陕西西安市创新港中学2026-2027学年高三上学期第三次大练习数学试卷

创新港中学 2027届高三第三次大练习 数学试题 本试卷共四道大题，满分150分。 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1. （5分）已知复数，则（　　） A. B. 2 C. D. 5 2. （5分）设集合，，则（　　） A. B. C. D. 3. （5分）若点为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. （5分）图1为元代瓷器白地褐彩龙凤纹罐，高约为。把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成，如图2。圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（　　） A. B. C. D. 图1 瓷器原图 图2 圆台拼接模型 5. （5分）如图3，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱。假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人。若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（　　） A. 32种 B. 24种 C. 20种 D. 16种 图3 空间站主体结构示意图 6. （5分）记为等比数列的前项和，若，，则（　　） A. 120 B. 85 C. D. 7. （5分）若，则（　　） A. B. C. D. 8. （5分）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（　　） A. B. C. 1 D. 9 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 每小题有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9. （6分）已知一组数据、、、的平均数为3，方差为4。令（），则下列说法正确的是（　　） A. 数据、、的平均数为5 B. 数据、、的方差为8 C. D. 原数据补入3后，方差为 10. （6分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列说法正确的是（　　） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 的最大值为9 D. 的最小值为4 11. （6分）已知数列满足，，记为其前项和，则对任意正整数，下列说法正确的是（　　） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. （5分）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为______。 13. （5分）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为______。 14. （5分）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形。在图4所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为______。 图4 勒洛三角形及弧上的动点 四、解答题（共5小题，共77分） 第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分）某校从甲、乙两组共5名学生中随机选出3名参加科技展示，其中甲组3名、乙组2名，每种选法等可能。 （1）求选出的3名学生中恰有2名来自甲组的概率。 （2）设随机变量表示选出的3名学生中来自甲组的人数，求的分布列和数学期望。 16. （15分）如图5，在四棱锥中，，底面为直角梯形，为边上的点，，，，。 图5 四棱锥S—ABCD （1）证明：。 （2）求平面与平面的夹角的余弦值。 17. （15分）在中，内角、、的对边分别是、、，且。 （1）求角的大小。 （2）若点满足，且，求面积的最大值。 18. （17分）过圆：上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足。 （1）求动点的轨迹的方程。 （2）过点且斜率不为0的动直线与相交于、两点，的中点为。 ①证明：直线与的斜率之积为定值。 ②求面积的最大值。 19. （17分）已知函数。 （1）当时，求在点处的切线方程。 （2）若时，恒成立，求实数的取值范围。 （3）当时，若是在的零点，比较与的大小，并证明你的结论。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 创新港中学 2027届高三第三次大练习 数学试题 参考答案与解析 一、选择题参考答案 表1 选择题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A C B D C C D ACD ABC ACD 二、逐题解析与参考评分 解答题评分为参考细则，等价方法可按相应步骤给分。 1. （5分） 答案：D。，故。 2. （5分） 答案：A。由，得，因此，注意不属于。 3. （5分） 答案：C。将点代入抛物线方程，得。抛物线焦点为，准线为。由抛物线定义，。 4. （5分） 答案：B。每个圆台高，上下底半径分别为、，所以总容积为 5. （5分） 答案：D。甲、乙只能同在安排3人的天和核心舱或安排2人的问天实验舱。若同在天和核心舱，从其余4人中选1人进入该舱，再从剩余3人中选2人进入问天实验舱，共种。若同在问天实验舱，再从其余4人中选3人进入天和核心舱，共种。因此共有种。 6. （5分） 答案：C。设公比为。由知，按每两项分组，得 令，则，所以。又，故。因此 7. （5分） 答案：C。由，展开原等式并移项，得 上式中，否则正弦和余弦同时为0，不可能。因此。 8. （5分） 答案：D。由是奇函数，得、。原关系取，得，从而。故、。又由关于的奇对称性，得 这些半整数处的函数值按上述四项循环，因而 9. （6分） 答案：A、C、D。线性变换后的平均数为，方差为，故A正确，B错误。由方差公式，得 故C正确。在原数据中加入一个3后，平均数仍为3，离均差平方和仍为，因此新方差为，D正确。 10. （6分） 答案：A、B、C。椭圆半长轴、半短轴、半焦距，故离心率为，A正确。由椭圆定义，三角形周长为，B正确。又 在短轴端点取等号，故C正确。设，则 在短轴端点取等号，最小值为，D错误。 11. （6分） 答案：A、C、D。由递推关系及可知各项均为正，取倒数得 因此倒数数列的公差为，，A正确，B错误。又 故C正确。对，令，则，且。取，得到，累加得 故D正确。 12. （5分） 答案：12。。 13. （5分） 答案：。令，零点问题等价于有两个不同的正根。根的积为，所以只需判别式大于0且根的和为正，即 14. （5分） 答案：。弧的圆心为，所以。由向量数量积公式，得 因，所求范围为，端点分别在、时取得。 15. （13分） （1）从5人中选3人的等可能选法数为。【2分】 恰有2人来自甲组的选法数为。【2分】 　【1分】 （2）随机变量的可能取值为、、。【1分】 　【1分】 　【1分】 　【1分】 表2 随机变量X的分布列　【2分】 1 2 3 　【2分】 16. （15分） （1）以为原点，、、的方向分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系。由题意， 　【2分】 　【2分】 所以；又，得。 因，所以。【2分】 （2）平面内有、，可取其一个法向量为 　【2分】 平面内有、，可取其一个法向量为 　【3分】 设两平面的夹角为，则 　【4分】 17. （15分） （1）由正弦定理，将已知等式转化为 　【2分】 交叉相乘，整理得 　【2分】 因为，所以。【1分】 （2）由，得 　【2分】 利用、，得 　【3分】 　【2分】 　【2分】 等号当且仅当时成立，此时、、，满足原式分母不为0。因此最大面积为。【1分】 18. （17分） （1）设、、，由，得 　【2分】 代入，并注意反向变换可遍历原圆上的点，故轨迹方程为 　【2分】 （2）①设：（），、。代入椭圆方程，得 　【2分】 由韦达定理及中点坐标公式，得 　【2分】 　【2分】 ②由、为两个不同交点，知 　【1分】 利用，三角形面积为 　【2分】 令，则 　【2分】 当，即时取等号，满足交点条件。因此面积的最大值为3。【2分】 19. （17分） （1）当时，。【1分】 　【1分】 因此切线方程为。【1分】 （2）令。若对恒成立，由，必有右导数，所以 　【2分】 反之，当时，对有，且、。【2分】 　【1分】 因此所求范围为。【1分】 （3）结论：。下面证明。 　【2分】 所以在上严格递增。因，且趋于时趋于，故正零点存在且唯一。【2分】 当时，，所以在上严格递减，从而 　【2分】 又、，得，因此，结论成立。【2分】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $创新港中学2027届高三第三次大练习 数学试题 本试卷共四道大题，满分150分。 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.(5分)已知复数z=1-2i,则z·元=() A.-4i B.2 C.5 D.5 2.(5分)设集合M={xx2-6x-7<0},N={-1,0,1,2},则MnN=() 的 A.0,1,2} B.{-1,0,1 C.0,1} D.1,2 3.(5分)若点P(xo,42)为抛物线y2=8x上一点，则点P到其焦点的距离为() 如 A.2 B.4 C.6 D.8 型 4.（5分)图1为元代瓷器白地褐彩龙凤纹罐，高约为30c。把该瓷器看作两个相同的 圆台拼接而成，如图2。圆台的上底直径约为20cm,下底直径约为40cm,忽略其壁厚， 长 则该瓷器的容积约为（) ☒ A.42007cm3 B.7000mcm3 C. 8400πcm3 D.14000mcm3 20cm 蜜 30 cm 40 cm 图1瓷器原图 图2圆台拼接模型 5.（5分)如图3，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱。 假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名航天员开展实验，其中天和核心舱 安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人。若安排甲、乙两人同时在一个 舱内做实验，则不同的安排方案共有() A.32种 B.24种 C.20种 D.16种 梦天实验舱 问天实验舱 天和核心舱 图3空间站主体结构示意图 第1页，共4页 6.（5分)记Sn为等比数列{a4}的前n项和，若S4=-5,S6=21S2,则S8=() A.120 B.85 C.-85 D.-120 7.(5分)若sin(a+B)+cos(a+)=2V2cos(a+孕sinB,则() A.tan(a-B)=1 B.tan(a+B)=1 C.tan(a-B)=-1 D.tan(a+B)=-1 8.(5分)若定义在R上的函数x)满足fx+1)+x-1)=2),fx+1)是奇函数， 伯=1，则12马)=() A.-9 B.-1 C.1 D.9 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 的 每小题有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.(6分)已知一组数据x1、、、x10的平均数为3，方差为4。令y=2x-1(i= 如 1,2,.,10),则下列说法正确的是( ) 业 A. 数据y,、…、y,n的平均数为5 B.数据y,、、y,n的方差为8 长 C.1x2=130 D原数据补入3后，方差为号 ☒ 10.(6分)已知椭圆 买+苦=1的左、右焦点分别为P、F,P为椭园上异于长轴端点的 4 新 动点，则下列说法正确的是() 拓 A. 精题的离心率为号 B.△PF1F的周长为6+2V5 蜜 御 C.IP·PF的最大值为9 D.PF·PF的最小值为4 11.(6分)己知数列{4}满足a1=1,a+1= 2an, an+3 记Sn为其前n项和，则对任意正整数n, 下列说法正确的是() A.an= B.数列是公差为1的等差数列 +1 2 空 1 C.∑=1a4k+1= n+2 D.S 2In(n+1) 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12.（5分)已知等差数列{4}的首项a1=-3,公差d=2,则该数列的前6项和为 13.(5分)已知函数x)=3a-4e-2-9e2-x有两个零点，则实数a的取值范围为 第2页，共4页 14.（5分)勒洛三角形是一种典型的定宽曲线：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长 为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形。在 图4所示的勒洛三角形中，已知AB=2,P为弧4AC（含端点)上的一点，则B亚.CP的范 围为 0 1 y P 的 图4勒洛三角形及弧上的动点 四、解答题（共5小题，共77分) 如 第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 业 15.（13分)某校从甲、乙两组共5名学生中随机选出3名参加科技展示，其中甲组3 长 名、乙组2名，每种选法等可能。 ☒ (1)求选出的3名学生中恰有2名来自甲组的概率。 (2)设随机变量X表示选出的3名学生中来自甲组的人数，求的分布列和数学期望。 杯 16.(15分)如图5，在四棱锥S-ABCD中，SA1平面ABCD,底面ABCD为直角梯形， 童 E为BC边上的点，AB1BC,AD I BC,SA=AD=2,AB=BE=号EC=1。 D 空 E B 图5四棱锥S一ABCD (1)证明：DE1平面SAE。 (2)求平面SBC与平面SCD的夹角的余弦值。 第3页，共4页 17.(15分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、C,且m+m C sinA-sinc a-6 (1)求角B的大小。 (2)若点D满足AD=2DC,且BD=2,求△ABC面积的最大值。 18.（17分)过圆O:x2+yP=9上的动点M向x轴作垂线，垂足为D,动点N满足D= 2M. (1)求动点W的轨迹E的方程。 (2)过点P(-4,O)且斜率不为0的动直线1与E相交于A、B两点，AB的中点为Q。 ①证明：直线1与OQ的斜率之积为定值。 5 ②求△OAB面积的最大值。 19.（17分)已知函数x)=e2x-n(x+1)-1。 (1)当k=1时，求x)在点(0，f0)处的切线方程。 如 (2)若x≥0时，x)≥x恒成立，求实数k的取值范围。 拉 (3)当k>2时，若x是fx)在(0，+∞)的零点，比较x)与，的大小，并证明你的结论。 长 第4页，共4页创新港中学2027届高三第三次大练习 ! 数学试题 参考答案与解析 一、选择题参考答案 表1选择题参考答案 题号 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 A C B D C D ACD ABC ACD 二、 逐题解析与参考评分 的 解答题评分为参考细则，等价方法可按相应步骤给分。 1.(5分) 答案：D。三=1+2i,故z·元=(1-2)(1+21)=1+4=5。 型 2.(5分) 长 答案：A。由x2-6x-7=(x+1)(x-7)<0,得M=(-1,7),因此MnN={0,1,2}, 注意-1不属于M。 ☒ 3.(5分) 新 答案：C。将点P代入抛物线方程，得x=4。抛物线焦点为F(2,0),准线为x=-2。由 杯 抛物线定义，PF=4+2=6。 童 御 4.(5分) 答案：B。每个圆台高h=15cm,上下底半径分别为r=10cm、R=20cm,所以总容积 为 7-2.(R1R1)-2.1(0120110)-700m 5.(5分) 答案：D。甲、乙只能同在安排3人的天和核心舱或安排2人的问天实验舱。若同在天 和核心舱，从其余4人中选1人进入该舱，再从剩余3人中选2人进入问天实验舱，共 CC=12种。若同在问天实验舱，再从其余4人中选3人进入天和核心舱，共C=4种。 因此共有12+4=16种。 第1页，共6页 6.(5分) 答案：C。设公比为q。由S4=-5知S,≠0，按每两项分组，得 S6=S(1+q+q)=21S2 令t=q≥0，则P+t-20=0,所以t=4。又S4=S2(1+)=-5,故S2=-1。因此 S8=S2(1+t++f)=-(1+4+16+64)=-85 7.(5分) 答案：C。由2W2cos(a+sinB=2(cosa-sin)sinb,展开原等式并移项，得 (sina+cosa)cosB-(cosa-sina)sinB =0 sin(a-B)+cos(a-B)=0 的 上式中cos(a-B)≠0，否则正弦和余弦同时为0，不可能。因此tan(a-B)=-1。 家 8.(5分) 答案：D。x+1)是奇函数，得1)=0、2)=-0)。原关系取x=1,得f0)=0, 型 从而2)=0。故机x+2)=)、x+4)=)。又由关于x=1的奇对称性，得 长 3=1,府=-13=-1,3=1 ☒ 这些半整数处的函数值按上述四项循环，因而 新 伞 9.(6分) 蜜 御 答案：A、C、D。线性变换后的平均数为2×3一1=5，方差为22×4=16，故A正确， B错误。由方差公式，得 1 o ∑x-=4-=1B0 1= i=1 故C正确。在原数据中加入一个3后，平均数仍为3，离均差平方和仍为10×4=40， 因此新方差为，D正确。 10.(6分) 答案：A、B、C。椭圆半长轴a=3、半短轴b=2、半焦距c=5,故离心率为5，A正 确。由椭圆定义，三角形周长为2a+2c=6+2V5,B正确。又 Prl-P1≤PI+1P吗=9 2 第2页，共6页 在短轴端点取等号，故C正确。设P(x,y),则 PF·PF=x2+y2-5= 2-1≥-1 在短轴端点取等号，最小值为-1，D错误。 11.(6分) 1 答案：A、C、D。由递推关系及a1>0可知各项均为正，取倒数得 111 a+1a+ 因此倒数数列的公差为，之=士，A正确，B错误。又 11 架 a4a+1=K+10k+万=4k++) 蜘 图 故C正确。对t>0, 令8(0=ln(1+0-本则g0=F>0,且g(0)=0。取t= 长 得到<h， 累加得 ☒ 。>，12>1iE=21nn+D 斯 故D正确。 拓 12.(5分) 蜜 御 答案：12。S=6×(-3)+学×2=12 13.(5分) 答案：(4，+0)。令t=e-2>0,零点问题等价于4P-3t+9=0有两个不同的正根。 根的积为>0，所以只需判别式大于0且根的和为正，即 空 3a 9r-144>0,4>0台a>4 1 14.(5分) 答案：[O,2]。弧AC的圆心为B,所以IBPI=IBC=2。由向量数量积公式，得 BP.Cp=BP.(BP-BC)=ICPP-ICP ICPP 因0≤ICP川≤2，所求范围为[0,2]，端点分别在P=C、P=A时取得。 第3页，共6页 15.(13分) (1)从5人中选3人的等可能选法数为C=10。【2分】 、 恰有2人来自甲组的选法数为CC=6。【2分】 p=8= 【1分】 (2)随机变量x的可能取值为1、2、3。【1分】 P(X=1)= 【1分】 PK=2)= 【1分】 r=列等-吉 【1分】 架 表2随机变量X的分布列 【2分】 X 2 3 P 3 3 1 10 -5 B0=1×言+2×+3x品=号 10 【2分】 长 16.(15分) (1)以A为原点，AB、AD、AS的方向分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系。由 ☒ 题意， 数 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,3,0) 年 D(0,2,0),E(1,1,0),S(0,0,2)【2分】 童 御 D2=(1,-1,0),A亚=(1,1,0)，DE·AE=0【2分】 所以DE1AE;又SA1平面ABCD,得DE L SA。 因SA∩AE=A,所以DE1平面SAE。【2分】 (2)平面SBC内有BC=(0,3,0)、B示=(-1,0,2)，可取其一个法向量为 元=(2,0,1)【2分】 平面SCD内有CD=(-1,-1,0)、C=(-1,-3,2),可取其一个法向量为 =(1,-1,-1)【3分】 设两平面的夹角为8，则 o0-黑-黑-京-晋 【4分】 第4页，共6页 17.（15分) (1)由正弦定理，将已知等式转化为 a-c 【2分】 交叉相乘，整理得 a2+c2-b2=ac台cosB= a2+c2-b2 =1 2ac 【2分】 因为0<B<π， 所以B=于。 【1分】 (2)由AD=2DC,得 BD=厨+2C 3 【2分】 的 利用BD=2、 cosB=得 36=BA+2BC2=c2+42+2ac【3分】 c2+4a2≥4ac→36≥6ac→ac≤6【2分】 型 Sao=acsing=-号ac≤y 【2分】 长 等号当且仅当c=2a时成立，此时a=v5、c=2v5、b=3,满足原式分母不为0。因此 ☒ 最大面积为 。 【1分】 斯 18.(17分) 拓 (1)设Mu,)、D(u,0)、Nx,y),由D=2☑，得 蜜 御 x-u=2(-),y=2(y-)→u=x,v=y【2分】 代入2+v2=9,并注意反向变换可遍历原圆上的点，故轨迹方程为 公号+号=1【2分】 (2)①设1：y=(x十4)(k≠0)，A(1,y1)、B(2,y)。代入椭圆方程，得 (4+9k)x2+72k2x+144K-36=0【2分】 由韦达定理及中点坐标公式，得 「受 36 【2分】 阳是-意kkg-号红分】 ②由A、B为两个不同交点，知 4=144(4-7)>0→0<R<等【1分】 第5页，共6页 利用y=(x,+4),三角形面积为 S=y2-xy=2-=24到47 【2分】 4+9k2 令t=,则 S=57670=9-e≤9【2分】 (4+9t)2 (4+9t2 当t= 4 23 即大=士忘时取等号，满足交点条件。因此面积的最大值为3。【 2分】 19.（17分) (1)当k=1时，f0)=0。【1分】 的 f)=2e2x-→f0)=1 【1分】 因此切线方程为y=x。【1分】 (2)令g(x)=fx)-x。若g(x)≥0对x≥0恒成立，由g(0)=0,必有右导数g(0)≥0， 所以 业 2-2k≥0→k≤1【2分】 长 反之，当k≤1时，对x≥0有x+1n(1+x)≥0，且e2x≥1+2x、1n(1+x)≤x。 【2分】 g(x)=e2x-1-kx+ln(1+x)]≥2x-[x+n(1+x)]≥0【1分】 因此所求范围为(-o,1]。【1分】 新 (3)结论：f)<xo。下面证明。 杯 御 f0)=2ex-点，6)=4e+>0c>0【2分】 童 所以f(x)在(0，+oo)上严格递增。因f(0)=2-k<0,且x趋于+oo时f(x)趋于+o,故正 零点x存在且唯一。【2分】 1 当0<x<xo时，(x)<0,所以x)在[0，x]上严格递减，从而 f)<0)=0【2分】 又k>2、>0,得>0，因此xo)<,结论成立。 【2分】 第6页，共6页