专题3.4 函数的应用（一）期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.4 函数的应用（一）（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：函数零点的定义与几何意义、方程—函数—图象交点的等价关系、零点存在性定理及其应用、二分法求方程近似解； ▲难点：零点个数与分布的判断、零点存在性定理只能判定“存在”而不能确定个数、二分法精确度（区间长度）的控制． 目录 专题3.4 函数的应用（一）（期中复习讲义） 1 知识点1 函数零点的概念与求法 1 【题型1 函数零点的求法与个数】 2 知识点2 零点存在性定理 3 【题型2 零点存在性定理的应用】 4 知识点3 二分法 5 【题型3 二分法求方程的近似解】 6 考点1 函数零点 知识点1 函数零点的概念与求法 【重难点】★重点：函数零点的定义、几何意义，以及“方程有实根 图象与 轴有交点 函数有零点”的等价关系； ▲难点：零点个数与分布的判断（结合单调性、图象）． 1．零点的定义　一般地，对于函数 ，使 成立的实数 叫做函数 的零点． 2．几何意义　函数 的零点，就是它的图象与 轴交点的横坐标． 3．等价关系　方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． 【题型1 函数零点的求法与个数】 【例1】求函数 的零点． 【变式1-1】函数 的零点是（　　） A． 与 B． C． 与 D． 【变式1-2】函数 的零点个数为______． 【变式1-3】已知函数 ，求它的零点，并写出使 的 的取值范围． 考点2 零点存在性定理 知识点2 零点存在性定理 【重难点】★重点：零点存在性定理的条件（图象连续不断、）与结论（区间内至少一个零点）； ▲难点：定理只能判定零点“存在”而不能确定个数，若区间上单调则零点唯一． 1．条件　函数 在闭区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且 ． 2．结论　函数 在开区间 内至少有一个零点，即存在 使 ． 3．注意　定理只能判断零点存在，不能确定零点个数；若函数在 上单调，则零点唯一． 【题型2 零点存在性定理的应用】 【例2】证明函数 在区间 内至少有一个零点． 【变式2-1】函数 在下列哪一个区间内有零点（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数 ，判断它在 内零点的个数，并说明理由． 【变式2-3】函数 在区间 内是否有零点？请说明理由． 考点3 二分法 知识点3 二分法 【重难点】★重点：二分法的适用条件与“取中点、判符号、缩区间”的基本步骤； ▲难点：精确度（区间长度小于给定 ）的判断与近似值的取舍． 1．适用　二分法用于求方程 的近似解（即函数零点的近似值）． 2．原理　将零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点． 3．步骤　①确定初始区间 （）；②取中点 ；③判定 符号以缩小区间；④重复至区间长度小于精确度 ． 【题型3 二分法求方程的近似解】 【例3】用二分法求函数 的正零点（精确到 ）． 【变式3-1】用二分法求方程 在 内的近似解（精确到 ）． 【变式3-2】下列关于二分法的说法，正确的是（　　） A．二分法能求所有方程的精确解 B．用二分法求近似解时，区间长度越小精确度越高 C．二分法要求函数在初始区间上必须单调 D．二分法只能用于求多项式函数的零点 【变式3-3】用二分法求函数 的正零点（精确到 ）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 函数的应用（一）（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：函数零点的定义与几何意义、方程—函数—图象交点的等价关系、零点存在性定理及其应用、二分法求方程近似解； ▲难点：零点个数与分布的判断、零点存在性定理只能判定“存在”而不能确定个数、二分法精确度（区间长度）的控制． 目录 专题3.4 函数的应用（一）（期中复习讲义） 1 知识点1 函数零点的概念与求法 1 【题型1 函数零点的求法与个数】 2 知识点2 零点存在性定理 3 【题型2 零点存在性定理的应用】 4 知识点3 二分法 5 【题型3 二分法求方程的近似解】 6 考点1 函数零点 知识点1 函数零点的概念与求法 【重难点】★重点：函数零点的定义、几何意义，以及“方程有实根 图象与 轴有交点 函数有零点”的等价关系； ▲难点：零点个数与分布的判断（结合单调性、图象）． 1．零点的定义　一般地，对于函数 ，使 成立的实数 叫做函数 的零点． 2．几何意义　函数 的零点，就是它的图象与 轴交点的横坐标． 3．等价关系　方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． 【题型1 函数零点的求法与个数】 【例1】求函数 的零点． 【解析】解：令 ，即 ．由 ， 得 或 ．∴ 函数 的零点为 和 ． 【变式1-1】函数 的零点是（　　） A． 与 B． C． 与 D． 【解析】判定依据：零点是使 的实数，不是一个点． A： 与 是点，零点应为实数 B： 是点，且漏掉了 C： 与 1，正确 D： 不是 的解 故选 C． 【变式1-2】函数 的零点个数为______． 【解析】解：，， 且 在 上单调递增；故 有且仅有一个零点，零点个数为． 【变式1-3】已知函数 ，求它的零点，并写出使 的 的取值范围． 【解析】解：令 ， 得 ，零点为 与 ．由二次函数开口向上， 得 的解集为． 考点2 零点存在性定理 知识点2 零点存在性定理 【重难点】★重点：零点存在性定理的条件（图象连续不断、）与结论（区间内至少一个零点）； ▲难点：定理只能判定零点“存在”而不能确定个数，若区间上单调则零点唯一． 1．条件　函数 在闭区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且 ． 2．结论　函数 在开区间 内至少有一个零点，即存在 使 ． 3．注意　定理只能判断零点存在，不能确定零点个数；若函数在 上单调，则零点唯一． 【题型2 零点存在性定理的应用】 【例2】证明函数 在区间 内至少有一个零点． 【解析】证明： 是多项式函数，在 上连续， 故在 上图象连续不断． 又 ， ， 故 ． 由零 点存在性定理，函数 在 内至少有一个零点． 【变式2-1】函数 在下列哪一个区间内有零点（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：区间端点函数值异号，则区间内有零点． A：，，同号，不能判定 B：，，同号，不能判定 C：，，异号，有零点，正确 D：，，同号，不能判定 故选 C． 【变式2-2】已知函数 ，判断它在 内零点的个数，并说明理由． 【解析】解：，， 故 ，在 内至少有一个零点； 又 ， 在 上单调递增， 故零点 唯一， 零点个数为 ． 【变式2-3】函数 在区间 内是否有零点？请说明理由． 【解析】解： 在 上连续，且 ，， 故 ． 由零点存在性定理知 在 内 至少有一个零点； 又 ， 单调递增， 故零点 唯一，即在 内有零点． 考点3 二分法 知识点3 二分法 【重难点】★重点：二分法的适用条件与“取中点、判符号、缩区间”的基本步骤； ▲难点：精确度（区间长度小于给定 ）的判断与近似值的取舍． 1．适用　二分法用于求方程 的近似解（即函数零点的近似值）． 2．原理　将零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点． 3．步骤　①确定初始区间 （）；②取中点 ；③判定 符号以缩小区间；④重复至区间长度小于精确度 ． 【题型3 二分法求方程的近似解】 【例3】用二分法求函数 的正零点（精确到 ）． 【解析】解：， ， 故正零点所在初始区间为 ． 取中点 ，， 故零点在 ； 再取中点 ， ， 故零点在 ； 取中点 ，， 故零点在 ； 取中点 ，， 故零点在 ． 区间长度 ，已达到精确度， 近似值取区间中点 ， 故正零点近似值为（精确到 ）． 【变式3-1】用二分法求方程 在 内的近似解（精确到 ）． 【解析】解：，，初始区间 ． 中点 ，，零点在 ； 中点 ，，零点在 ； 中点 ，，零点在 ； 中点 ，，零点在 ． 区间长度 ，达到精确度， 近似值取中点 ， 故近似解为（精确到 ）． 【变式3-2】下列关于二分法的说法，正确的是（　　） A．二分法能求所有方程的精确解 B．用二分法求近似解时，区间长度越小精确度越高 C．二分法要求函数在初始区间上必须单调 D．二分法只能用于求多项式函数的零点 【解析】判定依据：二分法只要求函数连续、区间端点异号． A：二分法一般得到近似解，不是精确解 B：区间长度越小，端点越逼近零点，精确度越高，正确 C：只要求连续且端点异号，不要求单调 D：适用于任意连续函数，不限于多项式 故选 B． 【变式3-3】用二分法求函数 的正零点（精确到 ）． 【解析】解：，，初始区间 ． 中点 ，，零点在 ； 中点 ，，零点在 ； 中点 ，，零点在 ； 中点 ，，零点在 ． 区间长度 ，达到精确度， 近似值取中点 ， 故正零点近似值为（精确到 ）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $