专题1.2 集合间的基本关系 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.2 集合间的基本关系（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：子集与真子集的概念及个数、集合相等的判定、空集的性质、集合间的基本关系与Venn图表示； ▲难点：非空真子集个数的计算、由或求参数取值范围、空集作为子集时易被遗漏的分类讨论． 目录 专题1.2 集合间的基本关系（期中复习讲义） 1 知识点1 子集与真子集 1 【题型1 子集与真子集的概念判断】 2 【题型2 子集与真子集的个数】 3 知识点2 集合相等 4 【题型3 集合相等的判断】 5 【题型4 根据集合相等求参数】 6 知识点3 空集 7 【题型5 空集的概念与性质】 8 【题型6 集合关系的Venn图表示】 9 知识点4 集合间的关系 10 【题型7 判断两个集合的包含关系】 11 【题型8 根据集合的包含关系求参数】 12 考点1 子集与真子集 知识点1 子集与真子集 【重难点】★重点：子集与真子集的概念，与的区别，含个元素的集合的子集个数为； ▲难点：空集是任何集合的子集、，真子集个数的计算（）与"非空真子集"（）的区分． 1．概念　对于集合，，如果集合的元素都是集合的元素，那么称集合是集合的子集，记作；如果且，那么称是的真子集，记作． 2．子集个数　含有个元素的集合有个子集，其中真子集有个，非空真子集有个． 3．特殊规定　空集是任何非空集合的子集，且是任何非空集合的真子集；任何集合都是自身的子集，但不是自身的真子集． 【题型1 子集与真子集的概念判断】 【例1】下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．是任何集合的真子集 【解析】判定依据：区分「元素与集合」和「集合与集合」两种关系． A： 表示 a 是 A 的元素，不能写作 B： 时可能 ，此时 不成立 C：由真子集定义， 必有 ，正确 D： 是任何集合的子集， 时不是真子集 故选 C． 【变式1-1】下列集合中，是集合的真子集的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：真子集要求 且 ． A： 与自身相等，不是真子集 B：含 4，不是 的子集 C：，正确 D：含 4、5，不是 的子集 故选 C． 【变式1-2】已知，，则与的关系是______． 【解析】由得，故；由且得． ∵且，且中元素都是中的元素，∴． 【变式1-3】已知集合 ，则 的真子集共有（　　） 个 个 个 个 【解析】判定依据：含 个元素的集合有 个子集． A：6 个，少于真子集的实际个数 B： 个，正确 C：8 个是子集总数，含集合本身 D：9 个，多于子集总数，不可能 故选 B． 【题型2 子集与真子集的个数】 【例2】设集合，则的子集共有______个，真子集共有______个，非空真子集共有______个． 【解析】∵集合含有个元素，∴的子集个数为； 由真子集比子集少一个（除去本身），得真子集有个； 由空集也是真子集，得非空真子集有个．∴依次填，，． 【变式2-1】已知集合有个元素，则的子集共有______个，非空子集共有______个． 【解析】∵集合有个元素，∴的子集有个；由空集是子集， 得非空子集有个．∴依次填，． 【变式2-2】集合的所有子集中，元素的个数为的子集共有______个． 【解析】从个元素中任取个元素的取法数为．∴共有个． 【变式2-3】已知集合有个元素，，且有个元素，则满足条件的共有______个． 【解析】∵且有个元素，有个元素， ∴是从的个元素中任取个组成的集合．故满足条件的共有个． 考点2 集合相等 知识点2 集合相等 【重难点】★重点：集合相等的定义（元素个数相同、对应元素相同），集合相等的传递性与对称性； ▲难点：由求参数时把集合与集合分别展开并比较对应元素，注意且． 1．概念　一般地，如果两个集合中的元素完全相同，那么就说这两个集合相等，记作． 2．等价表述　且；且对应元素相同． 3．基本性质　集合相等具有传递性、交换性、对称性，即若，，则；且． 【题型3 集合相等的判断】 【例3】下列命题中，结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则且 C．若，则 D．若，则 【解析】判定依据：集合相等要求互相包含；元素个数相同不等于相等． A： 推不出 ，可能 B：集合相等即 且 ，正确 C：如 与 元素个数相同但不相等 D： 只说明两集合无公共元素 故选 B． 【变式3-1】已知，，则与的关系是______． 【解析】由得或，故．∵，∴． 【变式3-2】下列各组中的两个集合相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】判定依据：元素完全相同（与顺序无关）的两个集合相等． A：元素相同、顺序无关，，正确 B：元素个数不同，两集合不相等 C：，比右边少一个 0 D： 的元素是 0， 的元素是 ，不相等 故选 A． 【变式3-3】已知 ，，则 与 的关系是（　　） 无法确定 【解析】判定依据：把 写成 ，看元素范围是否一致． A：B 中元素都是偶数，也在 A 中，不是真包含 B：同理 A 中元素都在 B 中，不是真包含 C： 且 ，两集合都是偶数集，正确 D：两集合元素完全相同，关系可以确定 故选 C． 【题型4 根据集合相等求参数】 【例4】已知，，若，则______． 【解析】由，且，知两集合元素相同．∵且， ∴对应元素为与；∴另一对应元素为与，即．∴． 【变式4-1】已知，，若，则______． 【解析】∵，且，∴解得．∴． 【变式4-2】已知集合，若，则______． 【解析】∵， ∴由根与系数关系得解得．∴． 【变式4-3】设集合，，则______． 【解析】由得，故．∵，∴． 考点3 空集 知识点3 空集 【重难点】★重点：空集的定义，空集是任何集合的子集，空集与任何非空集合不相等； ▲难点：由"是的子集"求参数时不能漏掉空集这个特殊情况——若，则也是合法解． 1．概念　不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何非空集合的真子集． 2．与集合相等　空集与任何非空集合都不相等，即（非空）；但恒成立． 3．易错点　""不能推出""；判断""时必须考虑的情形． 【题型5 空集的概念与性质】 【例5】下列命题中，正确的是（　　） A．是任何集合的子集 B．是任何集合的真子集 C． D．对任意集合都成立 【解析】判定依据：空集是任何集合的子集，但不是任何集合的真子集． A：空集是任何集合的子集，正确 B： 时 不是 A 的真子集 C： 没有元素， 含元素 0，不相等 D： 时 ，说法错误 故选 A． 【变式5-1】已知，则是空集吗？答：______． 【解析】由得判别式，方程无实数根．∴，是空集． 【变式5-2】若集合，，则，则的值为______． 【解析】∵，，且，∴． 【变式5-3】已知，，则的最小元素个数为______． 【解析】∵且，故是非空集合；∵任何非空集合至少有一个元素， ∴的最小元素个数为． 【题型6 集合关系的Venn图表示】 【例6】设，为两个集合，用Venn图表示下列关系：(1)；(2)；(3)；(4)． 【解析】(1)：画一个大的圆表示，把表示的圆完全画在的圆内部； (2)：画两个完全重合的圆； (3)：画两个外离的圆； (4)：画一个大的圆表示，把表示的圆完全画在的圆内部． 【变式6-1】下列各图中，能表示的是（　　） A．、两圆外离 B．的圆在的圆内部且两圆有公共部分 C．的圆完全在的圆内部且两圆无公共部分 D．两圆相交且均有部分在对方圆外 【解析】判定依据：A 的圆完全落在 B 的圆内且不重合，才表示 ． A：两圆外离表示 ，不是包含关系 B：A 在 B 内但有公共部分，不能排除 C：A 完全在 B 内且两圆不重合，表示 ，正确 D：两圆相交表示互不包含 故选 C． 【变式6-2】已知集合，满足且，则中元素的个数______（填"大于"、"小于"或"等于"）中元素的个数． 【解析】∵，故与有公共元素，中元素个数大于；∵， 故与不是同一个集合，中元素个数大于中元素个数．∴应填"小于"． 考点4 集合间的关系 【变式6-3】已知 ，．(1)用Venn图表示 与 的关系；(2)求 与 ． 【解析】(1)把表示 的圆完全画在表示 的圆内部且两圆不重合，即 ； (2)，． 知识点4 集合间的关系 【重难点】★重点：集合间的基本关系（相等、包含、真包含、互斥），用Venn图表示集合关系； ▲难点：由""求参数范围、Venn图中阴影部分的含义辨析、多个集合间关系的综合判断． 1．基本关系　设，两个集合：；或；（互斥）． 2．Venn图表示　用圆表示集合，两圆相交表示有公共元素，一圆内含另一圆表示包含关系，两圆外侧表示全集． 3．性质　任何两个集合之间的基本关系必居其一且只居其一；子集具有传递性． 【题型7 判断两个集合的包含关系】 【例7】设，，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：比较两个数集的端点，判断包含方向． A： 必有 ，故 ，方向相反 B： 且 、，故 ，正确 C：两集合元素范围不同，不相等 D：由 得 故选 B． 【变式7-1】设，，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：端点不同时，包含方向由端点大小决定． A： 且 、，故 ，正确 B： 不成立，方向相反 C：两集合元素范围不同，不相等 D：由 得 故选 A． 【变式7-2】已知，，则与的关系是______． 【解析】由得，故．∵，∴． 【变式7-3】已知 ，，则 与 的关系是______． 【解析】由 得 或 ，故 ；由 得 ， 故 ．因为 而 ，所以 不是 的子集；又 而 ， 所以 也不是 的子集．故 与 互不包含． 【题型8 根据集合的包含关系求参数】 【例8】已知集合，，若，则的取值为______． 【解析】由，且，∴元素必须是中的元素， 即．∴或或． 【变式8-1】已知集合，，则与的关系是______． 【解析】由得或，故．∵，∴． 【变式8-2】已知，，若，则的取值为______． 【解析】由，且，∴应是的真子集， 即（当时，不合题意）．∴． 【变式8-3】已知集合，若恒成立，其中，则的取值范围是______． 【解析】∵，且， ∴不等式在上恒成立． 当时，，恒成立； 当时，取得，不成立；当时，取得，不成立． ∴的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合间的基本关系（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：子集与真子集的概念及个数、集合相等的判定、空集的性质、集合间的基本关系与Venn图表示； ▲难点：非空真子集个数的计算、由或求参数取值范围、空集作为子集时易被遗漏的分类讨论． 目录 专题1.2 集合间的基本关系（期中复习讲义） 1 知识点1 子集与真子集 1 【题型1 子集与真子集的概念判断】 2 【题型2 子集与真子集的个数】 3 知识点2 集合相等 4 【题型3 集合相等的判断】 5 【题型4 根据集合相等求参数】 6 知识点3 空集 7 【题型5 空集的概念与性质】 8 【题型6 集合关系的Venn图表示】 9 知识点4 集合间的关系 10 【题型7 判断两个集合的包含关系】 11 【题型8 根据集合的包含关系求参数】 12 考点1 子集与真子集 知识点1 子集与真子集 【重难点】★重点：子集与真子集的概念，与的区别，含个元素的集合的子集个数为； ▲难点：空集是任何集合的子集、，真子集个数的计算（）与"非空真子集"（）的区分． 1．概念　对于集合，，如果集合的元素都是集合的元素，那么称集合是集合的子集，记作；如果且，那么称是的真子集，记作． 2．子集个数　含有个元素的集合有个子集，其中真子集有个，非空真子集有个． 3．特殊规定　空集是任何非空集合的子集，且是任何非空集合的真子集；任何集合都是自身的子集，但不是自身的真子集． 【题型1 子集与真子集的概念判断】 【例1】下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．是任何集合的真子集 【变式1-1】下列集合中，是集合的真子集的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，，则与的关系是______． 【变式1-3】已知集合 ，则 的真子集共有（　　） 个 个 个 个 【题型2 子集与真子集的个数】 【例2】设集合，则的子集共有______个，真子集共有______个，非空真子集共有______个． 【变式2-1】已知集合有个元素，则的子集共有______个，非空子集共有______个． 【变式2-2】集合的所有子集中，元素的个数为的子集共有______个． 【变式2-3】已知集合有个元素，，且有个元素，则满足条件的共有______个． 考点2 集合相等 知识点2 集合相等 【重难点】★重点：集合相等的定义（元素个数相同、对应元素相同），集合相等的传递性与对称性； ▲难点：由求参数时把集合与集合分别展开并比较对应元素，注意且． 1．概念　一般地，如果两个集合中的元素完全相同，那么就说这两个集合相等，记作． 2．等价表述　且；且对应元素相同． 3．基本性质　集合相等具有传递性、交换性、对称性，即若，，则；且． 【题型3 集合相等的判断】 【例3】下列命题中，结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则且 C．若，则 D．若，则 【变式3-1】已知，，则与的关系是______． 【变式3-2】下列各组中的两个集合相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-3】已知 ，，则 与 的关系是（　　） 无法确定 【题型4 根据集合相等求参数】 【例4】已知，，若，则______． 【变式4-1】已知，，若，则______． 【变式4-2】已知集合，若，则______． 【变式4-3】设集合，，则______． 考点3 空集 知识点3 空集 【重难点】★重点：空集的定义，空集是任何集合的子集，空集与任何非空集合不相等； ▲难点：由"是的子集"求参数时不能漏掉空集这个特殊情况——若，则也是合法解． 1．概念　不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何非空集合的真子集． 2．与集合相等　空集与任何非空集合都不相等，即（非空）；但恒成立． 3．易错点　""不能推出""；判断""时必须考虑的情形． 【题型5 空集的概念与性质】 【例5】下列命题中，正确的是（　　） A．是任何集合的子集 B．是任何集合的真子集 C． D．对任意集合都成立 【变式5-1】已知，则是空集吗？答：______． 【变式5-2】若集合，，则，则的值为______． 【变式5-3】已知，，则的最小元素个数为______． 【题型6 集合关系的Venn图表示】 【例6】设，为两个集合，用Venn图表示下列关系：(1)；(2)；(3)；(4)． 【变式6-1】下列各图中，能表示的是（　　） A．、两圆外离 B．的圆在的圆内部且两圆有公共部分 C．的圆完全在的圆内部且两圆无公共部分 D．两圆相交且均有部分在对方圆外 【变式6-2】已知集合，满足且，则中元素的个数______（填"大于"、"小于"或"等于"）中元素的个数． 考点4 集合间的关系 【变式6-3】已知 ，．(1)用Venn图表示 与 的关系；(2)求 与 ． 知识点4 集合间的关系 【重难点】★重点：集合间的基本关系（相等、包含、真包含、互斥），用Venn图表示集合关系； ▲难点：由""求参数范围、Venn图中阴影部分的含义辨析、多个集合间关系的综合判断． 1．基本关系　设，两个集合：；或；（互斥）． 2．Venn图表示　用圆表示集合，两圆相交表示有公共元素，一圆内含另一圆表示包含关系，两圆外侧表示全集． 3．性质　任何两个集合之间的基本关系必居其一且只居其一；子集具有传递性． 【题型7 判断两个集合的包含关系】 【例7】设，，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】设，，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，，则与的关系是______． 【变式7-3】已知 ，，则 与 的关系是______． 【题型8 根据集合的包含关系求参数】 【例8】已知集合，，若，则的取值为______． 【变式8-1】已知集合，，则与的关系是______． 【变式8-2】已知，，若，则的取值为______． 【变式8-3】已知集合，若恒成立，其中，则的取值范围是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $