-2026-2027学年人教版数学九年级上册 期中阶段复习能力提升卷二（第25章～28章）

期中阶段复习能力提升卷二（第25章～28章） 一、选择题（共20分） 1．当前我国人工智能产业快速发展，多款国产大模型亮相数字产业展会，下列四个产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（     ） A． B． C．D． 2．若 是方程 的一个根，则 k 的值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 3．下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C．D． 4．下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C．D． 5．当压力一定时，物体所受的压强与它的受力面积之间的函数解析式为，下列说法不正确的是（     ） A．当压力，受力面积S为时，物体所受压强为 B．p关于S的函数图象位于第一、第三象限 C．压强随受力面积的增大而减小 D．函数图象不可能与坐标轴相交 6．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C．或4 D．1或4 7．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（     ） A． B．C．D． 8．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 9．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，、旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 11．人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 12．方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是____________． 13．某社区开展“科技之冬”培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信210条．若设参加培训的有x人，则根据题意可列方程为_____． 14．若函数的图象经过点，则的值为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标是________． 16．已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是____________． 17．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 18．已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确的结论有___________（填序号）． 三、解答题（共64分） 19．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 20．已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 21．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 22．某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 23．已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 24．如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)当时，，求的取值范围． 25．菱形中，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到． (1)如图1，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，连接，求的长； (2)如图2，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，过点F作于点H，交于点G，连接，求的面积； (3)如图3，，若E与C重合，P是边上一点且，将沿翻折得到，点D的对应点恰好与点F重合，延长交延长线于点Q，求的长． 26．我们不妨约定：若一次函数图像上存在点满足反比例函数，则称二次函数为一次函数和反比例函数的“关联函数”，点Р称为“关联点”．例如：一次函数图像上存在点满足反比例函数，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“关联函数”，点是“关联点”． (1)判断下列说法是否正确，若正确，在括号内打“√”，若不正确，在括号内打“×”； ①一次函数和反比例函数没有“关联函数”；（     ） ②一次函数和反比例函数有且只有一个“关联点”；（     ） ③一次函数和反比例函数存在“关联函数”；（     ） (2)一次函数与反比例函数存在“关联点”，且其“关联函数”的图像上有且只有3个点到x轴的距离为4，求a的值； (3)已知一次函数与反比例函数有两个“关联点”A、B（A在B左侧）满足点B的横坐标为1，其“关联函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧）且经过点，若，记四边形的面积为S，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中阶段复习能力提升卷二（第25章～28章） 一、选择题（共20分） 1．当前我国人工智能产业快速发展，多款国产大模型亮相数字产业展会，下列四个产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，据此逐项判断即可. 【详解】解：选项A，不是中心对称图形； 选项B，绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形； 选项C，不是中心对称图形； 选项D，不是中心对称图形. 2．若 是方程 的一个根，则 k 的值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：把 代入，得 ， 解得． 3．下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】不能仅通过表达式表面是否含判断，需先化简各选项，再结合二次函数的定义逐一验证． 【详解】解：A选项，的右边为分式，不是整式，不是二次函数． B选项，化简得，的最高次数为1，是一次函数． C选项，化简得，右边为整式，的最高次数为2，且二次项系数为，是二次函数． D选项，中的最高次数为1，是一次函数． 4．下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式依次计算四个选项中方程的判别式值，根据时方程有实数根、时无实数根的规则判断出符合要求的选项即可． 【详解】解：分别计算各选项一元二次方程的根的判别式： 选项：． 选项：． 选项：． 选项：． 综上所述：只有选项的方程有实数根． 5．当压力一定时，物体所受的压强与它的受力面积之间的函数解析式为，下列说法不正确的是（     ） A．当压力，受力面积S为时，物体所受压强为 B．p关于S的函数图象位于第一、第三象限 C．压强随受力面积的增大而减小 D．函数图象不可能与坐标轴相交 【答案】B 【分析】根据题意，确定函数的解析式，结合实际问题，解答即可. 【详解】解：由题意得，，且受力面积，压强. 当，时，， ∴A正确； ∵函数自变量，函数值， ∴图象仅位于第一象限，不经过第三象限， ∴B错误； ∵当压力一定时，，， ∴随的增大而减小， ∴C正确； ∵，， ∴函数图象不可能与坐标轴相交， ∴D正确. 6．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C．或4 D．1或4 【答案】D 【详解】解：设这个数为， 由题意得， ，． 7．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（     ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】本题的核心是利用参数的符号同时约束二次函数和一次函数的图象特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】A选项：二次函数图象开口向上，说明，但与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； B选项：二次函数图象开口向上，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； C选项：二次函数图象开口向下，说明，一次函数图象经过第二、三、四象限，与轴交点纵坐标为负，对应，符合要求； D选项：二次函数图象开口向下，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为正，对应，不符合要求； 故选：C． 8．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方，且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 9．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，、旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用三角形内角和定理求出，然后利用旋转的性质得到，，然后结合等边对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上， ∴，，， ∴， ∴． 10．如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 二、填空题（共16 分） 11．人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【答案】50 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 12．方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得． 13．某社区开展“科技之冬”培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信210条．若设参加培训的有x人，则根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据互发短信的规则计算总短信数量，列出符合题意的方程． 【详解】解：设参加培训的有人， ∵每人不需要给自己发短信，且每两人之间互发一条短信， ∴每个人需要给其余人各发条短信，总短信条数为条， 结合总发送短信共条，可得方程． 14．若函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【分析】将点的坐标代入解析式求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标是________． 【答案】 【分析】先观察图形可知，是绕点O旋转后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答． 【详解】解：观察图形可知、、、、、， ∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称， ∴和关于原点对称． ∵和关于原点对称，与N是对称点， ∴N点坐标为：． 16．已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程综合． 根据二次函数图象与x轴只有一个公共点，判别式等于零，列方程求解，并注意二次项系数不为零． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴只有一个公共点， ∴， 解得：， ∵二次项系数， ∴， 综上所述，． 故答案为：． 17．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】首先根据旋转的性质得到，，，然后求出，得到，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， ， ， ， ∴， ∴． 18．已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确的结论有___________（填序号）． 【答案】②③④⑤ 【分析】结合二次函数的开口方向，对称轴所在位置以及与轴的交点，确定的符号，从而可判断结论①；结合对称轴的表达式，推导得出的关系式，从而可判断结论②；根据二次函数上关于对称轴对称的两点对应的函数值相等，得到与对应的函数值均小于，从而可判断结论③；根据二次函数与轴有两个不同的交点，对应一元二次方程有两个不同的实数根，因此判别式大于，从而可判断结论④；由图象可知，当时，二次函数取得最大值，因此任意实数的函数值均小于等于该最大值，列出不等式关系，从而可判断结论⑤． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下， ， ∵对称轴为直线， ， ， ∵抛物线与轴正半轴相交， ， ，故结论①错误； 由对称轴，得， ，故结论②正确； 二次函数的图象关于直线对称， 和对应的函数值相等， 由图象可知，当时，函数值， 当当当s时，，故结论③正确； 抛物线与轴有两个不同交点， 对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，故结论④正确； 由图象可知，当时，二次函数取得最大值，最大值为， 对任意实数，都有， 两边同时消去，整理得，，故结论⑤正确． 综上所述，正确的结论有②③④⑤． 三、解答题（共64分） 19．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）根据直接开平方法计算； （2）根据配方法计算． 【详解】（1）解：， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴，． 20．已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 (2) 或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，也考查了观察图象的能力．（1）把点代入反比例函数求出，即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由题意得出函数的图象总在函数的图象上方，即可得出结果． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为 ， 点在反比例函数的图象上， ， 点B的坐标为 ， 一次函数的图象经过点A、B，将A、B两个点的坐标代入， 得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）画出图象： 观察函数图象可知：符合条件的x取值范围是： 或． 21．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人即可求解； （2）根据题意可列方程求解． 【详解】（1）解：∵这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴一个人可致使x个人患这种疾病， ∴第一轮后共有个人患病， 同理：第二轮后共有个人患病， 故答案为：，； （2）解：列方程， 解方程，得（不合题意，舍去）， 故的值为． 22．某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【答案】(1)变量与满足反比例函数关系， (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）由的值为定值，可得出变量、之间的关系满足反比例函数，结合，可求出关于的函数表达式； （2）根据满电续航为及可行驶的时间不少于4小时，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 变量、之间的关系满足反比例函数， ， 函数表达式为； （2）解：该车充满电可行驶的总路程为， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为120． 答：的最大值是120． 23．已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】(1)当时，四边形是菱形，此时菱形的边长为 (2)平行四边形的周长为 【分析】（1）当四边形是菱形时，，故，可求出m的值，然后把m的值代入方程，然后解方程即可求出菱形的边长． （2）把2代入方程求出的值，再利用公式法解出的值，最后由平行四边形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解：当四边形是菱形时，， 故， 整理得：， 解得：， 当时，方程变成：， 解得：， 即当时，四边形是菱形，此时菱形的边长为． （2）解：若的长为2， 则方程的一个根为2， 把2代入方程得：， 解得：， 则方程为：， 解得，， 故， ∴平行四边形的周长为：． 24．如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定的值； （2）根据，，结合图象，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于，． ∵直线经过A点， ∴， ∴； （2）解：，， 当或时，抛物线在直线的上方， ∴当时，或． ∵当时， ∴ 25．菱形中，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到． (1)如图1，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，连接，求的长； (2)如图2，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，过点F作于点H，交于点G，连接，求的面积； (3)如图3，，若E与C重合，P是边上一点且，将沿翻折得到，点D的对应点恰好与点F重合，延长交延长线于点Q，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合菱形的性质，证明，即可得解； （2）连接交于点，证明是等边三角形，证明，即可求出结论； （3）连接，作于点，证明是等边三角形，设，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】（1）解：由题意知，菱形中，，， ∴，， ∵E是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接交于点，如图， 在菱形中，，，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵E是边上的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，作于点， 在菱形中，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 26．我们不妨约定：若一次函数图像上存在点满足反比例函数，则称二次函数为一次函数和反比例函数的“关联函数”，点Р称为“关联点”．例如：一次函数图像上存在点满足反比例函数，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“关联函数”，点是“关联点”． (1)判断下列说法是否正确，若正确，在括号内打“√”，若不正确，在括号内打“×”； ①一次函数和反比例函数没有“关联函数”；（     ） ②一次函数和反比例函数有且只有一个“关联点”；（     ） ③一次函数和反比例函数存在“关联函数”；（     ） (2)一次函数与反比例函数存在“关联点”，且其“关联函数”的图像上有且只有3个点到x轴的距离为4，求a的值； (3)已知一次函数与反比例函数有两个“关联点”A、B（A在B左侧）满足点B的横坐标为1，其“关联函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧）且经过点，若，记四边形的面积为S，求的取值范围． 【答案】(1)①√；②√；③× (2)或 (3)的取值范围为 【分析】（1）根据定义，“关联点”就是联立一次函数与反比例函数的公共解，联立消去y得到一元二次方程，用判别式判断有没有实数根，有实根就存在关联点、关联函数，无根则不存在；①联立，整理方程得到，无交点；②联立，方程有两个相等实根，只有1个关联点；③联立，得到的关联函数应该是，不是； （2）先用关联点代入一次函数、反比例函数，求出，，写出关联函数，“抛物线上只有3个点到x轴距离为4”结合开口向上得到顶点纵坐标只能等于（顶点是唯一的一个取到的点，有两个不同交点，一共3个点），代入顶点纵坐标公式列方程求解，得到或； （3）点B横坐标是1（关联点），说明是的根，得到，再利用关联函数过，联立得到，，结合条件解不等式，得到，由韦达定理得到A点横坐标，算出A、B纵坐标，四边形拆成和，同底，面积，把S用a表示，化简，令转化为关于t的二次函数，结合t的范围，根据单调性求出的范围即可． 【详解】（1）解：①令， 两边同时乘得，即， ， 方程无解， 一次函数和反比例函数没有交点， 一次函数和反比例函数没有“关联函数”； ②令， 两边同时乘得，即， ， 当时，， 一次函数和反比例函数有且只有一个“关联点”，为； ③令， 两边同时乘得，即， ， 方程有解， 一次函数和反比例函数存在“关联函数”，故③说法错误； （2）解：一次函数与反比例函数存在“关联点”， ， ，， 一次函数与反比例函数的“关联函数”为， 的图像上有且只有3个点到x轴的距离为4， 当时，， 整理得， 两边同时乘得， 化简得，即， 因式分解得， 解得或； （3）解：一次函数与反比例函数的“关联点”B的横坐标为1， ，即， 其“关联函数”经过点， ， ，即， ， ， ， ，解得， 设，，则，， ， 由韦达定理得， ， ， ， ， 令，则，， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，；当时，， 的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $