人要装楼一副对联，对联的长为 A.9B.-9 C.5 D.-5 l00cm,宽为27cm.若要求装裱后的长是装 13.(2023·大连中考)我国古代著作《九章算术》 裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长. 中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出 装裱后的宽 天头 九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价 天头长 各几何.”其大意是：“今有人合伙买鸡，每人 出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差 装 16钱.问人数、鸡价各是多少.”设共有x人合 裱 后边 伙买鸡，根据题意，可列方程为 的 14.(2023·德阳中考)在初中数学文 长 16 化节游园活动中，被称为“数学小 7 王子”的王小明参加了“智取九宫 4 地头长 格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了 27cm 边的宽地头 已经填写的三个数之外的每一个方格中，填 入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对 角线上的3个数之和分别相等，且均为m.王 小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所 学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 m= 15.(2023·衡州中考)小红在解方程-4.1+ 3 6 1时，第一步出现了错误： 解：2X7x=(4x-1)+1. 。… (1)请在相应的方框内用横线画出小红的错 误处 (2)写出你的解答过程， 一七年级·上册·数学，BS 112费一共17600元： 移项去分母去括号移项 4.解：(1)209.5 【思想方法归纳】 (2)设该用户10月份用水量为y吨，则y>10,根据【例1】思路分析：分情况讨论：(1)a=b,a=2,(2)b=0, 题意，得6×2+(10-6)×4+8(y一10)=30，解得 |a=1,根据一元一次方程的定义求得a,b的值，然 y=10.25. 后将其代入a十b并求值；最后将a,b的值代入原方 答：该用户10月份用水量为10.25吨. 程，由一元一次方程的解法解方程 (3)设11月份用水a吨，则12月份用水(18-a)吨. 解：分情况讨论：(1)a=b,a|=2,当a=2时，b= ①当0≤a≤6时，18-a>12,由题意得2a十2×6十 2,此时a十b=4,方程的解为x=2;当a=一2时， 4×4+8[(18-a)-10]=52, b=一2，此时a十b=一4，方程的解为x=2; 解得a-2,不合题蜜合去。 (2)|a=1,b=0,解得a=士1，b=0;当a=1时， 由原方程，得x十x-2=0,解得x=1,a+b=1十 ②当6<a≤8时，18-a≥10,2X6+4(a-6)+2× 0=1;当a=-1时，由原方程，得-x十x-2=0, 6+4×4+8[(18-a)-10]=52, 不符合题意. 解得a=7,18-a=11. 【变式训练1】解：因为方程(1-m2)x2一(m+1)x十 11月份的水费：6×2+1×4=16（元）， 8=0是关于x的一元一次方程， 12月份的水费：6×2+4×4+1×8=36（元）. 所以1-m2=0,-(m十1)≠0，解得m=士1，m≠ 答：11月份交水费16元，12月份交水费36元. -1,所以m=1. 5.C6.A7.20 【例2】思路分析：本题可以采用常规解一元一次方程的 8.解：(1)设x小时后乙队可以追上甲队，根据题意，得 方法求解，如果视(3x十7)为一个整体，那么求解 6x一4x=4×1,解得x=2. 时可能会更简洁」 答：乙队需要2小时可以追上甲队 解：视(3x十7)为一个整体，移项，得3(3x+7)一 (2)设甲队出发y小时，两队间隔的路程为2km. 1 1 ①乙出发前，根据题意，得4y=2,解得y=2; 3(3.x+7)+7(3x+7)+7(3x+7)=0, 206 ②甲、乙均出发且未相遇，根据题意，得4y一6(y一 合并同类项，得21(3x+7)=0, 1)=2,解得y=2; 系数化为1，得3x十7=0，移项，得3x=-7, ③甲、乙均出发且相遇后，根据题意，得6(y一1) 、 4y=2,解得y=4. 系数化为1，得x= 3 答：甲队出发？小时或2小时或4小时，两队间隔的 【变式训练2】解：1)25 5 8 路程为2km. 9.解：(1)设x秒后，P,Q两点第一次相距15cm,根 (2)设9虹十2=y,原方程转化为-音-g-品 据题意，得2x十3x十15=60， 去分母，得3y-5y=6y-8,移项，得3y-5y- 解得x=9. 6y=-8,合并同类项，得-8y=一8，系数化为1， 答：9秒后，P,Q两点第一次相距15cm. 得y=1, (2)点P,Q只能在直线AB上相遇，点P旋转到直 所以9x十2=1，移项，得9x=1一2，合并同类项， 线AB上的时间为40÷10=4（秒）或(40+180)÷ 得9x=-1,系数化为1，得x=一 1 10=22(秒).设点Q运动的速度为ycm/s,根据题 意，得4y=60-10×2或22y=60,解得y=10或 【通模拟】 30 1.C2.B3.D y一11 4.x+2x+4x=34685 答：点Q运动的速度为10cm/s或0 5.756.406或81或16或3 1l cm/s. 7.解：(1)去括号，得5-2x+2=3,移项，得-2x=3一 本章综合提升 2一5，合并同类项，得一2x=一4，系数化成1，得 【本章知识归纳】 x=2. 未知数一 整式1相等解等式等式 (2)去分母，得2(3x-2)-6=5-4x,去括号，得 25 6x-4-6=5-4x,移项，合并同类项，得10x=15, 系数化为1，得x=1.5. 装裱后的宽为（行x+日x+27)cm=(行x+27)em 8.解：设凉水杯水面下降的高度是xcm,由题意得π× 5 由题意可得号x+100=(x+27）×4, 10x=π×52×8，解得x=2,故凉水杯的水面将下 降2cm. 解得x=24,所以6x=4. 9.解：设甲港口到丙港口之间的距离为xkm,因为逆 答：边的宽为4cm,天头长为24cm. 流速度为48km/h,水流速度为2km/h,所以顺流 第六章 数据的收集与整理 速度为48十2+2=52(km/h),由题意得8 1丰富的数据世界 52.獬得x=38.4, 1.B2.301.653.B4.25.A6.12 7.解：(1)14235+13270+3780+1048+256= 答：甲港口到丙港口之间的距离为38.4km. 32589(人). 10.解：(1)x+503x 答：参与本次调查的有32589人. (2)3x-(x+50)=2x-50. 32989×10%≈0.86. 256 答：方式二比方式一的总费用多(2x一50)元， (2) (3)当x=23时，x十50=73,3x=69. 答：“从来不让座的人”占调查总人数的百分比约 因为73>69，故选择方式二更合算. 是0.8%. 当x=27时，x+50=77,3x=81, (3)从来不让座的人所占比例是很少的，绝大多数的 因为81>77，故选择方式一更合算. 人都会让座.（合理即可） (4)方式一：令x+50=100,解得x=50, 2 数据的收集 方式二：82=10，解得x=38行 第1课时数据的收集 因为50>33日，所以选择方式一他的借阅次数比 1.C2.D3.B 4.这箱装有2500件包装食品的质量按2%抽取的 较多 50件包装食品的质量 【通中考】 5.D6.②③④ 11.A12.C13.9x-11=6x+1614.39 7.解：(1)由条形统计图知：唐朝历经时间最长，秦朝历 15.解：(1)如图所示. 经时间最短. 解：2×7x=(4x-1)+1, (2)唐、明、清三个朝代历经的时间超过250年. (3)因为西汉历经210年，东汉历经195年，所以两 (2)去分母，得2×7x=(4x-1)+6, 汉历经405年.因为北宋历经167年，南宋历经 去括号，得14x=4x一1+6， 149年，所以两宋历经316年.所以汉朝历经时间最 移项，得14x一4x=-1十6， 长，秦朝历经时间最短；其中汉、唐、宋、明、清五个朝 合并同类项，得10x=5, 代历经的时间都超过250年. 系数化为1，得=云 第2课时抽样调查 1.D2.不可靠广泛性 16.解：设天头长为xcm, 3.解：(1)小亮的调查是抽样调查， 由天头长与地头长的比是6：4，可知地头长为 (2)调查的总体是中学七年级共10个班一周中收看 2 3x cm, 电视节目所用的时间； 个体是每个同学一周中收看电视节目所用的时间. 边的宽为(e+号+)m=+ (3)这个调查的结果不能反映七年级同学平均一周 收看电视节目所用的时间，因为抽样太片面（答案不 装棱后的长为（子x+x+100)cm 唯一，合理即可). (3x+1o0)cm, 4.B5.675 6.解：(1)80 26