专题4.3 对数 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.3 对数（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：对数的概念与对数式、对数的运算性质与换底公式、简单对数方程与对数不等式、对数值的比较与估算； ▲难点：不同底对数式的化简、底数在时不等号方向的改变、对数方程中定义域的取舍． 目录 专题4.3 对数（期中复习讲义） 1 知识点1 对数的概念与对数式 1 【题型1 对数的概念与对数式】 2 【题型2 指数式与对数式的互化】 3 知识点2 对数的运算性质 4 【题型3 对数的运算性质（化简求值）】 5 【题型4 对数式的综合运算】 6 知识点3 对数方程与对数不等式 7 【题型5 简单对数方程】 8 【题型6 简单对数不等式】 9 知识点4 对数的应用与换底公式 10 【题型7 换底公式与对数值的比较】 11 【题型8 对数在实际问题中的应用】 12 考点1 对数的概念与对数式 知识点1 对数的概念与对数式 【重难点】★重点：对数的定义、对数的基本运算记号、指数式与对数式的互化； ▲难点：底数的取值范围（且）、真数必须大于零、与的灵活运用． 1．定义　如果（且，），那么叫做以为底的对数，记作，即． 2．互化　（且，）． 3．基本量　，，（且，）． 【题型1 对数的概念与对数式】 【例1】已知（且），则______． 【变式1-1】若，则______． 【变式1-2】______；______． 【变式1-3】下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D．时 【题型2 指数式与对数式的互化】 【例2】将下列各式改写成对数式：(1)；(2)；(3)． 【变式2-1】将改写成指数式：______． 【变式2-2】已知，则______． 【变式2-3】已知，则______；若，则______． 考点2 对数的运算性质 知识点2 对数的运算性质 【重难点】★重点：对数的乘法、除法、幂的运算性质及加减法中真数同底的前提； ▲难点：把化为、把化为，以及真数为、的幂的特殊值处理． 1．运算性质　；；（）． 2．换底公式　（）；特别地，． 【题型3 对数的运算性质（化简求值）】 【例3】计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)． 【变式3-1】计算：______；______． 【变式3-2】计算：______． 【变式3-3】计算：______． 【题型4 对数式的综合运算】 【例4】化简求值：(1)；(2)；(3)． 【变式4-1】计算：______． 【变式4-2】化简：______． 【变式4-3】已知，，则______，______． 考点3 对数方程与对数不等式 知识点3 对数方程与对数不等式 【重难点】★重点：简单对数方程的解法（同底化为）、简单对数不等式的解法（利用对数函数的单调性）； ▲难点：对数不等式中底数在时不等号方向的改变、定义域的讨论与解集的书写． 1．对数方程　（同底，且）；． 2．对数不等式　时；时不等号方向相反． 【题型5 简单对数方程】 【例5】解下列方程：(1)；(2)；(3)． 【变式5-1】解方程：． 【变式5-2】解方程：． 【变式5-3】解方程：． 【题型6 简单对数不等式】 【例6】解下列不等式：(1)；(2)；(3)． 【变式6-1】解不等式：． 【变式6-2】解不等式：． 【变式6-3】解不等式：． 考点4 对数的应用与换底公式 知识点4 对数的应用与换底公式 【重难点】★重点：换底公式的灵活使用、等常用结论、log值的估算与比较； ▲难点：复杂对数式的化简与求值、与的关系（互为倒数）． 1．常用结论　；（）． 2．化简求值　利用换底公式把不同底的式子化为同底，常以为公共底；注意表示以为底的对数． 【题型7 换底公式与对数值的比较】 【例7】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与． 【变式7-1】比较与的大小． 【变式7-2】比较与的大小． 【变式7-3】比较与的大小． 【题型8 对数在实际问题中的应用】 【例8】某厂某种产品的年产量 （万件）与年广告费 （万元）满足，当时，该厂这种产品的年产量为______万件． 【变式8-1】某种细菌在适宜条件下以倍的速度繁殖，则从个细菌繁殖到个细菌需要______小时（设每小时繁殖一次）． 【变式8-2】某地区人口今年为万人，按年增长率增长，则年后人口为______万人（用含的式子表示）． 【变式8-3】某厂产量从今年的万件起，每年比上一年增长，问至少需要多少年才能使年产量达到万件？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 对数（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：对数的概念与对数式、对数的运算性质与换底公式、简单对数方程与对数不等式、对数值的比较与估算； ▲难点：不同底对数式的化简、底数在时不等号方向的改变、对数方程中定义域的取舍． 目录 专题4.3 对数（期中复习讲义） 1 知识点1 对数的概念与对数式 1 【题型1 对数的概念与对数式】 2 【题型2 指数式与对数式的互化】 3 知识点2 对数的运算性质 4 【题型3 对数的运算性质（化简求值）】 5 【题型4 对数式的综合运算】 6 知识点3 对数方程与对数不等式 7 【题型5 简单对数方程】 8 【题型6 简单对数不等式】 9 知识点4 对数的应用与换底公式 10 【题型7 换底公式与对数值的比较】 11 【题型8 对数在实际问题中的应用】 12 考点1 对数的概念与对数式 知识点1 对数的概念与对数式 【重难点】★重点：对数的定义、对数的基本运算记号、指数式与对数式的互化； ▲难点：底数的取值范围（且）、真数必须大于零、与的灵活运用． 1．定义　如果（且，），那么叫做以为底的对数，记作，即． 2．互化　（且，）． 3．基本量　，，（且，）． 【题型1 对数的概念与对数式】 【例1】已知（且），则______． 【解析】由 及对数定义，得 ．故 ．故填 ． 【变式1-1】若，则______． 【解析】由 及指数式与对数式的互化，得 ．故填 ． 【变式1-2】______；______． 【解析】因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ．故填 ；． 【变式1-3】下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D．时 【解析】判定依据：，． A：，不是 1 B：，不是 C：，故 ，正确 D： 时 ，不是 0 故选 C． 【题型2 指数式与对数式的互化】 【例2】将下列各式改写成对数式：(1)；(2)；(3)． 【解析】(1) 由 得 ． (2) 由 得 ． (3) 由 得 ． 【变式2-1】将改写成指数式：______． 【解析】由 得 ．故填 ． 【变式2-2】已知，则______． 【解析】由 得 ，又 且 ，故 ．故填 ． 【变式2-3】已知，则______；若，则______． 【解析】由 得 ．由 得 ．故填 ；． 考点2 对数的运算性质 知识点2 对数的运算性质 【重难点】★重点：对数的乘法、除法、幂的运算性质及加减法中真数同底的前提； ▲难点：把化为、把化为，以及真数为、的幂的特殊值处理． 1．运算性质　；；（）． 2．换底公式　（）；特别地，． 【题型3 对数的运算性质（化简求值）】 【例3】计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)． 【解析】(1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 【变式3-1】计算：______；______． 【解析】．．故填 ；． 【变式3-2】计算：______． 【解析】， 故原式 ．故填 ． 【变式3-3】计算：______． 【解析】由换底公式，．故填 ． 【题型4 对数式的综合运算】 【例4】化简求值：(1)；(2)；(3)． 【解析】(1) ，故 ． (2) 设 ，则 ，故原式 ． (3) ，故 ． 【变式4-1】计算：______． 【解析】，．故原式 ．故填 ． 【变式4-2】化简：______． 【解析】，，． 故原式 ．故填 ． 【变式4-3】已知，，则______，______． 【解析】由 ， 得 ，故 ． 所以 （不能化为有理数），．故填 ；． 考点3 对数方程与对数不等式 知识点3 对数方程与对数不等式 【重难点】★重点：简单对数方程的解法（同底化为）、简单对数不等式的解法（利用对数函数的单调性）； ▲难点：对数不等式中底数在时不等号方向的改变、定义域的讨论与解集的书写． 1．对数方程　（同底，且）；． 2．对数不等式　时；时不等号方向相反． 【题型5 简单对数方程】 【例5】解下列方程：(1)；(2)；(3)． 【解析】(1) 由 得 ，故 ． (2) 由 得 ，故 ． (3) 由 得 ，又 且 ，故 ． 【变式5-1】解方程：． 【解析】由 得 ，故 ． 检验：，符合题意，故 ． 【变式5-2】解方程：． 【解析】由题意 ，原方程化为 ， 即 ，解得 ，满足 ．故原方程的解为 ． 【变式5-3】解方程：． 【解析】原方程化为 ，即 ，解得 ． 检验： 与 均使 且 ， 故原方程的解为 ． 【题型6 简单对数不等式】 【例6】解下列不等式：(1)；(2)；(3)． 【解析】(1) 原不等式化为 ，解得 ． (2) 由 得 ，故 ． (3) 由 得 ，即 ． 【变式6-1】解不等式：． 【解析】由 得 ， 解得 ，故解集为 ． 【变式6-2】解不等式：． 【解析】底数 ，函数递减，且真数须为正， 故 ，解得 ，故解集为 ． 【变式6-3】解不等式：． 【解析】由 及 递增，得 ，即 ；又真数为正，需 ．故解集为 ． 考点4 对数的应用与换底公式 知识点4 对数的应用与换底公式 【重难点】★重点：换底公式的灵活使用、等常用结论、log值的估算与比较； ▲难点：复杂对数式的化简与求值、与的关系（互为倒数）． 1．常用结论　；（）． 2．化简求值　利用换底公式把不同底的式子化为同底，常以为公共底；注意表示以为底的对数． 【题型7 换底公式与对数值的比较】 【例7】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与． 【解析】(1) ，，故 ． (2) 底数 ，函数递减，由 得 ． (3) ，，故 ． 【变式7-1】比较与的大小． 【解析】，，故 ． 【变式7-2】比较与的大小． 【解析】，． 因为 ，故 ． 【变式7-3】比较与的大小． 【解析】，． 因为 ，所以 ，即 ． 【题型8 对数在实际问题中的应用】 【例8】某厂某种产品的年产量 （万件）与年广告费 （万元）满足，当时，该厂这种产品的年产量为______万件． 【解析】由 得 ，故 ． 当 时 ，故年产量为 万件． 【变式8-1】某种细菌在适宜条件下以倍的速度繁殖，则从个细菌繁殖到个细菌需要______小时（设每小时繁殖一次）． 【解析】每小时繁殖一次， 小时后数量为 个． 由 得 ，故需要 小时． 【变式8-2】某地区人口今年为万人，按年增长率增长，则年后人口为______万人（用含的式子表示）． 【解析】年增长率为 ， 年后人口为 ．故填 ． 【变式8-3】某厂产量从今年的万件起，每年比上一年增长，问至少需要多少年才能使年产量达到万件？ 【解析】 年后的产量为 ，由题意得 ， 即 ．因为 ，，故至少需要 年． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $