第十讲 幂函数（例题讲解+思路总结+题型训练）-2023-2024学年高一数学上学期核心题型专练（人教A版2019必修第一册）

第3讲 常用逻辑用语 知识点总结 知识点1 幂函数的定义及图像 形如　 　的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.  常见的5种幂函数的图象 知识点2 . 常见的5种幂函数的性质 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R 　 　  {x|x∈R,且x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) { } 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 知识点3. 幂函数的性质 （1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． （2）过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． （3）单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． （4）奇偶性：当为奇数时，幂函数为 ，当为偶数时，幂函数为 ．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是 ，若为奇数为偶数时，则是 ，若为偶数为奇数时，则是 （5）图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方． 典型例题分析 考向一 　求幂函数的解析式 求幂函数解析式的常见思路 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数； (2)底数为自变量； (3)系数为1. 例　1．已知某幂函数的图象过点，则此函数解析式是（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为 考向二 幂函数的图象及性质的应用 例 1.如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为 A． B． C． D． 2.设，则的大小关系是 A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 基础题型训练 一、单选题 1．已知幂函数在上是减函数，则实数（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 2．已知幂函数在（0，+）上单调递减，则m的值为（    ） A． B．4 C．或    D．1或4 3．如图所示是函数(且互质)的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且 4．已知函数f (x)＝，则（    ） A．∃x0∈R，f (x0)<0 B．∀x∈(0，＋∞)，f (x)≥0 C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，<0 D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f (x1)>f (x2) 5．幂函数在区间上单调递增，则（    ） A．27 B． C． D． 6．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，有解，则实数的最大值（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、多选题 7．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．已知幂函数的图象过点，则（    ）. A． B． C． D． 三、填空题 9．幂函数的图象必不过第 象限. 10． 函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 . 11． 函数的定义域是 ． 12．已知是定义在上的奇函数，对任意实数满足，，则 . 四、解答题 13．已知幂函数在上单调递增 (1)求m的值； (2)若，且，求的最小值. 14．判断下列函数的奇偶性. （1）； （2）. 15．已知幂函数在上是减函数. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围. 16．已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 提升题型训练 一、单选题 1．下列函数中：①，②，③ ，④，⑤，其中在定义域内为增函数的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 3．已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若三个幂函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 5．若,则不等式的解集是 A． B． C． D． 6．下列命题中，正确的有（    ）个 ①对应：是映射，也是函数； ②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为； ③幂函数与图像有且只有两个交点； ④当时，方程恒