陕西省洛南中学2027届高三第一学期第二次模拟数学试题

陕西省洛南中学 2026—2027学年度第一学期第二次模拟考试 高三数学试题 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（  ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 3．已知x，y为实数，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．若，则（  ） A． B． C． D． 5．若，则（  ） A． B． C． D． 6．函数的零点个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（  ） A．， B．， C．， D．， 8．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数在处取得极值，则（   ） A． B．有极大值，且极大值大于 C．的单调递增区间为 D．不等式的解集为 11．已知，函数，若恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12．若，则的最小值为________． 13．设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 14．已知，其中，均为锐角，则的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． (1)若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； (2)若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与期望． 16．（15分）已知分别为△ABC三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，且△ABC的面积为，求的值. 17．（15分）如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，，，. (1)求证：； (2)若，E为CD的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，证明：． 19.（17分）已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，椭圆上动点满足点到点的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为. (1)求该椭圆的标准方程； (2)如图，过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上； (3)在(2)的条件下，求的最大值. （提示：若两条直线斜率分别为、，则这两条直线的夹角满足） 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度第一学期第二次模拟 高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 6 选项 B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 选项 AD BCD ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2√万 13. [2,+oo) 14. 4 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本题满分13分) 解：(1)记“甲、乙各进行1次定点投篮，两人至少有一人投篮命中”为事件A. (方法-)P)=(1-号)×号+2×(1-号)+号×号-8 36 …5分 (方法二：间接法)P(4)=1-(1-号)×(1-号)=8 …5分 (2)X的可能取值为0,1,2,3， 6分 P(x=0)=(1-2)×(1-号)°=-8 …7分 P(x=1)=2×(1-号)+(1-2)×号×(1-)×2=8 …8分 PX=2)=2×号×(1-)x2+(1-2)x×()°-， …9分 10分 答案第1页共5页 故X的分布列如下： X 0 1 3 P 5 4 18 11分 EX0)=0+1×+2xg+x号- 13分 16.(本题满分15分) 【详解】（1)由acosC+√3 asinC-b-c=0又及正弦定理，得sinAcosC+√3 sinAsinC-sinB-sinC=0, 因为△ABC中B=元-(A+C),…2分 所以sinAcosC+V3 sin AsinC-sin(A+C)-sinC=V3 sin AsinC--sin Ccos A--sinC=0,…4分 血丁血C0,所以5n4-w4=2s4-君}-，即m4-君)分 …7分 又0<A<πA=亚」 …8分 3 (2)由题意可知S=bcsind=5,解得bc=4,…10分 根据余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A,即4=(b+c2-3bc,…13分 解得b+C=4.… …15分 17.(本题满分15分) (1)证明：过点A作AF垂直于CB的延长线于点F(图略).…2分 ,平面ABC⊥平面DBC,平面ABC∩平面DBC=BC,AFC平面ABC,AF⊥BC, AF⊥平面DBC,… …3分 AFBD................................................. …4分 BD⊥AB,AB∩AF=A,BD⊥平面ABC,…6分 BD⊥AC.… …7分 (2)解：由(1)知BD⊥BC.如图，以B为原点，BD所在直线为x轴， BC所在直线为y轴，垂直于平面BCD的直线为之轴建立空间直角 坐标系，…8分 则B(0,0,0),A(0,-1,3),D(2,0,0),E(1,1,0), ∴.BD=(2,0,0),BA=(0,-1,N3),AE=(1,2,-√3).…10分 设平面ABD的法向量为n=(x,y,之)， 答案第2页共5页 n·BD=2.x=0, 则 令y=√3，解得之=1，.n=(0,W3,1).…12分 n·BA=-y十3x=0, 记直线AE与平面ABD所成的角为0，则sng=1cos（m,A应)1=n·应 √3 AE 2×22 √6 8 …15分 18.(本题满分17分) 1）当a=2时，f-2,f国-2-24e1-2 (e) =e,…2分 f'(-1)=3e,f(-1)=-e,y+e=3e(x+1),整理为3ex-y+2e=0 所以曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为3x-y+2e=0.…4分 (2)f()=a-e-(ax+a-eL-) (e)2 ex’ …5分 当a=0时，f'(x)=e>0,所以f(x)在R上单调递增，…6分 当a>0时，=0，得x=司 )>0,得x< ,f<0,得x> 函数的单调递增区间是o,a 1 函数的单调递减区间口， …8分 当a<0时，了倒=0，得=石八0，得x>分f()<0,得x<日 的数的单调这州区间是仁四) 函数的单调递减区间是（一。）】 …10分 综上可知，当a=0时，函数的单调递增区间是(-o,+∞)，没有减区间； 当a>0时，单调递增区间是 a 函数的单润送诚区何后树片 1 当a<0时，单调递增区间是 函数的单调递减区间是-，。 …11分 3)由(2)可知，a>0时，f)的最大值为日)号 要证明不等式水女成立，只需证明/日)女，即← 1.a 2,…12分 ea 答案第3页共5页 价钱化为e≥名令宝>0，即6>21，D0,o4 a 构造函数g()=c-21,g'()=e-2=0,得t=ln2, 当te(0,ln2),g(t)<0,g()单调递减，当te(ln2,+o),g'(t)>0,g(t)单调递增， 所以g(t的最小值为g(n2)=2-2n2>0, 所以g)=e-21>0,1>0恒成立，所以不等式f(y<)2恒成立.…17分 19.（本题满分17分) (1)解：因为点P到点F,的距离的最大值为3，所以a十c=3. 又e=-，所以a=2c=1.由a=十c,得6=. 所以该椭圆的方程为+号-1. …4分 3 (2)证明：设直线l:x=my+1. x=my+1, 由2+号=1.消去x可得3my+1+4=12, 4 3 整理可得(3m2十4)y2十6my一9=0，…6分 显然△>0. M 设M(x1,y1),N(x2y2), 6m 9 则y1十y2= 3m2+4y1y:=一3m2+4: …7分 直线M1:y十2c+2,直线NAy=当 Z2-2x-2）…8分 、将两直线方程联立可得x一2=千2x十2，即之 x-2y1(x2-2)' …9分 代入x=my十1，可得+2=y(my+3》_myy十3 x-2y1(my2-1)my1y2-y1 …10分 因为y:=2(y十y),代人上式，可得+号 20y1十y2)+3y2 33+3 x-2 -=3 2y1十y2)-y 3 2y1+2y2 11分 所以x=4,所以点T在定直线x=4上. …12分 答案第4页共5页 (3)解：设T(4,t),t∈R 因为A1(-20,A,(2,0,所以n,=合n, t 2· …13分 设∠A1TA2=0, 由两直线的夹角公式得tan0= 264t 1+.t =4 =2+12 12· …15分 2·6 12l+ 由基本不等式可得1+将≥45，当且仅当=2时，等号成立。 …16分 因为0∈(0，)，且函数y=tan0在(0，)上单调递增， 所以(an0)= 号，即0=否，即∠A,TA,的最大值为答 …17分 答案第5页共5页