专题1.3 集合的基本运算 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.3 集合的基本运算（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：并集、交集、全集与补集的概念与运算、区间及其运算、集合运算律与德摩根律、容斥原理、集合运算的实际应用； ▲难点：由交并补的等式反推包含关系、含参问题中空集与元素互异性的分类讨论、容斥原理的准确套用、Venn图阴影部分的等价转化． 目录 专题1.3 集合的基本运算（期中复习讲义） 1 知识点1 并集 1 【题型1 并集的概念与运算】 2 【题型2 由并集关系求参数】 3 知识点2 交集 4 【题型3 交集的概念与运算】 5 知识点3 全集与补集 6 【题型4 补集的概念与运算】 7 知识点4 区间及其运算 8 【题型5 区间及其运算】 9 知识点5 集合运算律、容斥原理与综合应用 10 【题型6 集合运算的混合运算与德摩根律】 11 【题型7 容斥原理与Venn图在集合运算中的运用】 12 【题型8 集合运算在实际中的应用】 13 考点1 并集 知识点1 并集 【重难点】★重点：并集的定义与记号，并集的性质（，），求并集时"重复元素只写一次"； ▲难点：由""反推、含参并集问题中元素互异性带来的取值限制． 1．定义　设，是两个集合，把它们的所有元素合在一起组成的集合叫做与的并集，记作． 2．性质　，；；． 3．运算要点　并集结果中的元素必须"去重"；涉及区间时取"并"（即覆盖全部范围的最小区间）． 【题型1 并集的概念与运算】 【例1】已知，，则______． 【变式1-1】已知，，则______． 【变式1-2】下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，，则中元素的个数为______． 【题型2 由并集关系求参数】 【例2】已知，，若，则的值为______． 【变式2-1】已知，，若，则，应满足的关系是______． 【变式2-2】已知全集，，，则______． 【变式2-3】已知集合，满足，，，则______． 考点2 交集 知识点2 交集 【重难点】★重点：交集的定义与记号，交集的性质（，），求交集时只保留公共元素； ▲难点：由""反推、含参交集问题中集合是否为空集的分类讨论． 1．定义　设，是两个集合，由所有属于且属于的元素组成的集合叫做与的交集，记作． 2．性质　，；；． 3．运算要点　交集结果是公共元素组成的集合；涉及区间时取"交"（即公共部分）． 【题型3 交集的概念与运算】 【例3】已知，，则______． 【变式3-1】设，，则______． 【变式3-2】下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，，则中元素的个数为______． 考点3 全集与补集 知识点3 全集与补集 【重难点】★重点：全集的定义，补集的含义与求法，补集的性质（，）； ▲难点：补集的相对性（必须指明全集）、含参补集问题中的范围限制． 1．全集　若集合是某个集合的子集，记作，则称为的全集；全集包含集合中的一切元素． 2．补集　设是一个全集，，由中所有不属于的元素组成的集合叫做在中的补集，记作． 3．性质　；；． 【题型4 补集的概念与运算】 【例4】已知全集，，则______． 【变式4-1】设全集，，则______． 【变式4-2】下列命题中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知全集，，则______． 考点4 区间及其运算 知识点4 区间及其运算 【重难点】★重点：区间的基本形式，，，，区间与集合的相互表示； ▲难点：含端点集合与区间的互化、端点处开闭的处理、三个区间的公共部分（最长左端点与最短右端点）． 1．区间形式　在数轴上表示实数集合时常用区间：，，，，，等． 2．与集合互化　区间是实数集的特例，；不含端点的开区间写作． 3．运算要点　两个区间的并集取"覆盖全段"，交集取"公共部分"；含参时需注意端点处的开闭． 【题型5 区间及其运算】 【例5】已知，，求：(1)；(2)． 【变式5-1】已知，，则______． 【变式5-2】不等式的解集用区间表示为______． 【变式5-3】已知，用区间表示为______． 考点5 集合运算律、容斥原理与综合应用 知识点5 集合运算律、容斥原理与综合应用 【重难点】★重点：集合运算的交换律、结合律、分配律与德摩根律，三集合的容斥原理，集合运算在实际问题中的应用； ▲难点：正确使用德摩根律（否定穿括号）、容斥原理中元素个数与"至少属于一个集合"的对应关系、Venn图阴影部分的等价转化． 1．运算律　；；；． 2．德摩根律　；． 3．容斥原理　；． 【题型6 集合运算的混合运算与德摩根律】 【例6】已知，，，求：(1)；(2)． 【变式6-1】已知，，则=______． 【变式6-2】已知全集，，，则______． 【变式6-3】已知，，，则______． 【题型7 容斥原理与Venn图在集合运算中的运用】 【例7】已知，，三个集合，，，，，，，，则______． 【变式7-1】已知，，三个集合，，，，，，，，则______． 【变式7-2】某班共有名学生，参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，两项都参加的有人，则两项竞赛都没参加的有______人． 【变式7-3】集合，的Venn图中，区域含个元素，区域含个元素，两圆公共部分含个元素，则含______个元素． 【题型8 集合运算在实际中的应用】 【例8】某校高一名学生参加数学竞赛和物理竞赛，已知参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，两项都参加的有人，则两项都没参加的有______人． 【变式8-1】某班名学生中，喜欢数学的有人，喜欢物理的有人，两样都不喜欢的有人，则两样都喜欢的有______人． 【变式8-2】设是某班学生参加数学竞赛的集合，是参加物理竞赛的集合，全班人，两项都参加的有人，只参加数学的有人，只参加物理的有人，则既不参加数学也不参加物理的有______人． 【变式8-3】已知集合，满足，，，则______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 集合的基本运算（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：并集、交集、全集与补集的概念与运算、区间及其运算、集合运算律与德摩根律、容斥原理、集合运算的实际应用； ▲难点：由交并补的等式反推包含关系、含参问题中空集与元素互异性的分类讨论、容斥原理的准确套用、Venn图阴影部分的等价转化． 目录 专题1.3 集合的基本运算（期中复习讲义） 1 知识点1 并集 1 【题型1 并集的概念与运算】 2 【题型2 由并集关系求参数】 3 知识点2 交集 4 【题型3 交集的概念与运算】 5 知识点3 全集与补集 6 【题型4 补集的概念与运算】 7 知识点4 区间及其运算 8 【题型5 区间及其运算】 9 知识点5 集合运算律、容斥原理与综合应用 10 【题型6 集合运算的混合运算与德摩根律】 11 【题型7 容斥原理与Venn图在集合运算中的运用】 12 【题型8 集合运算在实际中的应用】 13 考点1 并集 知识点1 并集 【重难点】★重点：并集的定义与记号，并集的性质（，），求并集时"重复元素只写一次"； ▲难点：由""反推、含参并集问题中元素互异性带来的取值限制． 1．定义　设，是两个集合，把它们的所有元素合在一起组成的集合叫做与的并集，记作． 2．性质　，；；． 3．运算要点　并集结果中的元素必须"去重"；涉及区间时取"并"（即覆盖全部范围的最小区间）． 【题型1 并集的概念与运算】 【例1】已知，，则______． 【解析】由并集的定义知，是同时属于或属于的元素组成的集合． ∵，，∴． 【变式1-1】已知，，则______． 【解析】由得，故；由得或， 故．∴． 【变式1-2】下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：并集是两集合的「扩大」，交集是「缩小」． A： 是 A 的扩大集，不能包含于 A B：由并集定义得 ，正确 C：同理 不成立 D：，方向相反 故选 B． 【变式1-3】已知，，则中元素的个数为______． 【解析】由，，得．∴中元素的个数为． 【题型2 由并集关系求参数】 【例2】已知，，若，则的值为______． 【解析】由知．∵，，∴必须是中的元素， 即．∴或或． 【变式2-1】已知，，若，则，应满足的关系是______． 【解析】∵，，∴要使，须使与之间没有空隙， 即．∴，应满足的关系是． 【变式2-2】已知全集，，，则______． 【解析】∵，，且，∴． 【变式2-3】已知集合，满足，，，则______． 【解析】由知，共有个不同元素． ∵，，，∴，解得． 考点2 交集 知识点2 交集 【重难点】★重点：交集的定义与记号，交集的性质（，），求交集时只保留公共元素； ▲难点：由""反推、含参交集问题中集合是否为空集的分类讨论． 1．定义　设，是两个集合，由所有属于且属于的元素组成的集合叫做与的交集，记作． 2．性质　，；；． 3．运算要点　交集结果是公共元素组成的集合；涉及区间时取"交"（即公共部分）． 【题型3 交集的概念与运算】 【例3】已知，，则______． 【解析】由交集的定义知，是既属于又属于的元素组成的集合． ∵，，∴． 【变式3-1】设，，则______． 【解析】∵，， ∴同时满足与的组成集合．∴． 【变式3-2】下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：交集里的元素同时属于两个集合． A： 是 A 的子集，不能包含 A B： 当且仅当 ，不恒成立 C：由交集定义得 ，正确 D：一般地 故选 C． 【变式3-3】已知，，则中元素的个数为______． 【解析】∵，，∴，元素个数为． 考点3 全集与补集 知识点3 全集与补集 【重难点】★重点：全集的定义，补集的含义与求法，补集的性质（，）； ▲难点：补集的相对性（必须指明全集）、含参补集问题中的范围限制． 1．全集　若集合是某个集合的子集，记作，则称为的全集；全集包含集合中的一切元素． 2．补集　设是一个全集，，由中所有不属于的元素组成的集合叫做在中的补集，记作． 3．性质　；；． 【题型4 补集的概念与运算】 【例4】已知全集，，则______． 【解析】由补集的定义知，是不属于但属于的所有元素组成的集合． ∵，，∴． 【变式4-1】设全集，，则______． 【解析】∵，，∴． 【变式4-2】下列命题中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据： 与 A 无公共元素，二者合起来是全集 U． A：A 与 无公共元素，交集为 ，不是 U B：，不是 C：由补集定义得 ，正确 D：，一般不等于 A 故选 C． 【变式4-3】已知全集，，则______． 【解析】∵，，故；∴． 考点4 区间及其运算 知识点4 区间及其运算 【重难点】★重点：区间的基本形式，，，，区间与集合的相互表示； ▲难点：含端点集合与区间的互化、端点处开闭的处理、三个区间的公共部分（最长左端点与最短右端点）． 1．区间形式　在数轴上表示实数集合时常用区间：，，，，，等． 2．与集合互化　区间是实数集的特例，；不含端点的开区间写作． 3．运算要点　两个区间的并集取"覆盖全段"，交集取"公共部分"；含参时需注意端点处的开闭． 【题型5 区间及其运算】 【例5】已知，，求：(1)；(2)． 【解析】(1)； (2)． 【变式5-1】已知，，则______． 【解析】∵，，∴． 【变式5-2】不等式的解集用区间表示为______． 【解析】由得，∴解集为． 【变式5-3】已知，用区间表示为______． 【解析】∵，∴． 考点5 集合运算律、容斥原理与综合应用 知识点5 集合运算律、容斥原理与综合应用 【重难点】★重点：集合运算的交换律、结合律、分配律与德摩根律，三集合的容斥原理，集合运算在实际问题中的应用； ▲难点：正确使用德摩根律（否定穿括号）、容斥原理中元素个数与"至少属于一个集合"的对应关系、Venn图阴影部分的等价转化． 1．运算律　；；；． 2．德摩根律　；． 3．容斥原理　；． 【题型6 集合运算的混合运算与德摩根律】 【例6】已知，，，求：(1)；(2)． 【解析】(1)∵，∴； (2)∵，∴． 【变式6-1】已知，，则=______． 【解析】∵，，∴． 【变式6-2】已知全集，，，则______． 【解析】∵，，∴． 【变式6-3】已知，，，则______． 【解析】∵，，，∴． 【题型7 容斥原理与Venn图在集合运算中的运用】 【例7】已知，，三个集合，，，，，，，，则______． 【解析】由容斥原理得． 代入得．∴填． 【变式7-1】已知，，三个集合，，，，，，，，则______． 【解析】由容斥原理得．∴填． 【变式7-2】某班共有名学生，参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，两项都参加的有人，则两项竞赛都没参加的有______人． 【解析】∵至少参加一种竞赛的人数为（人）， ∴两项都没参加的人数为（人）．∴填． 【变式7-3】集合，的Venn图中，区域含个元素，区域含个元素，两圆公共部分含个元素，则含______个元素． 【解析】∵区域含个元素，区域含个元素，两圆公共部分含个元素， ∴．∴填． 【题型8 集合运算在实际中的应用】 【例8】某校高一名学生参加数学竞赛和物理竞赛，已知参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，两项都参加的有人，则两项都没参加的有______人． 【解析】∵至少参加一种竞赛的人数为（人）， ∴两项都没参加的人数为（人）．∴填． 【变式8-1】某班名学生中，喜欢数学的有人，喜欢物理的有人，两样都不喜欢的有人，则两样都喜欢的有______人． 【解析】∵至少喜欢一样的人数为（人）， ∴两样都喜欢的人数为（人）．∴填． 【变式8-2】设是某班学生参加数学竞赛的集合，是参加物理竞赛的集合，全班人，两项都参加的有人，只参加数学的有人，只参加物理的有人，则既不参加数学也不参加物理的有______人． 【解析】∵只参加数学的有人，只参加物理的有人，两项都参加的有人， ∴至少参加一项的人数为（人）， ∴既不参加数学也不参加物理的人数为（人）．∴填． 【变式8-3】已知集合，满足，，，则______． 【解析】由得，∴． 2 / 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