专题11 指数、对数函数的复合与综合应用（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题11 指数、对数函数的复合与综合应用 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 指数函数的图像与性质 题型02 指数型复合函数及其应用 题型03 对数函数的图像与性质 题型04 对数型复合函数及其应用 题型05 指数函数的实际应用 题型06 对数函数的实际应用 题型07 指数函数与对数函数的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 图像与基本性质 恒过 、 恒过 ； 增、 减；熟记定义域、值域与底数对图像位置的影响 图像辨识高频选择； 与 的大小直接决定增减方向 复合函数 、 先由真数 定定义域，再按“同增异减”判单调；注意复合后定义域 = 内层值域落在外层定义域内的部分 易在定义域优先、内外层单调性相反上出错 综合应用 用图像交点处理指对方程 / 零点问题；用分离参数处理恒成立、有解；联系复利、半衰期等实际增长模型 解答题小问常见，常与零点、恒成立交汇命题。 知识点01 复合函数的定义域 核心模型： 或 的定义域。 核心法则： · ：需 ； · ： 取全体实数（无限制）； · 或 ：内函数的值落在外函数定义域内。 示例： 求 的定义域。 解：，即 。 易错点： · 易错点总结：只看外层对数真数，忘内层函数本身的限制。 · 注意事项总结：复合函数定义域内外层都要考虑——内层函数自身限制 + 外层对自变量的限制。 知识点02 复合函数的单调性（同增异减） 核心法则：设 ，。 · 内外层单调性相同 → 复合函数增； · 内外层单调性相反 → 复合函数减。 解题三步： 1. 求定义域； 1. 判断内外层各自单调性； 1. “同增异减”定结论。 示例： 求 的单调递增区间。 解： ① 定义域： 或 ； ② 外层 单调递减； ③ 内层 ：在 上递减，在 上递增； ④ 同增异减：外层减，要复合增，需内层减，即 。 易错点： · 易错点总结：忘定义域，把单调区间写到定义域外。 · 注意事项总结：复合函数单调区间必须在定义域内——先求定义域，再谈单调。 知识点03 复合函数的值域 核心方法：换元法——令 ，先求 的范围，再求 的值域。 示例： 求 的值域。 解：令 。 在 上递增，。 值域 。 易错点： · 易错点总结：换元后忘写 的范围，导致值域错。 · 注意事项总结：换元后先求 的范围，再把 当自变量求 的值域。 知识点04 指数方程（同底法与换元法） 核心类型： 类型 解法 同底， 取对数 换元 ，解二次 示例： 解方程 。 解：令 ，方程化为 。 解得 （ 舍），故 。 易错点： · 易错点总结：换元后忘 ，把负根也保留。 · 注意事项总结：换元 必须写 ，最后检验 。 知识点05 对数方程 核心类型： 类型 解法 同底， 且 化指数式 换元 示例： 解方程 。 解：，故 解得 或 。检验： 时 ，舍。故 。 易错点： · 易错点总结：解对数方程忘检验，把使真数为负的根保留。 · 注意事项总结：对数方程必须检验——把根代回真数，真数>0 才是原方程的解。 知识点06 指数不等式 核心方法：化同底，利用单调性。 法则： · ：； · ：。 示例： 解不等式 。 解：，因 ，故 易错点： · 易错点总结：底数<1时不等号方向搞反。 · 注意事项总结：先化同底，再判断底数与1的关系，最后定不等号方向。 知识点07 对数不等式 核心方法：化同底，利用单调性，注意真数>0。 法则： · ：； · ：。 示例： 解不等式 。 解：。 因 ，故 易错点： · 易错点总结：只列不等方向，忘真数>0。 · 注意事项总结：对数不等式三件事：真数>0、不等方向、定义域。 知识点08 含参数的指数对数问题 核心模型：已知方程/不等式有解/恒成立，求参数范围。 核心方法：分离参数 + 求最值。 示例： 若方程 有解，求 的范围。 解：分离参数 。 令 ，。 时 。故 。 示例（恒成立）： 若不等式 恒成立（本题演示思路），需分离参数或分类讨论。 易错点： · 易错点总结：分离参数后忘新变量范围。 · 注意事项总结：分离参数后，先求新函数的值域，再定参数范围。 知识点09 指数对数模型的实际应用 核心模型： · 指数增长：（复利、种群增长）； · 指数衰减：（衰变、折旧）； · 对数模型：（声音、震级）。 解题步骤： 1. 设自变量与因变量； 1. 由已知条件定参数； 1. 代入求值。 示例： 某细胞分裂每 30 分钟一次，由 1 个变 2 个，问多少小时后超过 1000 个？ 解：（ 小时，每小时分裂2次）。 ，，。故约 5 小时后。 易错点： · 易错点总结：单位换算错——30分钟一次 vs 每小时一次。 · 注意事项总结：实际问题先统一时间单位，再列方程。 题型一 指数函数的图像与性质 解｜题｜技｜巧 · （）： · 时单调递增； 时单调递减； · 恒过 ；值域 ； · 时 则 ， 则 。 · 图像变换：平移、翻折（、）。 · 底数大小决定图像陡缓： 越大（），在 区域图像越陡。 易｜错｜点｜拨 · 底数 与1的大小关系决定单调性，讨论遗漏。 · 图像过定点 记错。 · 翻折变换后区间单调性判断错误。 【典例1】函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【典例2】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递增 B．与的图象关于轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 【变式2】已知函数且． (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值； (2)若函数的图象过． ①比较与的大小； ②解不等式：． 题型二 指数型复合函数及其应用 解｜题｜技｜巧 · ： · 定义域由 决定； · 值域：先求 的值域，再由 单调性求值域； · 单调性：同增异减（ 与 单调性同则增，异则减）。 · 复合函数问题拆成内外两层分别处理。 易｜错｜点｜拨 · 内外层单调性”同增异减”方向搞反。 · 求值域时忘记先求内层 范围。 答｜题｜模｜板 1. 拆内层 和外层 ； 2. 求内层范围； 3. 用外层单调性求值域； 4. 用”同增异减”定单调区间。 【典例1】已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 【典例2】已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 【变式1】已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A．， B．的值域为 C．若，则 D．若，且，则 【变式2】已知函数. (1)设的图象恒过点，求点的坐标； (2)试判断的奇偶性，并说明理由； (3)当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 题型三 对数函数的图像与性质 解｜题｜技｜巧 · （）： · 时单调递增； 时单调递减； · 恒过 ；定义域 ； · 与 互为反函数，图像关于 对称。 · 底数大小： 越大（），在 区域图像越平缓。 易｜错｜点｜拨 · 定义域 被忽略。 · 单调性与底数关系搞反。 · 与指数函数图像对称性记错。 【典例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·江西赣州·期中）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．恰有1个零点 【变式1】（25-26高一上·广西南宁·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．当时， C．的解集为 D． 【变式2】函数的最小值为__________． 题型四 对数型复合函数及其应用 解｜题｜技｜巧 · ： · 定义域由 决定； · 值域：先求 的正值范围，再由 单调性求值域； · 单调性：同增异减。 · 含参数讨论底数 和 。 易｜错｜点｜拨 · 忽略 的定义域限制。 · 底数讨论遗漏。 · 复合单调性方向搞反。 答｜题｜模｜板 1. 解 定定义域； 2. 求 在定义域内的值域； 3. 按底数分类讨论单调性； 4. 用”同增异减”定单调区间。 【典例1】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的单调增区间为 B．的图象关于直线对称 C．若的定义域为R，则实数的取值范围 D．若的值域为R，则实数的取值范围 【典例2】（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．有四个零点 【变式1】已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的定义域为，求的取值范围； (3)若的值域为，求的取值范围. 【变式2】已知函数 . (1)求函数的定义域； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； (3)若对任意的，总存在，使得成立， 求实数的取值范围. 题型五 指数函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 · 常见模型： · 指数增长：（复利、人口增长）； · 指数衰减：（半衰期、衰减）。 · 解题关键：读题找初始值、增长率/衰减率，列函数式。 · 半衰期问题：， 为半衰期。 易｜错｜点｜拨 · 增长率与衰减率公式方向搞反。 · 指数单位换算错误（如半衰期）。 答｜题｜模｜板 1. 读题找初始值和增长率； 2. 列指数函数式； 3. 代入数据求解。 【典例1】2025年11月7日，在第十五届全国运动会跳水男子双人10米跳台决赛中，陕西队队员以461.82分的成绩勇夺冠军，为陕西代表团摘得本次全运会首枚跳水金牌.如图是跳水运动员在下降过程中的位置变化示意图，已知运动员入水前后的运动轨迹可分别视为两段高度（单位：）关于水平位移（单位：）的函数，且则下列说法正确的有（  ） A． B． C．最大高度为 D．最大高度差为 【典例2】2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到20~79的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则（    ） A．若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了2个小时 B．4小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 C．5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 D．设小时后，血液中的酒精含量为，则 【变式1】一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某市根据《道路交通法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，则一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过______小时，才能开车.（精确到1小时） 【变式2】某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系 （ 为自然对数的底数，， 为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是 ______ 小时（保留一位小数）. 题型六 对数函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 · 常见模型： · 震级、pH、分贝等对数量表； · 指数模型的反解：已知 求 ，用对数。 · 解题关键：把指数方程两边取对数。 易｜错｜点｜拨 · 取对数时漏项。 · 真数范围忽略。 答｜题｜模｜板 1. 列指数方程； 2. 两边取对数； 3. 解 。 【典例1】声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）．下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍 D．声强级增加，则声强变为原来的倍． 【典例2】溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的值在之间，则下列选项正确的是（    ）（参考数据：取） A．若苏打水的是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升 B．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是 C．若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的是 D．若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用 【变式1】“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 【变式2】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为_________；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是_________. 题型七 指数函数与对数函数的综合应用 解｜题｜技｜巧 · 指对互为反函数： 与 关于 对称。 · 综合题常考： · 指对方程/不等式； · 指对函数交点； · 含参讨论。 · 方法：换元法、图像法、分离参数法。 易｜错｜点｜拨 · 反函数关系记错。 · 含参讨论底数遗漏。 · 指对不等式方向随底数变化。 答｜题｜模｜板 1. 指对互化； 2. 换元化归为代数问题； 3. 分类讨论底数； 4. 结合图像验证。 【典例1】已知函数的图象经过点，． (1)证明：函数的图象是轴对称图形； (2)求关于x的不等式的解集； (3)若函数在区间上有两个零点，求实数m的取值范围． 【典例2】已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【变式1】已知且，函数，． (1)方程的两根为和，且，求a的值； (2)当时，对任意的，都存在，使得，求m的取值范围． 【变式2】已知函数且． (1)若的图象经过点，求的值； (2)若，求的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．已知e是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 3．（25-26高一上·浙江宁波·期中）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 4．(1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的值域. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 2．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 3．（25-26高一下·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 4．（25-26高一上·山东威海·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（    ）（取：） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C． D．无最值 3．已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 4．已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 指数、对数函数的复合与综合应用 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 指数函数的图像与性质 题型02 指数型复合函数及其应用 题型03 对数函数的图像与性质 题型04 对数型复合函数及其应用 题型05 指数函数的实际应用 题型06 对数函数的实际应用 题型07 指数函数与对数函数的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 图像与基本性质 恒过 、 恒过 ； 增、 减；熟记定义域、值域与底数对图像位置的影响 图像辨识高频选择； 与 的大小直接决定增减方向 复合函数 、 先由真数 定定义域，再按“同增异减”判单调；注意复合后定义域 = 内层值域落在外层定义域内的部分 易在定义域优先、内外层单调性相反上出错 综合应用 用图像交点处理指对方程 / 零点问题；用分离参数处理恒成立、有解；联系复利、半衰期等实际增长模型 解答题小问常见，常与零点、恒成立交汇命题。 知识点01 复合函数的定义域 核心模型： 或 的定义域。 核心法则： · ：需 ； · ： 取全体实数（无限制）； · 或 ：内函数的值落在外函数定义域内。 示例： 求 的定义域。 解：，即 。 易错点： · 易错点总结：只看外层对数真数，忘内层函数本身的限制。 · 注意事项总结：复合函数定义域内外层都要考虑——内层函数自身限制 + 外层对自变量的限制。 知识点02 复合函数的单调性（同增异减） 核心法则：设 ，。 · 内外层单调性相同 → 复合函数增； · 内外层单调性相反 → 复合函数减。 解题三步： 1. 求定义域； 1. 判断内外层各自单调性； 1. “同增异减”定结论。 示例： 求 的单调递增区间。 解： ① 定义域： 或 ； ② 外层 单调递减； ③ 内层 ：在 上递减，在 上递增； ④ 同增异减：外层减，要复合增，需内层减，即 。 易错点： · 易错点总结：忘定义域，把单调区间写到定义域外。 · 注意事项总结：复合函数单调区间必须在定义域内——先求定义域，再谈单调。 知识点03 复合函数的值域 核心方法：换元法——令 ，先求 的范围，再求 的值域。 示例： 求 的值域。 解：令 。 在 上递增，。 值域 。 易错点： · 易错点总结：换元后忘写 的范围，导致值域错。 · 注意事项总结：换元后先求 的范围，再把 当自变量求 的值域。 知识点04 指数方程（同底法与换元法） 核心类型： 类型 解法 同底， 取对数 换元 ，解二次 示例： 解方程 。 解：令 ，方程化为 。 解得 （ 舍），故 。 易错点： · 易错点总结：换元后忘 ，把负根也保留。 · 注意事项总结：换元 必须写 ，最后检验 。 知识点05 对数方程 核心类型： 类型 解法 同底， 且 化指数式 换元 示例： 解方程 。 解：，故 解得 或 。检验： 时 ，舍。故 。 易错点： · 易错点总结：解对数方程忘检验，把使真数为负的根保留。 · 注意事项总结：对数方程必须检验——把根代回真数，真数>0 才是原方程的解。 知识点06 指数不等式 核心方法：化同底，利用单调性。 法则： · ：； · ：。 示例： 解不等式 。 解：，因 ，故 易错点： · 易错点总结：底数<1时不等号方向搞反。 · 注意事项总结：先化同底，再判断底数与1的关系，最后定不等号方向。 知识点07 对数不等式 核心方法：化同底，利用单调性，注意真数>0。 法则： · ：； · ：。 示例： 解不等式 。 解：。 因 ，故 易错点： · 易错点总结：只列不等方向，忘真数>0。 · 注意事项总结：对数不等式三件事：真数>0、不等方向、定义域。 知识点08 含参数的指数对数问题 核心模型：已知方程/不等式有解/恒成立，求参数范围。 核心方法：分离参数 + 求最值。 示例： 若方程 有解，求 的范围。 解：分离参数 。 令 ，。 时 。故 。 示例（恒成立）： 若不等式 恒成立（本题演示思路），需分离参数或分类讨论。 易错点： · 易错点总结：分离参数后忘新变量范围。 · 注意事项总结：分离参数后，先求新函数的值域，再定参数范围。 知识点09 指数对数模型的实际应用 核心模型： · 指数增长：（复利、种群增长）； · 指数衰减：（衰变、折旧）； · 对数模型：（声音、震级）。 解题步骤： 1. 设自变量与因变量； 1. 由已知条件定参数； 1. 代入求值。 示例： 某细胞分裂每 30 分钟一次，由 1 个变 2 个，问多少小时后超过 1000 个？ 解：（ 小时，每小时分裂2次）。 ，，。故约 5 小时后。 易错点： · 易错点总结：单位换算错——30分钟一次 vs 每小时一次。 · 注意事项总结：实际问题先统一时间单位，再列方程。 题型一 指数函数的图像与性质 解｜题｜技｜巧 · （）： · 时单调递增； 时单调递减； · 恒过 ；值域 ； · 时 则 ， 则 。 · 图像变换：平移、翻折（、）。 · 底数大小决定图像陡缓： 越大（），在 区域图像越陡。 易｜错｜点｜拨 · 底数 与1的大小关系决定单调性，讨论遗漏。 · 图像过定点 记错。 · 翻折变换后区间单调性判断错误。 【典例1】函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得，此时， 所以函数（且）的图象过定点. 【典例2】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的值域即可求解． 【详解】因为指数函数，所以． 【变式1】若，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递增 B．与的图象关于轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 【答案】ABC 【分析】根据题意结合指数函数性质逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：由指数函数单调性可知在上单调递增，故A正确； 对于选项B：因为，所以与的图象关于轴对称，故B正确； 对于选项C：因为，所以的图象过点，故C正确； 对于选项D：因为，可知的值域为，故D错误； 故选：ABC. 【变式2】已知函数且． (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值； (2)若函数的图象过． ①比较与的大小； ②解不等式：． 【答案】(1)或 (2)①，② 【分析】（1）按与分类讨论指数函数的单调性，求出最值，利用条件列方程，可得答案； （2）代入点，可得，①利用指数函数的单调性可得答案；②将不等式等价转化，设，判断其在上的单调性，结合，利用函数单调性解不等式. 【详解】（1）当时，在上单调递增，最大值为，最小值为， 由题意得：，解得：； 当时，在上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得：，解得：； 综上，的值为或； （2）依题意，由得，即，则. ①因，且在上是增函数， 所以； ②因，则（其中）， 由可得，即， 令，则在上单调递增，且， 所以不等式等价于， 故原不等式的解集为. 题型二 指数型复合函数及其应用 解｜题｜技｜巧 · ： · 定义域由 决定； · 值域：先求 的值域，再由 单调性求值域； · 单调性：同增异减（ 与 单调性同则增，异则减）。 · 复合函数问题拆成内外两层分别处理。 易｜错｜点｜拨 · 内外层单调性”同增异减”方向搞反。 · 求值域时忘记先求内层 范围。 答｜题｜模｜板 1. 拆内层 和外层 ； 2. 求内层范围； 3. 用外层单调性求值域； 4. 用”同增异减”定单调区间。 【典例1】已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 【答案】ABD 【分析】A.由求解；B. 根据函数为奇函数，由求解；C.利用指数函数的单调性求解；D.由时，，得到，再由是奇函数求解. 【详解】A.由，得，所以的定义域为，故正确； B. 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得，经检验，符合题意，正确； C. 当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 所以的单调递减区间为和，错误； D.由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，正确. 【典例2】已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义域可判断A；由指数型复合函数的单调性可判断BC；验证可得D. 【详解】A，由指数函数的性质知，的定义域为，A正确. B、C，函数在上单调递减，在上单调递增，是增函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，，B错误，C正确. D，，的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD. 【变式1】已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A．， B．的值域为 C．若，则 D．若，且，则 【答案】ABD 【分析】由，，判断A；由指数函数的单调性判断BC；由偶函数的性质判断D. 【详解】对于A，∵过原点，∴，∴①， 又∵时，， ∴时，，由题，图象无限接近直线，则②， 由①②知，，故A正确； 对于B，由，，得， ，，故B正确； 对于C，由图知，在上单调递减，因为，则，故C错误； 对于D，∵函数为偶函数，∴， 又∵.，∴，∴，∴，故D正确． 故选：ABD 【变式2】已知函数. (1)设的图象恒过点，求点的坐标； (2)试判断的奇偶性，并说明理由； (3)当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数是奇函数，理由： 由题意得函数的定义域为， 且， 因为，即， 所以函数是奇函数； (3) 【分析】（1）由，代入计算即可求解. （2）根据奇函数定义判定即可； （3）由题意可得，根据函数单调性，计算即可求解， 【详解】（1）令，则，可得， 故函数的图象恒过点； （2）略 （3）当时，函数， 不等式在上恒成立， 即当时，， 因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减， 当时，函数有最大值，即， 所以的取值范围为. 题型三 对数函数的图像与性质 解｜题｜技｜巧 · （）： · 时单调递增； 时单调递减； · 恒过 ；定义域 ； · 与 互为反函数，图像关于 对称。 · 底数大小： 越大（），在 区域图像越平缓。 易｜错｜点｜拨 · 定义域 被忽略。 · 单调性与底数关系搞反。 · 与指数函数图像对称性记错。 【典例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，底数，函数为增函数， 因为，故，即； 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 故 【典例2】（25-26高一下·江西赣州·期中）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．恰有1个零点 【答案】AC 【分析】根据函数的对称性结合条件判断C，应用复合函数单调性结合对数函数单调性判断A，应用值域计算判断B，结合零点定义及对数方程计算判断D. 【详解】由题可知的定义域为，因为， 所以的图象关于直线对称，C正确． 因为， 且函数在上单调递增，在其定义域内单调递增，所以在上单调递增，A正确． 当时，， 所以的值域为，B错误． 令， 又因开口向下，且，所以在内有两解，D错误． 【变式1】（25-26高一上·广西南宁·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．当时， C．的解集为 D． 【答案】ABD 【分析】根据对数函数的图象性质逐项解决即可. 【详解】对于A：函数的定义域为， 故A正确； 对于B：函数在单调递减，所以当时， 函数，故B正确； 对于C：函数在单调递减，， 即，解得， 故C错误； 对于D：， 故D正确. 故选：ABD 【变式2】函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 题型四 对数型复合函数及其应用 解｜题｜技｜巧 · ： · 定义域由 决定； · 值域：先求 的正值范围，再由 单调性求值域； · 单调性：同增异减。 · 含参数讨论底数 和 。 易｜错｜点｜拨 · 忽略 的定义域限制。 · 底数讨论遗漏。 · 复合单调性方向搞反。 答｜题｜模｜板 1. 解 定定义域； 2. 求 在定义域内的值域； 3. 按底数分类讨论单调性； 4. 用”同增异减”定单调区间。 【典例1】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的单调增区间为 B．的图象关于直线对称 C．若的定义域为R，则实数的取值范围 D．若的值域为R，则实数的取值范围 【答案】ABC 【分析】利用复合函数的单调性可判定A项，利用抽象函数的对称性性质可判定B项，根据二次函数恒能成立可判定C、D项 【详解】对于A项，当时，， 令得或， 而由二次函数的单调性可知的单调递增区间为， 根据复合函数同增异减的性质知的单调增区间为，故A正确； 对于B项，易知， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C项，若的定义域为R，则在R上恒成立， 所以，即，故C正确； 对于D项，若的值域为R，则在R上有解，即， 解得，故D错误. 故选：ABC 【典例2】（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．有四个零点 【答案】ACD 【分析】根据偶函数的定义判断A；根据复合函数的单调性、值域判断BC；根据函数零点的定义求解判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，故是偶函数，A正确； 对于B，由， 因为在上为减函数，且在定义域上为减函数， 故在上单调递增，B错误； 对于C，当时，，则， ，又函数为偶函数，故的值域为，C正确； 对于D，令，由，可得，解得， 由可得，可得， 因为，方程有两个不同的解， 由可得，可得， 因为，方程有两个不同的解， 又方程与方程的解都不相同，所以有四个零点，D正确. 故选：ACD. 【变式1】已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的定义域为，求的取值范围； (3)若的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，利用对数函数单调性求解不等式. （2）将问题转化为对任意实数，不等式恒成立求解. （3）根据给定条件，由函数的值域包含求解即可. 【详解】（1）当时，不等式，即， 则，即，解得或， 所以原不等式的解集为. （2）函数的定义域为，则对任意，恒成立， ①当时，得且，解得； ②当时，恒成立，的定义域为成立， 所以得的取值范围为. （3）函数的值域为，则函数的值域包含， 当时，不符合题意； 当时，是开口向下的二次函数，不符合题意； 当时，，当且仅当时取等号， 因此函数的值域为，则， 于是，解得，所以的取值范围为. 【变式2】已知函数 . (1)求函数的定义域； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； (3)若对任意的，总存在，使得成立， 求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数型函数定义域的性质进行求解即可； （2）根据对数的运算，结合对数的最值性质进行求解即可； （3）根据函数的最值，结合任意性和存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）根据函数的解析式可知：， 所以该函数的定义域为； （2）， 因为函数在上单调递增， 所以有， 所以， 所以关于的方程在区间上有解，只需， 因此实数的取值范围为； （3）对任意的，总存在，使得成立， 即函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 由在上单调递增，则， 由在上单调递减， 则， 要想，只需，即，解得， 故实数的取值为. 题型五 指数函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 · 常见模型： · 指数增长：（复利、人口增长）； · 指数衰减：（半衰期、衰减）。 · 解题关键：读题找初始值、增长率/衰减率，列函数式。 · 半衰期问题：， 为半衰期。 易｜错｜点｜拨 · 增长率与衰减率公式方向搞反。 · 指数单位换算错误（如半衰期）。 答｜题｜模｜板 1. 读题找初始值和增长率； 2. 列指数函数式； 3. 代入数据求解。 【典例1】2025年11月7日，在第十五届全国运动会跳水男子双人10米跳台决赛中，陕西队队员以461.82分的成绩勇夺冠军，为陕西代表团摘得本次全运会首枚跳水金牌.如图是跳水运动员在下降过程中的位置变化示意图，已知运动员入水前后的运动轨迹可分别视为两段高度（单位：）关于水平位移（单位：）的函数，且则下列说法正确的有（  ） A． B． C．最大高度为 D．最大高度差为 【答案】ACD 【分析】将入水点的坐标代入解析式求出可判断A；代入二次函数部分可判断B；利用二次函数性质求出最大值可判断C；根据最大值与最小值可得最大高度差，可判断D. 【详解】对A，由题可知，入水时的坐标为，即，解得，正确； 对B，将点代入得，解得，错误； 对C，当时，， 当时，，正确； 对D，易知时，， 所以最大高度差为，正确. 故选：ACD 【典例2】2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到20~79的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则（    ） A．若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了2个小时 B．4小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 C．5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 D．设小时后，血液中的酒精含量为，则 【答案】ACD 【分析】由题意，D选项正确；A选项，当时求的值；BC选项，时求的取值. 【详解】设小时后，血液中的酒精含量为，则，D选项正确； 当时，由，解得，A选项正确； 当时，当时， 所以5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下，B选项错误C选项正确. 故选：ACD. 【变式1】一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某市根据《道路交通法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，则一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过______小时，才能开车.（精确到1小时） 【答案】6 【分析】首先设至少经过小时才能开车，依题意得到，再根据指数函数的性质确定的范围. 【详解】设至少经过小时才能开车，此时血液中的酒精含量为， 令，即， 因为在上单调递减， 当时，；当时，； 所以满足要求的最小正整数为，即至少要经过个小时才能开车. 故答案为： 【变式2】某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系 （ 为自然对数的底数，， 为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是 ______ 小时（保留一位小数）. 【答案】/ 【分析】依题意可得，两式相除求出，再代入计算可得. 【详解】由题意得， 两式相除得，所以. 当时，， 所以该食品在30℃时的保鲜时间约是小时. 故答案为： 题型六 对数函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 · 常见模型： · 震级、pH、分贝等对数量表； · 指数模型的反解：已知 求 ，用对数。 · 解题关键：把指数方程两边取对数。 易｜错｜点｜拨 1. 取对数时漏项。 1. 真数范围忽略。 答｜题｜模｜板 1. 列指数方程； 2. 两边取对数； 3. 解 。 【典例1】声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）．下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍 D．声强级增加，则声强变为原来的倍． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件先计算出，然后再根据的变化确定的变化确定正确选项． 【详解】因为，时，，带入公式得， A：时，，故A正确； B：由题意，即，因此，解得，故B正确； C：当变为时，代入有，故C错误； D：设声强变为原来的倍，则，解得，故D正确； 故选：ABD． 【典例2】溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的值在之间，则下列选项正确的是（    ）（参考数据：取） A．若苏打水的是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升 B．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是 C．若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的是 D．若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用 【答案】ABC 【分析】利用的计算公式可得A正确，将溶液中氢离子的浓度代入计算式利用参考数据可分别求得选项BCD的值，可得结论. 【详解】对于A，若苏打水的是8，即，所以， 即苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升，所以A正确； 对于B，若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则，即B正确； 对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的氢离子浓度是， 因此，即海水的是，所以C正确； 对于D，若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则； 而不在范围内，即可得该种水不适合饮用，即D错误； 故选：ABC 【变式1】“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 【答案】4 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 【变式2】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为_________；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是_________. 【答案】 【分析】由得，，利用对数的运算化简可得；根据题意列方程组解出，，从而，再利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】①由题知，， 当时，有， 整理得，， 因为，所以. ②由题知，，即， 解得，， 所以. 由，得，， 因为函数为上的增函数，所以， 故火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是. 故答案为：；. 题型七 指数函数与对数函数的综合应用 解｜题｜技｜巧 · 指对互为反函数： 与 关于 对称。 · 综合题常考： · 指对方程/不等式； · 指对函数交点； · 含参讨论。 · 方法：换元法、图像法、分离参数法。 易｜错｜点｜拨 · 反函数关系记错。 · 含参讨论底数遗漏。 · 指对不等式方向随底数变化。 答｜题｜模｜板 1. 指对互化； 2. 换元化归为代数问题； 3. 分类讨论底数； 4. 结合图像验证。 【典例1】已知函数的图象经过点，． (1)证明：函数的图象是轴对称图形； (2)求关于x的不等式的解集； (3)若函数在区间上有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) 由题意可知，解得． 所以．易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形． (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求得，再证明函数为偶函数即可证明； （2）根据对数恒等式转化为，再解不等式即可得答案； （3）将问题转化为与图象在上有两个交点，再数形结合求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，， 不等式可化为，即， 化简得：，解得， 又，所以，解得， 故原不等式的解集为． （3）由题意可知，，得，即， 令，则, 要使函数在区间上有两个零点， 即与图象在上有两个交点， 又知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在时有最小值，在或时有最大值， 作出图象如图， 所以，解得． 所以m的取值范围为 【典例2】已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义，结合对数运算求解即得. （2）应用对数的运算性质求解方程的根. （3）由题设可得在上有解，构造函数并探讨函数单调性，求出值域即可得参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为R，且为偶函数， 则，，即恒成立， 因此，而不恒为0，则， 所以. （2）由（1）得，， 由方程，得， 即，整理得， 即，因此，即， 而，解得，即，所以所求方程的根为. （3）由（1）得在上有零点， 则在上有解，令函数， 函数在上单调递增，而函数是定义域上的增函数， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，则，则， 所以实数的取值范围是. 【变式1】已知且，函数，． (1)方程的两根为和，且，求a的值； (2)当时，对任意的，都存在，使得，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解含有对数的方程，结合求参数值即可； （2）依题意将问题转化为在上的值域是在上值域的子集，结合指对数函数、二次函数性质求其在给定区间上的值域，再由包含关系列不等式求解即得. 【详解】（1）令，解得或， 解得，，则，所以； （2）当时，， 因，则，， 又函数在上单调递减，则， 由任意的，都存在，使得， 则在上的值域是在上值域的子集， 故，即. 【变式2】已知函数且． (1)若的图象经过点，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据的图象经过点得到对数方程，即可求得的值； （2）原不等式等价于，两种情况讨论，分别根据对数函数的单调性得到不等式，即可求的取值范围． 【详解】（1），即， 解得或（舍去）．故的值为． （2），即． ①当时，函数是增函数． 当时，，不满足定义域，不符合题意． ②当时，函数是减函数． 因为，所以， 即，解得或（舍去），所以，满足定义域． 此时，函数是减函数，当时， 因为，所以， 解得，所以当时，符合题意． 综上，的取值范围为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知且，再由对数函数单调性解不等式即可求得结果. 【详解】由对数函数定义可知或； 由可得，因此可得； 即可得实数的取值范围为. 2．已知e是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 【答案】BD 【分析】对于A，根据函数过原点和无限接近直线可判断；对于B，根据解析式判断函数的奇偶性，值域可判断，对于C，根据解析式判断函数的单调性，即可判断；对于D，根据对数函数性质，再根据函数为偶函数可判断. 【详解】对于A，因为函数的图象经过原点， 所以，解得，则． 因为函数无限接近直线但又不与该直线相交， 所以，则，故A错误． 对于B，则， 因为，为偶函数． 当时，， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，，因为函数为减函数， 则函数在区间上单调递增，故C错误； 对于D，因为，根据函数为偶函数可得，即，故D正确. 3．（25-26高一上·浙江宁波·期中）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 【答案】 14 【分析】代入已知条件求出参数，注意后段降温要更新初始温度，再借助对数运算求解时间. 【详解】由题，当时，， 则，当从50℃再下降到40℃时， . 4．(1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)单调递增区间，单调递减区间 (2) 【分析】（1）先求出定义域，通过换元法，结合二次函数的图像和性质，对数函数的图像和性质求解； （2）通过换元法，设，利用定义域求出的范围，利用二次函数的图像和性质求出值域. 【详解】（1）令， 则定义域为； 设， 则在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 又函数在上为单调递增函数. 由复合函数的单调性可知的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设，由得， 则可化为， 该二次函数开口向上，对称轴为，在上为减函数，在上为增函数， 当时，；当，；，. 则的值域为. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 2．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】由对数型复合函数的性质，结合二次函数性质、复合函数“同增异减”规则、函数对称性判定方法逐一分析选项即可. 【详解】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确. 3．（25-26高一下·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的性质，分别求得和时，没有零点的的取值范围，即可求解. 【详解】当时，则，所以， 由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得； 当时，可得，由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得或， 所以要使函数在上没有零点，则实数的取值范围为. 4．（25-26高一上·山东威海·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，将原函数的值域问题转化为二次函数在上的值域问题，再结合二次函数的图象和性质可得； （2）令，将不等式转化为一元二次不等式，并解得或，再根据对数函数的单调性可得不等式的解集. 【详解】（1）由函数，得函数的定义域为. 令，当时，由对数函数单调性得：. 将原函数展开换元：， 所以原函数的值域问题转化为求二次函数在上的值域问题. 因为，二次函数的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以函数的最小值为，最大值为. 所以函数在的值域为， 因此函数在上的值域为. （2）不等式等价于，整理得， 因式分解得， 令，则，解得或. 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以. 综上所述，不等式的解集为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（    ）（取：） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，的物块经过后的温度， 的物块经过后的温度. 要使得两块物体的温度之差不超过，则， 即，解得. 2．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C． D．无最值 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，由，得，解得； 当时，由，得 ，解得， 综上或，A错误； 对于B，当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得， 综上，或，B正确； 对于C，因为 ， 所以 ，C正确； 对于D，当时，，当时，， 所以，的值域为，D正确． 3．已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质可求解在上的值域为，进而根据在上的值域需要包含，结合指数函数的性质求解. 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 4．已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2); (3). 【分析】(1)利用对数函数单调性脱去对数，转化为一元二次不等式，通过换元法结合指数函数性质，求解出x的取值范围; (2)根据函数零点定义转化为方程有解问题，换元后分离参数，利用函数的最值与区间端点值，确定参数取值范围; (3), 转化为  ，再利用函数的单调性求解. 【详解】（1），，得， 所以，即， 令 ，，解得 ，即 ， 所以，所以的解集是； （2） 在 上存在零点，令，得 ，即，所以， 因为，所以 令 ，，记 ， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， 所以，在 时取得最大值， 又，， 所以的值域是，所以,所以， 所以a的取值范围是; （3）, 得， 即， 在上的最大值是，最小值是， 由题意  ，即， 所以，所以， 即，所以， 令，， 在上单调递减，所以当时，取得最小值3， 所以在上取得最大值， 在上单调递减，所以当时，取得最小值1， 所以，所以 所以a的取值范围是. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $