专题04 幂函数及函数的应用（一）（知识串讲+热考题型+专题训练）-【备考期中期末】2023-2024学年高一数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019必修第一册）

专题04 幂函数及函数的应用（一） 1.幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. 2.常见的5种幂函数的图象 3.常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 4.常见函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)分式函数模型： (4)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)； (5)分段函数模型 5.函数应用问题解法 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 题型01： 幂函数的概念 【典例1】（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2022秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）下列函数中，，，，是幂函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02： 幂函数的解析式与求值 【典例3】（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式； 【规律方法】 根据已知条件求幂函数的解析式，实际上就是应用待定系数法. 题型03： 求幂（复合）函数的定义域、值域 【典例5】（2023·高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 【典例6】（2023·全国·高一专题练习）函数，其中，则其值域为 . 【规律方法】 求幂函数的定义域，应具体问题具体分析，而对于复合函数，则考虑“换元法”等. 题型04： 根据幂（复合）函数的定义域、值域求参数 【典例7】（2023秋·全国·高一专题练习）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例8】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 题型05： 幂函数图象的辨识及过定点问题 【典例9】（2023·全国·高一专题练习）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 【典例10】（2024·全国·高三专题练习）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【典例11】（2023·全国·高一专题练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【规律方法】 1.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可． 2.幂函数图象过定点（1,1）. 题型:06： 根据幂函数的图象求参数 【典例12】（2023·全国·高一专题练习）函数的图象如图所示，则的值为（    ）    A． B．0 C．1 D．2 【典例13】（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ． 题型07： 确定幂（复合）函数的单调性及其单调区间 【典例14】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列选项中正确的是（    ） A．和在上的单调性相同 B．和在上的单调性相反 C．和在上的单调性相同 D．和在上的单调性相反 【典例15】（2023·全国·高一专题练习）函数的单调减区间为 ； 题型08： 根据幂（复合）函数的单调性求参数 【典例16】（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知幂函数在区间上单调递增，则（    ） A．-2 B．1 C． D．-1 【典例17】（2023·全国·高一专题练习）已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 题型09： 幂函数的奇偶性及其应用 【典例18】【多选题】（2023秋·云南·高一云南省下关第一中学校考阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列