专题3.3幂函数 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.3 幂函数（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：幂函数的概念与判定、五个常见幂函数的图象与性质、幂函数的单调性、奇偶性与大小比较、待定系数法求解析式； ▲难点：幂函数的奇偶性与单调性判断、含参幂函数的讨论、利用单调性比较幂值大小（构造中间量）． 目录 专题3.3 幂函数（期中复习讲义） 1 知识点1 幂函数的概念 1 【题型1 幂函数的概念判断】 2 知识点2 幂函数的图象与定点 3 【题型2 幂函数的图象与定点】 4 【题型3 求幂函数的解析式（待定系数法）】 5 知识点3 幂函数的性质（单调性与奇偶性） 6 【题型4 幂函数的单调性】 7 【题型5 幂函数的奇偶性】 8 知识点4 幂函数值的大小比较 9 【题型6 幂函数值的大小比较】 10 知识点5 幂函数的综合应用 11 【题型7 幂函数的综合应用（待定系数+性质）】 12 【题型8 含参幂函数的讨论】 13 考点1 幂函数概念 知识点1 幂函数的概念 【重难点】★重点：幂函数的概念 （系数为 、底数为自变量、指数为常数）； ▲难点：幂函数与一般函数（指数函数、一次函数、多项式）的辨析． 1．定义　一般地，函数 （ 为常数）叫做幂函数． 2．结构特征　系数为 ；底数是自变量 ；指数是常数 ．如 （指数型）、（一次）、（多项式）都不是幂函数． 【题型1 幂函数的概念判断】 【例1】下列函数中，是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：幂函数必须是 的形式，系数为 1． A： 是指数函数，指数为自变量 B： 符合 ，是幂函数，正确 C： 多了常数项，不是幂函数 D： 是一次函数，系数不为 1 故选 B． 【变式1-1】下列函数：①；②；③；④．其中是幂函数的有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【解析】判定依据：只有形如 的才是幂函数． A：1 个，漏掉了③ B：①③是幂函数，共 2 个，正确 C：3 个，把④也算了进去 D：4 个，②④都不是幂函数 故选 B． 【变式1-2】若函数 是幂函数，则实数 的值可能是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：幂函数要求系数为 1，即 ． A： 时系数为 3，不是幂函数 B： 时系数为 1、指数为 ，是幂函数，正确 C： 时系数为 3，不是幂函数 D： 时系数为 7，不是幂函数 故选 B． 【变式1-3】已知 是幂函数，且 在 上单调递减，求实数 的值． 【解析】由系数为 得 或 ． 又 在 上单调递减，需指数 ： 时指数为 成立； 时指数为 ， 不递减．故 ． 考点2 幂函数图象 知识点2 幂函数的图象与定点 【重难点】★重点：五个常见幂函数的图象形状及恒过定点 ； ▲难点： 的定义域 与 的定义域 的图象特征． 1．五个常见幂函数　，，，，． 2．定点　所有幂函数 的图象都经过定点 ；当 时还经过 ． 【题型2 幂函数的图象与定点】 【例2】幂函数 的图象一定经过的定点是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据： 对任意 α 都成立． A： 只在 时经过 B：任意 α 都有 ，必过 ，正确 C： 是指数函数 的定点 D：，图象不过 故选 B． 【变式2-1】函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：，被开方数非负． A： 会把负数代进去，无意义 B： 漏掉了 C：，正确 D： 方向错误 故选 C． 【变式2-2】函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【解析】判定依据：，定义域 ． A：，是奇函数，正确 B：，不是偶函数 C：定义域对称且满足奇函数定义，不是非奇非偶 D：既奇又偶需 恒成立，不满足 故选 A． 【变式2-3】关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．是偶函数 C．在 上单调递减 D．图象不过 【解析】判定依据：，定义域为 R． A：定义域是 R，不是 B：，是偶函数，正确 C：在 上递增，不是递减 D：，图象经过 故选 B． 【题型3 求幂函数的解析式（待定系数法）】 【例3】已知幂函数 的图象经过点 ，求 的解析式，并判断其在 上的单调性． 【解析】设 ，由 得 ，故 ，．∵ ， ∴ 在 上单调递增． 【变式3-1】幂函数 经过点 ，则 ______（写解析式）． 【解析】设 ，由 得 ，故 ． 【变式3-2】幂函数 经过点 ，则 ______． 【解析】设 ，由 得 ，故 ． 【变式3-3】已知 是幂函数，求 的值，并写出对应的解析式． 【解析】由系数为 得 或 ． 时，； 时，．均为幂函数． 考点3 幂函数性质 知识点3 幂函数的性质（单调性与奇偶性） 【重难点】★重点：幂函数的单调性与指数 的符号关系、奇偶性的判断； ▲难点：分数指数幂 （既约）时奇偶性的判定（分母 的奇偶性与分子 的奇偶）． 1．单调性　当 时， 在 上递增；当 时，在 上递减． 2．奇偶性　 为整数时按奇偶判断；（ 互质）时， 为奇数时定义域关于原点对称，再由 的奇偶判断； 为偶数时定义域为 ，非奇非偶． 【题型4 幂函数的单调性】 【例4】比较大小： ______ （在横线上填“”或“”）；并说明依据． 【解析】考查 ，它在 上单调递减．∵ ， ∴ （即 ）．填“”． 【变式4-1】比较 与 的大小，并说明理由． 【解析】考查 ，在 上单调递增．∵ ， ∴ ． 【变式4-2】求函数 的单调区间，并判断其单调性． 【解析】 的定义域为 ， 是奇函数，在 上单调递增．故单调递增区间为 ． 【变式4-3】若幂函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 ______． 【解析】幂函数 在 上单调递 减当且仅当 ．故填 （或 ）． 【题型5 幂函数的奇偶性】 【例5】若幂函数 为偶函数，则 的一个可能值为（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据： 为偶函数要求定义域对称且 ． A： 时 是奇函数 B： 时 是奇函数 C： 时定义域 不对称，非奇非偶 D： 时 是偶函数，正确 故选 D． 【变式5-1】函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【解析】判定依据：先看定义域是否对称，再比较 与 ． A：定义域 ，且 ，奇函数，正确 B：，不是偶函数 C：定义域对称且满足奇函数定义，不是非奇非偶 D：既奇又偶需 恒成立，不满足 故选 A． 【变式5-2】下列幂函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：既要奇函数，又要在 上递增． A： 是奇函数，但在 上递减 B： 定义域 ，非奇非偶 C： 是奇函数且在 上递增，正确 D： 是偶函数，不满足奇函数 故选 C． 【变式5-3】已知幂函数 的定义域关于原点对称且为偶函数，写出一个满足条件的 ______（只需写出一个）． 【解析】只要 使幂函数成为偶函数即可， 例如 （此时 为偶函数），或 、 等．答案不唯一， 写出一个即可，如 ． 考点4 幂值大小比较 知识点4 幂函数值的大小比较 【重难点】★重点：利用幂函数的单调性比较同指数幂的大小； ▲难点：底数与指数均不同的幂值比较（构造中间量 、 或化为同指数幂）． 1．同指数幂　比较 与 （ 相同），利用 的单调性． 2．中间量法　与 、 比较，或化为同指数幂（如 ）． 【题型6 幂函数值的大小比较】 【例6】比较 与 的大小，并说明理由． 【解析】考查 ，它在 上单调递增．∵ ， ∴ ． 【变式6-1】比较 与 的大小． 【解析】考查 ，在 上单调递减．∵ ， ∴ ． 【变式6-2】比较 与 的大小． 【解析】考查 ，在 上单调递减．∵ ， ∴ ，即 ． 【变式6-3】设 ，，，比较 的大小． 【解析】；．故 ． 考点5 幂函数综合 知识点5 幂函数的综合应用 【重难点】★重点：用待定系数法求幂函数解析式、含参幂函数的单调性与奇偶性讨论； ▲难点：含参条件下的分类讨论与综合应用． 1．求解析式　设 ，代入已知点求 ． 2．含参讨论　结合“系数恒为 ”与 的符号、奇偶、单调进行分类． 【题型7 幂函数的综合应用（待定系数+性质）】 【例7】已知幂函数 满足 ．求 的解析式，并求 在区间 上的最大值与最小值． 【解析】由 得 ，∴ ． 在 上单调递增，最小值为 ，最大值为 ． 【变式7-1】幂函数 过点 ，则 ______，它在 上______（填“增”或“减”）． 【解析】由 得 ， 故 ；∵ ，∴它在 上递增． 【变式7-2】幂函数 过点 ，求 的解析式，并比较 与 的大小． 【解析】由 得 ，故 ． ，，∴ ． 【变式7-3】设 ，．已知 确定 ， 确定 ，比较 与 的大小． 【解析】由 得 ；由 得 ， 故 ．，， ∴ ． 【题型8 含参幂函数的讨论】 【例8】已知幂函数 ．（1）当 时，判断 的奇偶性并写出单调区间；（2）若 在 上单调递减，求 的取值范围；（3）若 是偶函数，写出一个满足条件的 ． 【解析】（1）当 时， 是奇函数，在 上单调递增（单调区间 ）； （2）若 在 上单调递减，则 ； （3）若 是偶函数，可取 （或 、 等），答案不唯一． 【变式8-1】若幂函数 （）为奇函数且在 上单调递增，则 可以是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据： 时为奇函数且在 递增，需 m 为正奇数． A： 是奇函数，但在 上递减 B： 时为常函数 1，不严格递增 C： 是奇函数且在 上递增，正确 D： 是偶函数，不满足奇函数 故选 C． 【变式8-2】设幂函数 （ 互质，）是偶函数，则其充要条件为 ______． 【解析】（ 互质，） 是偶函数的充要条件为：分母 为奇数（保证定义域关于原点对称）， 且分子 为偶数（保证 ）．即“ 为奇数且 为偶数”． 【变式8-3】已知 是幂函数，且在 上单调递减，求实数 的值． 【解析】由系数为 得 或 ； 又 在 上单调递减，需指数 ．故 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 幂函数（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：幂函数的概念与判定、五个常见幂函数的图象与性质、幂函数的单调性、奇偶性与大小比较、待定系数法求解析式； ▲难点：幂函数的奇偶性与单调性判断、含参幂函数的讨论、利用单调性比较幂值大小（构造中间量）． 目录 专题3.3 幂函数（期中复习讲义） 1 知识点1 幂函数的概念 1 【题型1 幂函数的概念判断】 2 知识点2 幂函数的图象与定点 3 【题型2 幂函数的图象与定点】 4 【题型3 求幂函数的解析式（待定系数法）】 5 知识点3 幂函数的性质（单调性与奇偶性） 6 【题型4 幂函数的单调性】 7 【题型5 幂函数的奇偶性】 8 知识点4 幂函数值的大小比较 9 【题型6 幂函数值的大小比较】 10 知识点5 幂函数的综合应用 11 【题型7 幂函数的综合应用（待定系数+性质）】 12 【题型8 含参幂函数的讨论】 13 考点1 幂函数概念 知识点1 幂函数的概念 【重难点】★重点：幂函数的概念 （系数为 、底数为自变量、指数为常数）； ▲难点：幂函数与一般函数（指数函数、一次函数、多项式）的辨析． 1．定义　一般地，函数 （ 为常数）叫做幂函数． 2．结构特征　系数为 ；底数是自变量 ；指数是常数 ．如 （指数型）、（一次）、（多项式）都不是幂函数． 【题型1 幂函数的概念判断】 【例1】下列函数中，是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数：①；②；③；④．其中是幂函数的有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式1-2】若函数 是幂函数，则实数 的值可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知 是幂函数，且 在 上单调递减，求实数 的值． 考点2 幂函数图象 知识点2 幂函数的图象与定点 【重难点】★重点：五个常见幂函数的图象形状及恒过定点 ； ▲难点： 的定义域 与 的定义域 的图象特征． 1．五个常见幂函数　，，，，． 2．定点　所有幂函数 的图象都经过定点 ；当 时还经过 ． 【题型2 幂函数的图象与定点】 【例2】幂函数 的图象一定经过的定点是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【变式2-3】关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．是偶函数 C．在 上单调递减 D．图象不过 【题型3 求幂函数的解析式（待定系数法）】 【例3】已知幂函数 的图象经过点 ，求 的解析式，并判断其在 上的单调性． 【变式3-1】幂函数 经过点 ，则 ______（写解析式）． 【变式3-2】幂函数 经过点 ，则 ______． 【变式3-3】已知 是幂函数，求 的值，并写出对应的解析式． 考点3 幂函数性质 知识点3 幂函数的性质（单调性与奇偶性） 【重难点】★重点：幂函数的单调性与指数 的符号关系、奇偶性的判断； ▲难点：分数指数幂 （既约）时奇偶性的判定（分母 的奇偶性与分子 的奇偶）． 1．单调性　当 时， 在 上递增；当 时，在 上递减． 2．奇偶性　 为整数时按奇偶判断；（ 互质）时， 为奇数时定义域关于原点对称，再由 的奇偶判断； 为偶数时定义域为 ，非奇非偶． 【题型4 幂函数的单调性】 【例4】比较大小： ______ （在横线上填“”或“”）；并说明依据． 【变式4-1】比较 与 的大小，并说明理由． 【变式4-2】求函数 的单调区间，并判断其单调性． 【变式4-3】若幂函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 ______． 【题型5 幂函数的奇偶性】 【例5】若幂函数 为偶函数，则 的一个可能值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【变式5-2】下列幂函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知幂函数 的定义域关于原点对称且为偶函数，写出一个满足条件的 ______（只需写出一个）． 考点4 幂值大小比较 知识点4 幂函数值的大小比较 【重难点】★重点：利用幂函数的单调性比较同指数幂的大小； ▲难点：底数与指数均不同的幂值比较（构造中间量 、 或化为同指数幂）． 1．同指数幂　比较 与 （ 相同），利用 的单调性． 2．中间量法　与 、 比较，或化为同指数幂（如 ）． 【题型6 幂函数值的大小比较】 【例6】比较 与 的大小，并说明理由． 【变式6-1】比较 与 的大小． 【变式6-2】比较 与 的大小． 【变式6-3】设 ，，，比较 的大小． 考点5 幂函数综合 知识点5 幂函数的综合应用 【重难点】★重点：用待定系数法求幂函数解析式、含参幂函数的单调性与奇偶性讨论； ▲难点：含参条件下的分类讨论与综合应用． 1．求解析式　设 ，代入已知点求 ． 2．含参讨论　结合“系数恒为 ”与 的符号、奇偶、单调进行分类． 【题型7 幂函数的综合应用（待定系数+性质）】 【例7】已知幂函数 满足 ．求 的解析式，并求 在区间 上的最大值与最小值． 【变式7-1】幂函数 过点 ，则 ______，它在 上______（填“增”或“减”）． 【变式7-2】幂函数 过点 ，求 的解析式，并比较 与 的大小． 【变式7-3】设 ，．已知 确定 ， 确定 ，比较 与 的大小． 【题型8 含参幂函数的讨论】 【例8】已知幂函数 ．（1）当 时，判断 的奇偶性并写出单调区间；（2）若 在 上单调递减，求 的取值范围；（3）若 是偶函数，写出一个满足条件的 ． 【变式8-1】若幂函数 （）为奇函数且在 上单调递增，则 可以是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】设幂函数 （ 互质，）是偶函数，则其充要条件为 ______． 【变式8-3】已知 是幂函数，且在 上单调递减，求实数 的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $