精品解析：甘肃平凉市名校大联盟2027届高三上学期月考(二) 数学试题

2027届名校大联盟·高三月考卷（二） 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将弥封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：三角函数及解三角形、平面向量（70%），滚动前面内容（30%）． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知，故. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】向量，，且，则，得， 所以. 3. 已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】设的最小正周期为T，由函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得，由，解得 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出角，再由面积公式求面积. 【详解】中，由，得， 由余弦定理，，得， 又，所以. 5. 若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（ ） A. 第一象限角或第二象限角 B. 第二象限角或第三象限角 C. 第三象限角或第四象限角 D. 第二象限角或第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数式的符号确定角的范围或象限. 【详解】当角的终边不在坐标轴上时，， 所以，所以只需， 又因为，要使， 所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限. 6. 把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于，由已知可得，根据弧长公式计算即可. 【详解】过点作于， 由折叠性质可得，， 所以，所以，所以， 所以劣弧的长是. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据折叠性质得到线段的关系，进而得到，根据弧长公式即可求解. 7. 已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线的斜率以及方程，将点的坐标代入直线的方程，即可求出的值. 【详解】因为，设切点坐标为， ， 直线的斜率为，解得：， 所以直线的方程为， 将点代入直线的方程得，解得. 8. 已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（ ） A. 677 B. 1354 C. 2027 D. 4054 【答案】D 【解析】 【分析】由x、y任意性得到，进而推出是常函数且设，再结合可得即可求. 【详解】由、xyx、y任意性可得， 当，时，，故是常函数， 所以当时，，其中c为常数， 由，得，解得，所以， 所以. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】求得的值判断选项A；求得与的夹角判断选项B；求得的值判断选项C；求得在上的投影向量判断选项D. 【详解】选项A：由，， 可得，则， 则.判断错误； 选项B：， 又，则.判断正确； 选项C：， 由，可得.判断正确； 选项D：在上的投影向量为 .判断错误. 故选：BC 10. 函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 是的极小值点 C. 当时，函数有个零点 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据奇函数定义和性质求函数的解析式；对于B：求导，利用导数分析函数在内的单调性和极值；对于CD：根据奇函数的定义结合选项B可得函数的图象，根据图象分析判断. 【详解】对于A：因为函数是定义域为的奇函数，则， 当时，则，可得，故A正确. 对于B：当时，，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增；在上单调递减， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C： 当时，由选项B可知：在内单调递增；在内单调递减， 则，且当x趋近于时，趋近于0， 结合奇函数性质可得函数的图象，如图所示， 由图象可知：当时，与的图象有3个不同的交点， 即函数有3个零点，故C错误； 对于D：由可得或， 由图象可得：或， 所以不等式的解集为，故D错误. 11. 在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为等边三角形，则其布洛卡角 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用三角形性质及正余弦定理依次分析各选项即可得出结果. 【详解】对于A，因为，所以， 而，所以， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为为等边三角形，， 所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 所以，又，所以，故B正确； 对于C，在中，，即， 在中，，即， 所以，由正弦定理得， 因为，所以，即，故C正确； 对于D，由，可得，在中，由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D错误． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则 ______. 【答案】 【解析】 【详解】因， 则. 13. 已知函数的一个零点是，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【详解】函数的一个零点是， 所以，， 所以由余弦函数性质可知，或， 解得或， 所以. 14. 已知如图所示的爱心由两个半圆和线段，组成，两个半圆分别以正方形的边，为直径．若正方形的边长为，点在上，且，，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以正方形的对角线，建系，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可. 【详解】以正方形的对角线，的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图. 因为正方形的边长为， 所以，，，， 以为直径的圆的半径为，其圆心为的中点. 设点，， 则，，. 因为，，， 所以， 解得， 所以 . （其中，，，） 不妨取，则. 所以当时，取得最大值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求的值； （2）若，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据诱导公式化简，可得，再利用齐次式求解即可； （2）先根据同角三角函数的基本关系求得，，，进而根据两角差的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由， 所以， 则． 【小问2详解】 由（1）可知，，即， 而，则，即， 又，则，即， 而，则， 又，所以， 所以 ， 则． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由正弦型函数图像求周期，算出，代入点坐标求出，得到解析式； (2)根据平移规则写出，零点转化为方程在区间内有个解。换元后结合正弦函数图像，根据交点个数列不等式求范围. 【小问1详解】 由图可知：函数的周期， 又，所以． 又因为，即， 则，即， 由，可知，，所以． 【小问2详解】 依题意可得：， 在区间上有三个零点， 即函数与函数在区间上有三个交点， 令，即与函数在区间上有三个交点， 结合图象可得：， 即有，实数的取值范围为． 17. 已知函数． （1）若的值域为，求实数的取值范围． （2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． （3）设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【小问1详解】 因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． 【小问2详解】 当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 18. 已知中，是角所对的边，且 （1）求角； （2）若是的角平分线，的面积为，，求的长度； （3）若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积定义和正弦定理把边化为角，再结合和角公式进行化简，最后结合三角形内角范围得出角； （2）根据，结合面积公式和余弦定理求出，代入面积公式即可求解； （3）设，，利用余弦定理建立关系式，再借助均值不等式即可求出的最小值. 【小问1详解】 因为，则， 由正弦定理可得， 即， 由两角和的正弦公式，得， 因为，所以，则， 因为在中，，所以，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 因为，由（1）得，所以． 因为中，， 即，得． 因为， 即， 所以． 【小问3详解】 因为，，所以为等边三角形，即， 设，则，， 所以在中，由余弦定理， 设，，代入上式得：， 整理得：， 由于，故， 所以，当且仅当时等号成立，此时满足题意， 所以的最小值为． 19. 已知． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若 ，求实数a的取值范围； （3）证明： 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2） （3）令， ． 由（2）可知，当时，， 则.所以 ． 因为，所以在上单调递增，所以， 即． 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合函数单调性求解即可. （2）构建新函数，利用局部保号性可求参数的取值范围. （3）构造，根据函数的导数以及单调性证明即可. 【小问1详解】 已知， 则． 令，即，则， 因为，所以，即，解得． 当时，，则，即， 所以在上单调递减． 当时，，则，即， 所以在上单调递增． 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 已知，由可得， 设，则， 若，则，故存在，使得，， 故在上为减函数，故，总有，矛盾； 故， 而当时，， 设，则 ， 故在为增函数，故即， 故即原不等式成立. 综上，， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届名校大联盟·高三月考卷（二） 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将弥封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：三角函数及解三角形、平面向量（70%），滚动前面内容（30%）． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 3. 已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（ ） A. 第一象限角或第二象限角 B. 第二象限角或第三象限角 C. 第三象限角或第四象限角 D. 第二象限角或第四象限角 6. 把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 8. 已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（ ） A. 677 B. 1354 C. 2027 D. 4054 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 10. 函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 是的极小值点 C. 当时，函数有个零点 D. 不等式的解集为 11. 在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为等边三角形，则其布洛卡角 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则 ______. 13. 已知函数的一个零点是，则的最小值是_______． 14. 已知如图所示的爱心由两个半圆和线段，组成，两个半圆分别以正方形的边，为直径．若正方形的边长为，点在上，且，，，则的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求的值； （2）若，，且，求的值． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有三个零点，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）若的值域为，求实数的取值范围． （2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． （3）设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知中，是角所对的边，且 （1）求角； （2）若是的角平分线，的面积为，，求的长度； （3）若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，求的最小值． 19. 已知． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若 ，求实数a的取值范围； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $