2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟卷

【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （北师大版）2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．难度系数：0.67。 第一部分（选择题 共32分） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，两段公路互相垂直，公路的中点D与点B被湖隔开，若测得的长为，则B，D两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．已知四条线段和d是成比例线段，则线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 4．如图，菱形中，，，则菱形的周长是（   ） A．10 B．20 C．40 D．96 5．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2023年底到2025年底两年内由5万册增加到万册．设这两年藏书的年均增长率是x，则可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 6．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，对角线，是等边三角形，是对角线上一个动点，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 8．如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，则线段的长为（ ） A． B． C．5 D． 第二部分（非选择题 共68分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 9．在中，，，点D为的中点，则_________ 10．方程的根为_________． 11．在花艺造型中，黄金分割被赞誉为最美的比例．如图，在竖向的花艺作品中，花材的高与整体作品的高之比是黄金分割数（即）．若整体作品的高，则花材的高为______． 12．为了积极响应《“健康中国”规划纲要》提出的全民健身要求，某体育中心周末向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场人次，第三周进场人次．若进场人次的周平均增长率相同，设进场人次的周平均增长率为，则可列方程为________． 13．如图，在四边形中，，连接、，，若，，则当最大时，的面积为________ ． 三、解答题：本题共5小题，共48分。 14．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，求的度数． 15．计算与解方程． (1)计算：； (2)解方程：． 16．如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，在上取一点F，连接，使得． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，，求的长度和四边形面积． 17．小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课本中的材料：一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出： 如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为、．反过来，如果一元二次方程的两个根为、，那么，即．由此可得．因此． 小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程： 【初步感知】 (1)已知一元三次方程的三个根为， 计算可得： ①三个根的和； ②每两个根的乘积之和； ③三个根的积． 观察计算结果，思考与原方程系数1，，19，之间的关系并完成下面的填空： 一般地，若一元三次方程的三个根为，则___________，___________，___________．（用含的代数式表示） (2)【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明（1）中的结论； (3)【灵活运用】若已知关于x的一元三次方程的三个实根按从小到大排列依次为，且，求实数的最大值． 18．小丽同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形中，连接对角线，在对角线上取动点P，在射线上取动点Q，连接，，，且使． (1)【初步探究】小丽同学发现：如图2，当，且P为对角线的中点时，线段与线段之间存在一定的数量关系，写出此时线段与线段之间的数量关系________； (2)【再次探究】小丽同学又发现：如图3，当，且P为对角线上任意一点时，线段与线段之间仍存在一定的数量关系，请写出这个数量关系，并帮助小丽同学给予证明； (3)【深入探究】小丽同学进一步发现：如图4，当，且P为对角线上任意一点，菱形边长为，当时，直接写出的值________． 试卷第4页（共5页） 试卷第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C C C A B A 1．B 【分析】根据直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：由题意得：，点D是的中点， ∴． 2．D 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：在一元二次方程中，，，， ， 该方程有两个不相等的实数根． 3．C 【分析】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即，则这四条线段成比例．据此得到，进而得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵四条线段，，和是成比例线段， ∴， ∴， ∴． 4．C 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出对角线一半的长度，再借助勾股定理求出菱形边长，最后计算周长． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， 在中， ． 菱形的周长为． 5．C 【分析】设这两年藏书的年均增长率是x，先表示出2024年底的藏书量、再表示出2025年底的藏书量，最后根据2025年底的藏书量为万册列出方程即可． 【详解】解：设这两年藏书的年均增长率是x， ∵2023年底藏书为5万册， ∴2024年底藏书量为万册， ∴2025年底藏书量为万册， ∵2025年底藏书为万册， ∴． 6．A 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 7．B 【分析】利用正方形对角线是对称轴，得到和关于对称，，把转化为，依据两点之间线段最短，确定最小值就是线段的长度；由正方形对角线算出正方形边长，再根据等边三角形三边相等，得到，即的最小值是． 【详解】解： ∵ 四边形是正方形， ∴ 点、点关于对角线对称，连接． ∴ ． ∴ ． 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长． ∵ 正方形的对角线， 设正方形边长为，由正方形对角线与边长关系得：， 解得 ， ∴ ． ∵ 是等边三角形， ∴ ． ∴ 的最小值为． 8．A 【分析】根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解方程即可求解． 【详解】解：连接，作于点，作交的延长线于点， 由作法得平分，垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 9． 【分析】已知直角三角形斜边的长度，为斜边中点，可利用直角三角形斜边中线的性质直接计算的长度． 【详解】解：∵在中，，点为的中点， ∴， 将代入得：． 10．， 【分析】提取公因式对左边因式分解，即可求出方程的根. 【详解】解：原方程， 提取公因式得， ∴ 或 ， 解得 ，. 11． 【分析】根据比例式 ，列式计算即可． 【详解】解：由题意可知， 即， ， ， 整理得， 即， 解得或（负值，舍去） 即花材的高为 ． 12． 【分析】已知第一周进场人次和第三周进场人次，周平均增长率为，第一周到第三周间隔周，根据增长率计算方法可列出方程． 【详解】解：∵第一周进场人次，周平均增长率为， ∴第二周进场人次为， ∵第三周在第二周的基础上增长，增长率仍为， ∴第三周进场人次为， 已知第三周进场人次，因此可列方程为． 13． 【分析】根据，，可判定是等腰直角三角形，得到．构造等腰直角，通过证明，得到．依据三角形三边关系，确定的最大值，进而求出的最大值．当、、三点共线时，取得最大值，结合全等三角形对应角、平角性质，推导，利用勾股定理算出，再结合等腰直角三角形的性质求出的面积． 【详解】过点作，使得，连接、． ，， 为等腰直角三角形， ，． ，， 为等腰直角三角形， ，． ， ， ． 在和中 ． ，． 在中，． ，， ． 当点、、三点共线时，取最大值，最大值为． ， ． 三点共线， ． 又， ． 在四边形中，内角和为， ， ． 在中， ． 是等腰直角三角形，， ，即， ． ． 14． 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，根据正方形的性质可得，根据，可得，由此即可求出，进而可得． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 15．(1) (2) ， 【详解】（1） 解：； （2）解： 或 ∴，． 16．(1)证明：， ， ， 四边形是平行四边形， 是的角平分线， ． 又， ． ． ， 四边形是菱形； (2)，四边形面积为 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到，推出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得，求得，得到，根据菱形的判定定理得出结论即可； （2）根据菱形的性质得到，设菱形的边长为x，则，，根据相似三角形的性质得到，连接，交于点O，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式得到菱形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点O，如图： 四边形是菱形， ， 设菱形的边长为x，则，， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， ∴菱形的边长为， 在菱形中，，， ， ， ． 17．(1)；；； (2)证明：如果一元三次方程的三个根为， 那么， 即， 由此可得，，， 因此，，； (3)3 【分析】（1）根据一元三次方程的三个根的计算结果分析即可； （2）类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，将展开，进而得到，，，即可得证； （3）根据上述结论得到，，进而得出，，设，则，即可得解． 【详解】（1）解：在一元三次方程中，，，，， 三个根的和， 三个根的和为； 每两个根的乘积之和， 每两个根的乘积之和为 三个根的积． 三个根的积为， 一般地，若一元三次方程的三个根为，则，，． （2）略 （3）解：关于x的一元三次方程的三个实根为， ，， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， ， 当 时，实数有最大值为3． 18．(1) (2)． 证明如下：如图，延长至点，使，连接，， ∵菱形，， ，， 在和中， ， ， ， ∵菱形，， ∴菱形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在等腰直角三角形中， ∴， ； (3) 【分析】（1）根据题意可得四边形是正方形，根据正方形的性质，即可求解； （2）延长至点，使，连接，，证明得出菱形是正方形，证明得出，，进而证明是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，等量代换即可得出结论； （3）仿照（2）的方法，延长至点，使，连接，，过点作于点，证明得出，，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，作交于点E，连接，可知，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，根据三线合一得到，可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∵为对角线的中点， ∴， ∵， ∴重合， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，延长至点，使，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形 ∴，， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，同理可得 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， 又∵ ，， ， ， ∴ 又∵ ， ∴ ∴ ∴ 如图，作交于点E，连接，可知 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵菱形边长为， ∴， ∴， ∴ ∴． 答案第12页（共13页） 答案第13页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $