专题4.5 函数的应用（二）期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.5 函数的应用（二）（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】★重点：函数的零点与方程的解、零点存在性定理、用二分法求方程的近似解、指数模型·对数模型·幂函数模型的实际应用； ▲难点：闭区间上零点个数的确定、二分法精度的确定与近似解的求出、增长率与增长量的区分、最小二乘法求回归直线方程． 目录 专题4.5 函数的应用（二）（期中复习讲义） 1 知识点1 函数的零点与方程的解 1 【题型1 函数零点的判断（零点存在性定理）】 2 【题型2 方程根的分布与函数图象】 3 知识点2 用二分法求方程的近似解 4 【题型3 用二分法求方程的近似解】 5 知识点3 函数模型的应用 6 【题型4 指数模型的实际应用】 7 【题型5 对数模型的实际应用】 8 【题型6 幂函数模型与最优化问题】 9 【题型7 最小二乘法与线性回归模型】 10 考点1 函数的零点与方程的解 知识点1 函数的零点与方程的解 【重难点】★重点：函数零点的概念、零点存在性定理及其三个条件（连续、端点函数值异号、区间在定义域内）； ▲难点：不能用零点存在性定理判定零点个数，闭区间上零点个数的确定方法． 1．概念　对于函数，若实数满足，则称是函数的零点．方程的实数根就是函数的零点． 2．零点存在性定理　若在区间上是连续函数，且，则在区间内至少存在一个零点． 3．使用条件　①在上连续；②；③是的定义域的子集． 【题型1 函数零点的判断（零点存在性定理）】 【例1】下列函数中，在区间内存在零点的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据： 且连续，则 内有零点． A：，零点为 ，不在 内 B：，， 故 内有零点，符合题意 C： 在 上最小值为 ，无零点 D： 的零点为 ，不在 内 故选 B． 【变式1-1】函数的零点所在区间可以是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：连续函数在区间端点异号，则区间内有零点． A：，，同号，不能判定 B：，，异号，有零点 C：，，同号 D：，，同号 故选 B． 【变式1-2】若在上是连续函数，且，则在上（　　） A．没有零点 B．至少有一个零点 C．恰有一个零点 D．有两个零点 【解析】判定依据：零点存在性定理只保证「至少一个」零点． A： 说明两端函数值异号，必有零点 B：定理结论为「至少存在一个零点」，正确 C：恰有一个零点需要再加单调性条件，不能保证 D：零点个数可能多于两个，说「两个」不准确 故选 B． 【变式1-3】函数 的零点所在的区间是（　　） 【解析】 在 上连续且单调递增． ，，故零点在 内． A：，，同号 B：，，异号，有零点 C：，，同号 D：，，同号 故选 B． 【题型2 方程根的分布与函数图象】 【例2】已知函数，则的零点个数是（　　） A． B． C． D． 【解析】， 故 处取极大值 ， 处取极小值 ． 极大值大于 0、极小值小于 0，图象与 轴有 3 个交点． A：0 个，与极值符号矛盾 B：1 个，忽略了极大值一侧的零点 C：2 个，三次函数不可能只有 2 个零点 D：3 个，与上述分析一致 故选 D． 【变式2-1】若，则的零点个数是______． 【解析】 在 上连续， ，，故 内有零点； 又 很大时 ，如 ，故 内还有一个零点． 由 知 先增后减，最多两个零点．故零点个数为 ． 【变式2-2】方程的解的个数是______． 【解析】作 与 的图象，由交点个数得解的个数． 时 ， 时 ，是两个解； 当 时， 有 ， 有 ， 故 内还有一个解，共 个解． 【变式2-3】函数的零点为______，其图象与轴交点的横坐标分别是______． 【解析】令 得 ，故 或 ． 所以零点为 和 ；图象与 轴交点的横坐标也是 和 ． 故填 和 ； 和 ． 考点2 用二分法求方程的近似解 知识点2 用二分法求方程的近似解 【重难点】★重点：二分法的基本步骤（找区间、取中点、判号缩小区间）、精度的确定、区间端点的符号判断； ▲难点：由精确度确定二分次数、写出二分过程并给出近似解． 1．基本步骤　①确定精度；②找的区间；③取中点，判断的符号并逐步缩小区间；④重复直到区间长度不超过． 2．二分次数　区间长度不超过需次二分时，． 【题型3 用二分法求方程的近似解】 【例3】用二分法求方程在区间内的近似解（精确度）． 【解析】令 ，则 ，即 就是方程的精确解． 按二分法：，故根所在区间为 ，逐次取中点， 区间左端点始终为 ，长度每步减半，第 7 次后区间长度 ． 故近似解为 （精确度 ）． 【变式3-1】用二分法求方程在内的近似解（精确度）． 【解析】令 ，则 ，． 取中点 ，，故根在 ； 再取 ，，故根在 ； 继续取 、、、、， 第 7 次后区间为 ，长度 ，故近似解约为 ． 【变式3-2】用二分法求方程在内的近似解（精确度）． 【解析】令 ，则 ，． 依次取中点 、、、、、、， 第 7 次后区间为 ，长度 ，故近似解约为 ． 【变式3-3】用二分法求方程在内的近似解（精确度）． 【解析】令 ，则 ，． 依次取中点 、、、、、、， 第 7 次后区间为 ，长度 ，故近似解约为 ． 考点3 函数模型的应用 知识点3 函数模型的应用 【重难点】★重点：指数模型、对数模型、幂函数模型的建立与应用，用模型解决实际问题的基本步骤； ▲难点：增长率与增长量的区别、最小二乘法求回归直线方程并作预测． 1．指数模型　（，），适用于人口增长、细胞分裂、存款复利等问题；注意是增长率而不是增长量． 2．对数模型　（），适用于"随增大而增大但增长越来越慢"的现象，如值、震动强度、响度． 3．幂函数模型　，适用于面积、体积与长度之间的平方或立方关系；幂函数在上单调，取决于指数的符号． 【题型4 指数模型的实际应用】 【例4】某厂某种产品的年产量 （万件）与年广告费 （万元）满足型的增长关系，某种情况下第一年产量为万件，年增长率为，则第三年的产量为______万件． 【解析】第一年产量为 万件，年增长率为 ， 第三年产量为 （万件）．故填 ． 【变式4-1】某种细菌在适宜条件下以倍的速度繁殖，若开始时共有个，则分钟后共有______个． 【解析】每分钟繁殖为原来的 2 倍，10 分钟后的数量为 ． 故共有 个． 【变式4-2】某地区人口今年为万人，按年增长率增长，则年后人口为______万人（用含的式子表示）；若要使人口达到万人，至少需要______年． 【解析】 年后人口为 （万人）． 由 得 ，即 ．故至少需要 年． 【变式4-3】某人现有元，年利率为的按年复利计息，则年后本息和约为______元（结果精确到）． 【解析】按年复利计息，10 年后本息和为 ． ，故约为 元． 【题型5 对数模型的实际应用】 【例5】某种震动强度 （级）与震源到观测点的距离 （千米）近似满足，当时，震动强度为______级． 【解析】当 时，．故震动强度为 级． 【变式5-1】某水厂某种细菌的数量（个）满足，则时细菌有______个；每增加，细菌数量变为原来的______倍． 【解析】当 时，（个）． 增加 1 时， 变为 ， 故细菌数量变为原来的 倍． 【变式5-2】某种商品的价格（元）与日销量（件）近似满足，若日销量不低于件，则价格最高不超过______元． 【解析】由 得 ，故 ，即 ． 由 得 ，又 ，故 ，即价格最高不超过 元． 【变式5-3】某地区某种有毒物质含量 （毫克）与经过时间 （天）近似满足，则时含量为______毫克（结果精确到）． 【解析】当 时，．故含量约为 毫克． 【题型6 幂函数模型与最优化问题】 【例6】一个长方体的体积为，设其长、宽、高分别为、、，则该长方体表面积的最小值是______． 【解析】由 ，表面积 ． 由基本不等式 ， 故 ，当 时取等号，最小值为 ． 【变式6-1】某种商品的销售量 （件）与单价 （元）近似满足，则当单价为元时销售量为______件；单价为元时销售量为______件． 【解析】，当 时 ；当 时 ．故填 ；． 【变式6-2】已知某商品成本（元）与产量（件）满足，售价为元时，生产件可获利______元；售价不变时，每多生产件，利润增加______元． 【解析】利润 ． 当 时 （元）；每多生产 1 件，利润增加 元． 故填 ；． 【变式6-3】某厂每件产品的成本为元，售价为元时每天可售出件，设每天利润为元，则关于的函数关系式是______；当售价为______元时每天利润最大． 【解析】每天利润 （）． 配方得 ，故 时 取最大值 ． 故函数关系式为 ；售价为 元时利润最大． 【题型7 最小二乘法与线性回归模型】 【例7】某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下：加工零件数（个）依次为，加工时间（分）依次为．若与近似呈线性关系，求关于的线性回归方程． 【解析】，．，． ，．故回归方程为 ． 【变式7-1】某班级名学生的身高（单位：cm）与体重（单位：kg）数据如下：身高依次为，体重依次为，求关于的线性回归方程． 【解析】，．，． ， ，故 ． 【变式7-2】某地区年内某种产品的年销量（万件）与广告费（万元）的数据如下：广告费依次为，年销量依次为，求关于的线性回归方程． 【解析】，．，． ，，故 ． 【变式7-3】已知一组数据满足，，且，，则线性回归方程中______． 【解析】由 ，，，，，代入公式 ， 得 ．故填 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题4.5函数的应用 （二) (期中复习讲义) 【人教A版】 【重难点】★重点：函数的零点与方程的解、零点存在性定理、用二分法求方程的近似解、指数棋型·对数 模型幂函数模型的实际应用； ▲难点：闭区间上零点个数的确定、二分法精度的确定与近似解的求出、增长率与增长量的区分、最小二 乘法求回归直线方程。 目录 专题4.5函数的应用（二）（期中复习讲义） 知识点1函数的零点与方程的解 【题型1函数零点的判断（零点存在性定理）】 .2 【题型2方程根的分布与函数图象】… 3 知识点2用二分法求方程的近似解. .4 【题型3用二分法求方程的近似解】 .5 知识点3函数模型的应用. 6 【题型4指数模型的实际应用】 .7 【题型5对数模型的实际应用】 .8 【题型6幂函数模型与最优化问题】 9 【题型7最小二乘法与线性回归模型】 .10 举一反三 年自年年年生年年出自华加自出年出出出出出出华单年装华年年年华 考点1 函数的零点与 1/6 知识点1函数的零点与方程的解 【重难点】★重点：函数零点的概念、零点存在性定理及其三个条件（连续、端点函数值异号、区间在定 义域内)： ▲难点：不能用零点存在性定理判定零点个数，闭区间上零点个数的确定方法. 1.概念对于函数f(x),若实数x满足fx)=0,则称x是函数fx)的零点.方程f(x)=0的实数根就 是函数f(x)的零点. 2.零点存在性定理若f(x在区间[a,b]上是连续函数，且f(a)f(b)<0,则在区间(a,b)内至少存在一 个零点Xo. 3.使用条件①f(x)在[a,b]上连续：②f(a)f(b)<0:③[a,b]是f(x)的定义域的子集. 【题型1函数零点的判断（零点存在性定理）】 【例1】下列函数中，在区间0,1)内存在零点的是() A.f(x)=x2-2x+1 B.f(x)=lgx-x+1 C.f(x)=x3-x+1 D.fx=文-1 【变式1-1】函数f(x)=nx+2x-6的零点所在区间可以是() A.（1,2 B.（2,3) c.(3,4 D.(4,5 【变式1-2】若f(x)在[a,b]上是连续函数，且f(a)f(b)<0,则f(x在[a,b]上( A.没有零点 B.至少有一个零点 C.恰有一个零点 D.有两个零点 【变式1-3】函数 f(x)=x3+x-1 的零点所在的区间是() A.（-1,0) B.(0,1） C.（1,2） D.(2,3） 【题型2方程根的分布与函数图象】 【例2】已知函数fx)=x-3x+1则f(x的季点个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 【变式2-1】若f(x)=lgx-x+2,则f(x)的零点个数是 【变式2-2】方程2=x的解的个数是 2/6 【变式23】函数f(x)=X-4x+3的零点为一，其图象与x轴交点的横坐标分别是 考点2 用二分法求方 知识点2用二分法求方程的近似解 【重难点】★重点：二分法的基本步骤（找区间、取中点、判号缩小区间）、精度的确定、区间端点的符 号判断： ▲难点：由精确度确定二分次数、写出二分过程并给出近似解. 1基本步骤@确定精度s,②找f(afb<0的区间[a,b1:®取中点m=力，判断f(m)的符号并逐 步缩小区间：④重复直到区间长度不超过E. 2.二分次数区间长度不超过需n次二分时， b-ase. 2n 【题型3用二分法求方程的近似解】 【例3】用二分法求方程2*-1=0在区间0,1)内的近似解（精确度0.01）. 【变式3-1】用二分法求方程x2-2x-1=0在(2,3)内的近似解（精确度0.01）. 【变式3-2】用二分法求方程lnx+2x-6=0在(2,3)内的近似解（精确度0.01）. 【变式3-3】用二分法求方程2+3x-6=0在(1,2)内的近似解（精确度0.01）. 3/6 考点3 函数模型的应 知识点3函数模型的应用 【重难点】★重点：指数模型、对数模型、幂函数模型的建立与应用，用模型解决实际问题的基本步骤： ▲难点：增长率与增长量的区别、最小二乘法求回归直线方程并作预测. 1.指数模型y=a(1+r产(a>0,r>0),适用于人口增长、细胞分裂、存款复利等问题；注意r是增 长率而不是增长量。 2.对数模型y=a+blog。x(b>0)，适用于"y随x增大而增大但增长越来越慢"的现象，如pH值、 震动强度、响度、 3.幂函数模型y=ax,适用于面积、体积与长度之间的平方或立方关系；幂函数在(0，+∞)上单调， 取决于指数a的符号， 【题型4指数模型的实际应用】 【例4】某厂某种产品的年产量y（万件)与年广告费x(万元)满足y= 是y=a1+r型的增长关系，某种 情况下第一年产量为10万件，年增长率为20%，则第三年的产量为万件， 【变式4-1】某种细菌在适宜条件下以2倍的速度繁殖，若开始时共有100个，则10分钟后共有 个 【变式4-2】某地区人口今年为50万人，按年增长率2%增长，则x年后人口为 万人（用含x的式子 表示)；若要使人口达到100万人，至少需要年. 【变式4-3】某人现有100元，年利率为2%的按年复利计息，则10年后本息和约为元（结果精确到 0.1). 【题型5、对数模型的实际应用】 【例5】某种震动强度y(级)与震源到观测点的距离X(千米)近似满足y=g100,当x=10时，震动 X 4/6 强度为 级. 【变式5-1】某水厂某种细菌的数量（个）满足y=105-x,则x=3时细菌有个；x每增加1，细菌数 量变为原来的倍。 【变式5-2】某种商品的价格p(元)与日销量y(件)近似满足gy=2-gp,若日销量不低于50件，则 价格最高不超过元. 【变式5-3】某地区某种有毒物质含量y(毫克)与经过时间x(天)近似满足y=100 则x=10 时含量为毫克（结果精确到0.01）. 【题型6幂函数模型与最优化问题】 【例6】一个长方体的体积为8，设其长、宽、高分别为X、y、Z,则该长方体表面积的最小值是 【变式6-1】某种商品的销售量y(件)与单价X(元)近似满足y= 1000 ，则当单价为20元时销售量为 X 件；单价为25元时销售量为，件. 【变式6-2】已知某商品成本y(元)与产量x(件)满足y=100+5x,售价为30元时，生产100件可获利 元；售价不变时，每多生产1件，利润增加元. 【变式6-3】某厂每件产品的成本为20元，售价为x元时每天可售出100-2x件，设每天利润为y元，则y 关于x的函数关系式是；当售价为 元时每天利润最大。 【题型7最小二乘法与线性回归模型】 【例7】某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如 下：加工零件数x(个)依次为1,2,3,4,5，加工时间y(分)依次为2,4,5,8,10.若y与x近似呈线性 关系，求y关于X的线性回归方程. 5/6 【变式7-1】某班级5名学生的身高（单位：c)与体重（单位：kg)数据如下：身高x依次为 160,165,170,175,180:体重y依次为55,60,65,70,78：求y关于x的线性回归方程，」 y=bx+a 【变式7-2】某地区4年内某种产品的年销量y(万件)与广告费x(万元)的数据如下：广告费x依次为 1,2,3,4,年销量y依次为210,230,250,270，求y关于x的线性回归方程. 【变式723】已知一组数据(x,y…,(X,y满足x=2y=3且yXy=46:X=16则线性回归 方程中 b= 6/6