专题3.1函数的概念及其表示 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.1 函数的概念及其表示（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：函数的概念与三要素、函数的定义域、函数的表示法、分段函数、函数的值域； ▲难点：对应关系的判断、抽象函数（复合结构）的定义域、函数解析式的求法、分段函数的多解与值域问题． 目录 专题3.1 函数的概念及其表示（期中复习讲义） 1 知识点1 函数的概念与三要素 1 【题型1 函数的概念（对应关系的判断）】 2 【题型2 相等函数的判断】 3 【题型3 求函数值】 4 知识点2 函数的定义域 5 【题型4 具体函数的定义域】 6 【题型5 函数定义域的综合应用（含参数）】 7 【题型6 抽象函数（复合结构）的定义域】 8 【题型7 实际问题中的函数与定义域】 9 知识点3 函数的表示法 10 【题型8 函数的三种表示法】 11 【题型9 待定系数法求解析式】 12 【题型12 函数的图象】 13 知识点4 函数的值域与求值域 14 【题型13 求函数值域】 15 知识点5 分段函数 16 【题型18 分段函数的图象与解析式】 17 【题型19 分段函数的综合应用】 18 考点1 函数的概念 知识点1 函数的概念与三要素 【重难点】★重点：函数的概念、函数的三要素； ▲难点：判断对应关系是否为函数（唯一确定性）． 1．函数的概念：一般地，设 ， 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，． 2．函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 3．相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【题型1 函数的概念（对应关系的判断）】 【例1】给定集合 ，，方程 ． (1) 任给 ，对应关系 使方程 的解 与 对应，判断 是否为函数； (2) 任给 ，对应关系 使方程 的解 与 对应，判断 是否为函数． 【变式1-1】已知集合 ，给出下列对应关系： A．① B．①② C．①③ D．①②③ ① ；② ；③ ． 其中是从集合 到集合 的函数的是（　　） 【变式1-2】已知集合 ，，对应关系 ． (1) 判断 是否为从集合 到集合 的函数，并说明理由； (2) 若把集合 改为 ， 是否仍为从集合 到集合 的函数？请说明理由． 【变式1-3】探究是否存在函数 ， 满足下列条件？若存在，请举出一例；若不存在，请说明理由． (1) 定义域相同，值域相同，但对应关系不同； (2) 值域相同，对应关系相同，但定义域不同． 【题型2 相等函数的判断】 【例2】下列函数中哪个与函数 是同一个函数？ (1) ；　(2) ；　(3) ；　(4) ． 【变式2-1】下列函数中，与函数 是同一个函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】下列哪一组中的函数 与 是同一个函数？ (1) ，；　　(2) ，； (3) ，． 【变式2-3】已知函数 ，． (1) 求函数 的定义域； (2) 与 是否为同一个函数？请说明理由． 【题型3 求函数值】 【例3】已知函数 ，求 ，，， 的值． 【变式3-1】已知函数 ． (1) 点 在 的图象上吗？ (2) 当 时，求 的值； (3) 当 时，求 的值． 【变式3-2】已知函数 ． (1) 求 ，， 的值； (2) 证明：对任意 ，都有 ． 【变式3-3】已知函数 ． (1) 求 与 的值； (2) 若 （），求 的值． 考点2 函数的定义域 知识点2 函数的定义域 【重难点】★重点：分式、偶次根式、零次幂等常见类型定义域的求法； ▲难点：抽象函数（复合结构）的定义域、含参数的定义域问题． 1．求函数定义域的常见类型：分式的分母不为零；偶次根式的被开方数大于等于零；零次幂的底数不为零；对数的真数大于零；实际问题中需使实际问题有意义． 2．抽象函数　若 的定义域为 ，则 的定义域是使 的 的取值集合；已知 的定义域求 的定义域，即求 的值域． 【题型4 具体函数的定义域】 【例4】已知函数 ． (1) 求函数的定义域； (2) 求 ， 的值； (3) 当 时，求 ， 的值． 【变式4-1】求函数 的定义域． 【变式4-2】求函数 的定义域． 【变式4-3】求函数 的定义域． 【题型5 函数定义域的综合应用（含参数）】 【例5】求下列函数的定义域： (1) ；　　(2) ； (3) ；　　(4) ． 【变式5-1】求下列函数的定义域： (1) ；　　(2) ． 【变式5-2】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________． 【变式5-3】已知函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围． 【题型6 抽象函数（复合结构）的定义域】 【例6】已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域． 【变式6-1】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域． 【变式6-3】(1) 已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域； (2) 已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域． 【题型7 实际问题中的函数与定义域】 【例7】一个圆柱形容器的底面直径是 cm，高是 cm．现向容器内每秒注入某种溶液 cm，求容器内溶液的高度 （单位：cm）关于注入溶液的时间 （单位：s）的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 【变式7-1】矩形的面积为 12．如果矩形的长为 ，宽为 ，周长为 ，求 ， 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域． 【变式7-2】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）6 km 以内（含 6 km），票价 2 元；（2）6 km 以上，每增加 3 km，票价增加 1 元（不足 3 km 的按 3 km 计算）．如果某条线路的总里程为 15 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 【变式7-3】一座小岛距离海岸线上最近的点 的距离为 2 km，从点 沿海岸正东 12 km 处有一城镇．（1）假设一个人驾驶的小艇的平均速度为 3 km/h，步行的速度是 5 km/h，（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点 的距离．请将 表示为 的函数；（2）如果将船停在距点 4 km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到 0.1 h）？ 考点3 函数的表示法 知识点3 函数的表示法 【重难点】★重点：解析法、列表法、图象法与函数解析式的求法； ▲难点：待定系数法、换元法（配凑法）、方程组法（构造思想）． 1．解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2．求函数解析式的常用方法：待定系数法、换元法（配凑法）、方程组法（赋值法）． 3．函数图象的识读：由图象读取定义域、值域、对应关系等信息，实现数形结合． 【题型8 函数的三种表示法】 【例8】某种笔记本的单价是 5 元，买 （）个笔记本需要 元．试用函数的三种表示法表示函数 ． 【变式8-1】某种笔记本的单价是 3 元，买 （）个笔记本需要 元．试用函数的三种表示法表示函数 ． 【变式8-2】一个老师用 5 分制对数学作业评分．一次作业中，第一小组同学按座位序号 1，2，3，4，5，6 的次序，得分依次是 5，3，4，2，4，5．你会怎样表示这次作业的得分情况？用 ， 分别表示序号和对应的得分， 是 的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域和对应关系各是什么？ 【变式8-3】画出定义域为 ，且 ，值域为 ，且 的一个函数的图象．（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别？（2）如果平面直角坐标系中点 的坐标满足 ，，那么其中哪些点不能在图象上？ 【题型9 待定系数法求解析式】 【例9】若 ，且 ，，求 的值． 【变式9-1】若 ，且 ，，求 的值． 【变式9-2】已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式． 【变式9-3】已知函数 满足 ，求 的解析式． 【题型10 换元法（配凑法）求解析式】 【例10】已知 ，求 ． 【变式10-1】已知 ，求 ． 【变式10-2】已知 ，求 ． 【变式10-3】已知 ，求 ． 【题型11 方程组法求解析式】 【例11】已知 ，求 ． 【变式11-1】已知 ，求 ． 【变式11-2】已知 ，求 ． 【变式11-3】已知 ，求 ． 【题型12 函数的图象】 【例12】画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域：（1）；（2）；（3）；（4）． 【变式12-1】画出函数 的图象，并说出函数的定义域、值域． 【变式12-2】画出下列函数的图象：（1）　　(2) ，． 【变式12-3】画出函数 的图象，并求函数在区间 上的值域． 考点4 函数的值域 知识点4 函数的值域与求值域 【重难点】★重点：求函数值域的常用方法（观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法）； ▲难点：含根号或分式的求值域（换元、分离常数），以及由定义域和对应关系逆向确定值域． 1．值域是函数的三要素之一．求函数值域的常用方法有：观察法（直接法）、配方法（二次函数型）、分离常数法（分式 型）、换元法（含根号或整体代换）、图象法（数形结合）． 2．常见函数的值域：一次函数 的值域为 ；二次函数 当 时值域为 ，当 时值域为 ． 【题型13 观察法（直接法）求函数值域】 【例13】求函数 ， 的值域． 【变式13-1】求函数 ， 的值域． 【变式13-2】求函数 ， 的值域． 【变式13-3】求函数 ， 的值域． 【题型14 配方法求函数值域（二次函数型）】 【例14】求函数 的值域． 【变式14-1】求函数 ， 的值域． 【变式14-2】求函数 ， 的值域． 【变式14-3】求函数 ， 的值域． 【题型15 分离常数法求函数值域（分式型）】 【例15】求函数 的值域． 【变式15-1】函数 的值域是（　　） 【变式15-2】求函数 的值域． 【变式15-3】求函数 的值域． 【题型16 换元法求函数值域（含根号型）】 【例16】求函数 的值域． 【变式16-1】求函数 的值域． 【变式16-2】求函数 的值域． 【变式16-3】求函数 的值域． 【题型17 图象法求函数值域（数形结合）】 【例17】求函数 的值域． 【变式17-1】求函数 的值域． 【变式17-2】求函数 的值域． 【变式17-3】求函数 的值域． 考点5 分段函数 知识点5 分段函数 【重难点】★重点：分段函数的求值与解不等式； ▲难点：分段函数的解析式与图象、新定义下的分段函数综合应用． 1．分段函数：在定义域的不同部分上，有不同对应关系的函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数． 2．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段函数值域的并集． 【题型18 分段函数的图象与解析式】 【例18】给定函数 ，，．（1）在同一直角坐标系中画出函数 ， 的图象；（2），用 表示 ， 中的最大者，记为 ．请分别用图象法和解析法表示函数 ． 【变式18-1】已知函数 则 ________． 【变式18-2】已知函数 则不等式 的解集是________． 【变式18-3】给定函数 ，，．（1）画出函数 ， 的图象；（2），用 表示 ， 中的较小者，记为 ，请分别用图象法和解析法表示函数 ． 【题型19 分段函数的综合应用】 【例19】函数 的函数值表示不超过 的最大整数，例如 ，．当 时，写出函数 的解析式，并画出函数的图象． 【变式19-1】已知函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，求 的值． 【变式19-2】已知 ，，用 表示 ， 中的最大者，即 ，请用解析法表示函数 ． 【变式19-3】已知函数 （1）若 ，求 的值；（2）若 在区间 上的值域为 ，求实数 的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 函数的概念及其表示（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：函数的概念与三要素、函数的定义域、函数的表示法、分段函数、函数的值域； ▲难点：对应关系的判断、抽象函数（复合结构）的定义域、函数解析式的求法、分段函数的多解与值域问题． 目录 专题3.1 函数的概念及其表示（期中复习讲义） 1 知识点1 函数的概念与三要素 1 【题型1 函数的概念（对应关系的判断）】 2 【题型2 相等函数的判断】 3 【题型3 求函数值】 4 知识点2 函数的定义域 5 【题型4 具体函数的定义域】 6 【题型5 函数定义域的综合应用（含参数）】 7 【题型6 抽象函数（复合结构）的定义域】 8 【题型7 实际问题中的函数与定义域】 9 知识点3 函数的表示法 10 【题型8 函数的三种表示法】 11 【题型9 待定系数法求解析式】 12 【题型12 函数的图象】 13 知识点4 函数的值域与求值域 14 【题型13 求函数值域】 15 知识点5 分段函数 16 【题型18 分段函数的图象与解析式】 17 【题型19 分段函数的综合应用】 18 考点1 函数的概念 知识点1 函数的概念与三要素 【重难点】★重点：函数的概念、函数的三要素； ▲难点：判断对应关系是否为函数（唯一确定性）． 1．函数的概念：一般地，设 ， 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，． 2．函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 3．相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【题型1 函数的概念（对应关系的判断）】 【例1】给定集合 ，，方程 ． (1) 任给 ，对应关系 使方程 的解 与 对应，判断 是否为函数； (2) 任给 ，对应关系 使方程 的解 与 对应，判断 是否为函数． 【解析】（1）由 得 ．对集合 中的任意一 个数 ，按照此对应关系，在 中都有唯一确定的数 与它对应， ∴ 是函数． （2）由 得 ．当 且 时，一个 对应两个 值，不满足“唯一确定”，∴ 不是函数． 【变式1-1】已知集合 ，给出下列对应关系： A．① B．①② C．①③ D．①②③ ① ；② ；③ ． 其中是从集合 到集合 的函数的是（　　） 【解析】判定依据：对 A 中每个 x，B 中要有唯一确定的 y 与之对应． A：①中每个 x 有唯一对应值，是函数，正确 B：②中一个 x 对应两个值，不是函数，多选 C：③中 时无意义，不是函数，多选 D：②③都不是函数，多选 故选 A． 【变式1-2】已知集合 ，，对应关系 ． (1) 判断 是否为从集合 到集合 的函数，并说明理由； (2) 若把集合 改为 ， 是否仍为从集合 到集合 的函数？请说明理由． 【解析】（1）对 ，都有唯一的 ，∴是 的函数． （2）把 改为 后，仍有 ， ∴仍是 的函数．理由：对应关系的像集包含于值域 ． 【变式1-3】探究是否存在函数 ， 满足下列条件？若存在，请举出一例；若不存在，请说明理由． (1) 定义域相同，值域相同，但对应关系不同； (2) 值域相同，对应关系相同，但定义域不同． 【解析】（1）存在．例如 ，，值域 ； ，，值域 ．二者定义域相同、值域相同， 但对应关系不同． （2）存在．例如 ，定义域 ，值域 ；， 定义域 ，值域 ．二者对应关系相同、值域相同，但定义域不同． 【题型2 相等函数的判断】 【例2】下列函数中哪个与函数 是同一个函数？ (1) ；　(2) ；　(3) ；　(4) ． 【解析】（1），但定义域为 ， 与 的定义域不同，不是同一函数； （2），定义域、对应关系均相同，是同一函数； （3），不是同一函数；（4）， 但定义域为 ，与 不同，不是同一函数．综上，只有（2） 是同一个函数． 【变式2-1】下列函数中，与函数 是同一个函数的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：定义域与对应关系都相同，才是同一个函数． A：（），定义域不同 B：，对应关系不同 C：，定义域 R，与原函数相同，正确 D：（），定义域不同 故选 C． 【变式2-2】下列哪一组中的函数 与 是同一个函数？ (1) ，；　　(2) ，； (3) ，． 【解析】（1） 定义域为 ， ，定义域不同，不是同一函数； （2） 定义域 ， ，定义域不同，不是同一函数； （3） 与 定义域均为 ， 对应关系相同，是同一函数．故（3）是同一个函数． 【变式2-3】已知函数 ，． (1) 求函数 的定义域； (2) 与 是否为同一个函数？请说明理由． 【解析】（1）由 得定义域为 ． （2） 的定义域同样由 得 ．对 ，，两函数定义域相同、对应关系一致， ∴是同一个函数． 【题型3 求函数值】 【例3】已知函数 ，求 ，，， 的值． 【解析】； ；； ，故 ． 【变式3-1】已知函数 ． (1) 点 在 的图象上吗？ (2) 当 时，求 的值； (3) 当 时，求 的值． 【解析】（1），∴点 在图象上； （2）； （3）由 得 ，解得 ． 【变式3-2】已知函数 ． (1) 求 ，， 的值； (2) 证明：对任意 ，都有 ． 【解析】（1），，∴ ； （2）， 故对任意 都有 ． 【变式3-3】已知函数 ． (1) 求 与 的值； (2) 若 （），求 的值． 【解析】（1），； （2） 与 得 ，故 ． 考点2 函数的定义域 知识点2 函数的定义域 【重难点】★重点：分式、偶次根式、零次幂等常见类型定义域的求法； ▲难点：抽象函数（复合结构）的定义域、含参数的定义域问题． 1．求函数定义域的常见类型：分式的分母不为零；偶次根式的被开方数大于等于零；零次幂的底数不为零；对数的真数大于零；实际问题中需使实际问题有意义． 2．抽象函数：若 的定义域为 ，则 的定义域是使 的 的取值集合；已知 的定义域求 的定义域，即求 的值域． 【题型4 具体函数的定义域】 【例4】已知函数 ． (1) 求函数的定义域； (2) 求 ， 的值； (3) 当 时，求 ， 的值． 【解析】（1）由 得定义域为 ． （2）；； ；． 【变式4-1】求函数 的定义域． 【解析】由 得 且 ，定义域为 ． 【变式4-2】求函数 的定义域． 【解析】由 得 且 ，定义域为 ． 【变式4-3】求函数 的定义域． 【解析】由 得 ；由 得 ．故定义域为 ． 【题型5 函数定义域的综合应用（含参数）】 【例5】求下列函数的定义域： (1) ；　　(2) ； (3) ；　　(4) ． 【解析】（1）；（2）；（3） ；（4） 且 ． 【变式5-1】求下列函数的定义域： (1) ；　　(2) ． 【解析】（1）；（2）． 【变式5-2】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________． 【解析】由 定义域 得 ；又 ．故 定义域为 ． 【变式5-3】已知函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围． 【解析】 对任意 恒成立．当 时 成立； 当 时需 且 ，解得 ．综上 ． 【题型6 抽象函数（复合结构）的定义域】 【例6】已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域． 【解析】由 定义域 知 ，解得 ， 故 的定义域为 ． 【变式6-1】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据： 中 整体落在 内． A： 是 的范围，不是 x 的范围 B：由 得 ，正确 C： 没有解出 x 的范围 D： 漏掉了负半段 故选 B． 【变式6-2】已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域． 【解析】 定义域 指 ， 则 ，即 的自变量取值范围为 ， 故 的定义域为 ． 【变式6-3】(1) 已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域； (2) 已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域． 【解析】（1） 定义域 指 ， 则 ，故 定义域为 ； （2） 定义域 ，对 有 ． 【题型7 实际问题中的函数与定义域】 【例7】一个圆柱形容器的底面直径是 cm，高是 cm．现向容器内每秒注入某种溶液 cm，求容器内溶液的高度 （单位：cm）关于注入溶液的时间 （单位：s）的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 【解析】底面积 ．体积 ， 故 ．定义域 ，值域 ． 【变式7-1】矩形的面积为 12．如果矩形的长为 ，宽为 ，周长为 ，求 ， 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域． 【解析】由面积 得 ；周长 ． 【变式7-2】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）6 km 以内（含 6 km），票价 2 元；（2）6 km 以上，每增加 3 km，票价增加 1 元（不足 3 km 的按 3 km 计算）．如果某条线路的总里程为 15 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 【解析】设里程为 ， 票价为 ．分段表示为 （图象为阶梯状，此处略）． 【变式7-3】一座小岛距离海岸线上最近的点 的距离为 2 km，从点 沿海岸正东 12 km 处有一城镇．（1）假设一个人驾驶的小艇的平均速度为 3 km/h，步行的速度是 5 km/h，（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点 的距离．请将 表示为 的函数；（2）如果将船停在距点 4 km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到 0.1 h）？ 【解析】（1）船上时间 ，步行时间 ，故 ； （2）当 时，． 考点3 函数的表示法 知识点3 函数的表示法 【重难点】★重点：解析法、列表法、图象法与函数解析式的求法； ▲难点：待定系数法、换元法（配凑法）、方程组法（构造思想）． 1．解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2．求函数解析式的常用方法：待定系数法、换元法（配凑法）、方程组法（赋值法）． 3．函数图象的识读：由图象读取定义域、值域、对应关系等信息，实现数形结合． 【题型8 函数的三种表示法】 【例8】某种笔记本的单价是 5 元，买 （）个笔记本需要 元．试用函数的三种表示法表示函数 ． 【解析】解析法：，；列表法： : ；: ；图象法： 平面直角坐标系中五个点 ． 【变式8-1】某种笔记本的单价是 3 元，买 （）个笔记本需要 元．试用函数的三种表示法表示函数 ． 【解析】解析法：，；列表法：: ； : ；图象法：五个点 ． 【变式8-2】一个老师用 5 分制对数学作业评分．一次作业中，第一小组同学按座位序号 1，2，3，4，5，6 的次序，得分依次是 5，3，4，2，4，5．你会怎样表示这次作业的得分情况？用 ， 分别表示序号和对应的得分， 是 的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域和对应关系各是什么？ 【解析】用列表法表示：序号 : ； 得分 : ． 是 的函数（每个序号对应唯一得分 ）．定义域 ，值域 ，对应关系如上表． 【变式8-3】画出定义域为 ，且 ，值域为 ，且 的一个函数的图象．（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别？（2）如果平面直角坐标系中点 的坐标满足 ，，那么其中哪些点不能在图象上？ 【解析】画法（示例）：取定义域 除去 、 值域 除去 的连续或分段曲线， 如经过 （挖去）, 等的折线． （1）满足要求的图象不唯一， 差别在于中间段如何连接（只要避开 与 即 可）；（2）坐标满足 且 ， 但 或 的点不能在图象上． 【题型9 待定系数法求解析式】 【例9】若 ，且 ，，求 的值． 【解析】由 ， 解得 ，， 故 ，． 【变式9-1】若 ，且 ，，求 的值． 【解析】由 ， 解得 ，， 故 ． 【变式9-2】已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式． 【解析】设 ．则 ， 故 且 ．解得 或 ．∴ 或 ． 【变式9-3】已知函数 满足 ，求 的解析式． 【解析】已知 ①； 以 代 得 ②．②①得 ， 故 ． 【题型10 换元法（配凑法）求解析式】 【例10】已知 ，求 ． 【解析】配凑法：，所以 ． 【变式10-1】已知 ，求 ． 【解析】令 ，则 ，， 故 ． 【变式10-2】已知 ，求 ． 【解析】令 ，则 且 ，， 所以 （）．故 （）． 【变式10-3】已知 ，求 ． 【解析】，令 ，则 ， 故 （）． 【题型11 方程组法求解析式】 【例11】已知 ，求 ． 【解析】以 代替 得 ．与原式联立， 消去 得 ，故 ． 【变式11-1】已知 ，求 ． 【解析】以 代替 得 ．两式联立消去 ， 得 ，故 ． 【变式11-2】已知 ，求 ． 【解析】以 代替 得 ，即 ． 代入原式得 ，解得 ． 【变式11-3】已知 ，求 ． 【解析】以 代替 得 ．两式联立消去 ， 得 ，故 ． 【题型12 函数的图象】 【例12】画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域：（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1）：过原点的直线，定义域 ， 值域 ；（2）：双曲线，定义域 ，值域 ； （3）：直线，定义域 ，值域 ；（4） ：开口向上抛物线，定义域 ， 值域 ．（图象略） 【变式12-1】画出函数 的图象，并说出函数的定义域、值域． 【解析】：开口向下抛物线， 顶点 ，与 轴交于 ．定义域 ，值域 ． 【变式12-2】画出下列函数的图象：（1）　　(2) ，． 【解析】（1）： 在 处由 跳变到 的阶梯（阶跃）图象； （2）：三个离散点 ． 【变式12-3】画出函数 的图象，并求函数在区间 上的值域． 【解析】．在 上递减、 上递增；最小值在 或 处为 ， 最大值在 处为 ．故区间 上的值域为 ． 考点4 函数的值域 知识点4 函数的值域与求值域 【重难点】★重点：求函数值域的常用方法（观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法）； ▲难点：含根号或分式的求值域（换元、分离常数），以及由定义域和对应关系逆向确定值域． 1．值域是函数的三要素之一．求函数值域的常用方法有：观察法（直接法）、配方法（二次函数型）、分离常数法（分式 型）、换元法（含根号或整体代换）、图象法（数形结合）． 2．常见函数的值域：一次函数 的值域为 ；二次函数 当 时值域为 ，当 时值域为 ． 【题型13 观察法（直接法）求函数值域】 【例13】求函数 ， 的值域． 【解析】由 得 ，所以 ． 故值域为 ． 【变式13-1】求函数 ， 的值域． 【解析】由 得 ，所以 ．故值域为 ． 【变式13-2】求函数 ， 的值域． 【解析】当 时 ， 随 增大而减小，得 ； 当 时 ，得 ．两段取并集，值域为 ． 【变式13-3】求函数 ， 的值域． 【解析】 在 上单调递减，所以 时 取最大值 ， 时 取最小值 ．故值域为 ． 【题型14 配方法求函数值域（二次函数型）】 【例14】求函数 的值域． 【解析】配方得 ．因为 ，所以 ，故值域为 ． 【变式14-1】求函数 ， 的值域． 【解析】配方得 ，对称轴 ． 时 取最大值 ； 时 ， 时 ，故最小值 ．值域为 ． 【变式14-2】求函数 ， 的值域． 【解析】配方得 ，对称轴 ，最小值为 ． 又 时 ， 时 ，最大值为 ．值域为 ． 【变式14-3】求函数 ， 的值域． 【解析】配方得 ，对称轴 ，最小值为 ． 时 ， 时 ，最大值为 ．值域为 ． 【题型15 分离常数法求函数值域（分式型）】 【例15】求函数 的值域． 【解析】．因为 ，所以 ， 故值域为 ． 【变式15-1】函数 的值域是（　　） 【解析】判定依据：先分离常数，再看分母不为零造成的「缺值」． A： 漏掉了大于 2 的部分 B： 只是值域的一部分 C：， 得 ，正确 D： 忽略了 这一限制 故选 C． 【变式15-2】求函数 的值域． 【解析】．因为 ，所以 ， 故值域为 ． 【变式15-3】求函数 的值域． 【解析】．因为 ，所以 ， 故值域为 ． 【题型16 换元法求函数值域（含根号型）】 【例16】求函数 的值域． 【解析】令 ，则 ，于是 ． 因为 ，所以 （当 即 时取等）．故值域为 ． 【变式16-1】求函数 的值域． 【解析】令 ，则 ，于是 ． 因为 ，所以 （当 即 时取等）．值域为 ． 【变式16-2】求函数 的值域． 【解析】令 ，则 ，于是 ． 因为 ，所以当 （即 ）时 取最小值 ． 值域为 ． 【变式16-3】求函数 的值域． 【解析】令 ，则 ，于是 ． 因为 ，所以 （当 即 时取等）．值域为 ． 【题型17 图象法求函数值域（数形结合）】 【例17】求函数 的值域． 【解析】当 时，；当 时， ；当 时，．所以 ， 值域为 ． 【变式17-1】求函数 的值域． 【解析】当 时，；当 时，； 当 时，．故值域为 ． 【变式17-2】求函数 的值域． 【解析】．因为 ， 所以当 时 取最小值 ，故值域为 ． 【变式17-3】求函数 的值域． 【解析】当 时，；当 时， ，得 ；当 时，． 故值域为 ． 考点5 分段函数 知识点5 分段函数 【重难点】★重点：分段函数的求值与解不等式； ▲难点：分段函数的解析式与图象、新定义下的分段函数综合应用． 1．分段函数：在定义域的不同部分上，有不同对应关系的函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数． 2．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段函数值域的并集． 【题型18 分段函数的图象与解析式】 【例18】给定函数 ，，．（1）在同一直角坐标系中画出函数 ， 的图象；（2），用 表示 ， 中的最大者，记为 ．请分别用图象法和解析法表示函数 ． 【解析】解 得 或 ．当 时 ； 当 时 ；当 时 ． 故 （图象： 在 与 取抛物线段，在 取直线段，略）． 【变式18-1】已知函数 则 ________． 【解析】（）；； ．∴ ． 【变式18-2】已知函数 则不等式 的解集是________． 【解析】：当 时 ， 得 ；当 时 ．故解集为 ． 【变式18-3】给定函数 ，，．（1）画出函数 ， 的图象；（2），用 表示 ， 中的较小者，记为 ，请分别用图象法和解析法表示函数 ． 【解析】解 得 或 ．当 时 ； 当 时 ；当 时 ． 故 （图象略）． 【题型19 分段函数的综合应用】 【例19】函数 的函数值表示不超过 的最大整数，例如 ，．当 时，写出函数 的解析式，并画出函数的图象． 【解析】当 时， 分段为：； ；；；；；． 解析法：（阶梯图象略）． 【变式19-1】已知函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，求 的值． 【解析】 表示不超过 的最大整数， 故 ，，∴ ． 【变式19-2】已知 ，，用 表示 ， 中的最大者，即 ，请用解析法表示函数 ． 【解析】解 得 ．当 时 ； 当 时 ．故 【变式19-3】已知函数 （1）若 ，求 的值；（2）若 在区间 上的值域为 ，求实数 的值． 【解析】（1）：若 ，（舍去，不满足 ）； 若 ， 或 （舍去），故 ． （2） 在 上 ， 在 上 从 增至 ．要使值域为 ， 需最大值 ，即 （）．故 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $