期中复习专题07 函数单调性及其最值【知识清单+12大考点+强化训练】讲义-2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

专题07 函数单调性及其最值 知识点1：函数的单调性 (1)一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． (2)函数的单调区间：如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间． 【注意】定义中x1，x2有三个特征： ①x1，x2属于同一个区间； ②任意性，x1与x2不能用I上的特殊值代替； ③有序性，通常规定x1<x2. 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号． (4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性． 由函数单调性求参数范围的方法 (1)由函数解析式求参数 (2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a)<f (b)⇔ ②方法：依据函数单调性去掉符号“f ”，转化为不等式问题求解． 知识点2：单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点3：函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f (x)≤M f (x)≥M ∃x0∈D，使得f (x0)＝M 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 几何意义 f (x)图象上最高点的纵坐标 f (x)图象上最低点的纵坐标 【注意】函数f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标． 知识点4：函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b). (2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个． 考点一 证明函数的单调性 考点二 求函数的单调性 考点三 利用图像求解函数的单调性 考点四 复合函数的单调性 考点五 利用函数的单调性求参数 考点六 利用函数的单调性解不等式 考点七 利用函数的单调性比较大小 考点八 利用函数的单调性求最值或值域 考点九 利用函数的单调性求最值或值求参数 考点十 函数不等式恒成立、能成立问题 考点十一 解分段函数不等式 考点十二 分段函数的值域或最值 考点一 证明函数的单调性 1．（25-26高一上·陕西安康·期中）已知函数（）的图象经过点. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数在区间单调性，并用定义证明. 2．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数，且. (1)求的值. (2)用定义法证明函数在上是增函数. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）证明函数在定义域上是增函数． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）判断函数的单调性并证明． 考点二 求函数的单调性 5．（26-27高一上·浙江绍兴·阶段检测）函数的单调递减区间是______. 6．（25-26高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 7．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）函数的单调递减区间为______. 考点三 利用图像求解函数的单调性 9．（25-26高一上·上海·课堂例题）下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像写出的单调区间，以及在每个单调区间上，是增函数还是减函数． 10．（2026高二下·福建·学业考试）已知函数在上的图象如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 12．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 考点四 复合函数的单调性 13．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）下列说法正确的是（ ） A．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 B．若函数的定义域是，则函数的定义域是 C．函数的单调递增区间为 D．已知实数a，b满足，，则3a + b的取值范围是 考点五 利用函数的单调性求参数 17．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·山东烟台·阶段检测）(1)已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是________． (2)若函数在上不单调，则实数b的取值范围为_______ 19．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 20．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点六 利用函数的单调性解不等式 21．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设函数则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 22．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数，且. (1)求a的值： (2)用定义证明函数在区间上单调递增； (3)在区间上，若函数满足，求实数m的取值范围. 23．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考点七 利用函数的单调性比较大小 25．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·全国·随堂练习）若函数在上是减函数，则的大小关系为______. 28．（25-26高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 考点八 利用函数的单调性求最值或值域 29．（26-27高一上·天津东丽·阶段检测）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 30．（26-27高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)求，的值； (3)求当时，的值域． 31．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知，，则函数的值域为______ 32．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 考点九 利用函数的单调性求最值或值求参数 33．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 34．（25-26高一上·广东湛江·期中）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 36．（26-27高一上·上海·期中）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________. 考点十 函数不等式恒成立、能成立问题 37．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 38．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 39．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 40．（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数且满足． (1)求的值； (2)用定义判断并证明在上的单调性； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 考点十一 解分段函数不等式 41．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 43．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，，则不等式的解是___________. 44．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点十二 分段函数的值域或最值 45．（26-27高一上·浙江杭州·阶段检测）已知函数，，若函数，则的最大值为_____________． 46．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．（2026·北京石景山·一模）设函数，当时，的值域为______；若方程有两个不同的解，则实数的一个取值可以是______. 48．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 2．（25-26高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 3．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 4．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）定义为，，中的最小值；设，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数，其中，若，都有成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·广东中山·阶段检测）（多选）下列函数中，值域正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 10．（25-26高一上·江西南昌·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 11．（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）已知连续函数满足：①，则有；②当时，；③，则以下说法中正确的是（    ） A． B． C．在上的最大值是7 D．不等式的解集为 12．（26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别是________. 13．（26-27高三上·山西·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 14．（25-26高二下·天津红桥·期末）设函数，满足，且对任意实数x均有，当时，若是单调函数，则实数k的取值范围为________． 15．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 16．（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设． (1)若对于，恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数单调性及其最值 知识点1：函数的单调性 (1)一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． (2)函数的单调区间：如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间． 【注意】定义中x1，x2有三个特征： ①x1，x2属于同一个区间； ②任意性，x1与x2不能用I上的特殊值代替； ③有序性，通常规定x1<x2. 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号． (4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性． 由函数单调性求参数范围的方法 (1)由函数解析式求参数 (2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a)<f (b)⇔ ②方法：依据函数单调性去掉符号“f ”，转化为不等式问题求解． 知识点2：单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点3：函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f (x)≤M f (x)≥M ∃x0∈D，使得f (x0)＝M 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 几何意义 f (x)图象上最高点的纵坐标 f (x)图象上最低点的纵坐标 【注意】函数f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标． 知识点4：函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b). (2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个． 考点一 证明函数的单调性 考点二 求函数的单调性 考点三 利用图像求解函数的单调性 考点四 复合函数的单调性 考点五 利用函数的单调性求参数 考点六 利用函数的单调性解不等式 考点七 利用函数的单调性比较大小 考点八 利用函数的单调性求最值或值域 考点九 利用函数的单调性求最值或值求参数 考点十 函数不等式恒成立、能成立问题 考点十一 解分段函数不等式 考点十二 分段函数的值域或最值 考点一 证明函数的单调性 1．（25-26高一上·陕西安康·期中）已知函数（）的图象经过点. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数在区间单调性，并用定义证明. 【答案】(1)，； (2) 在区间上单调递减.证明如下： 由（1）知，函数， 任取，且， 则， 因为，可得，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 【分析】（1）将点代入解析式求得，求得解析式，得解； （2）利用函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 可得，解得，所以， 可得，所以. （2）略 2．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数，且. (1)求的值. (2)用定义法证明函数在上是增函数. 【答案】(1)1； (2) 由（1）知，，任意， ， 当时，，则，即， 所以函数在上是增函数. 【分析】（1）根据给定条件，代入计算即得. （2）利用增函数的定义推理得证. 【详解】（1）函数，由，得，所以. （2）略 3．（25-26高一上·全国·课前预习）证明函数在定义域上是增函数． 【答案】 证明：函数的定义域是．任取，则 ． ∵，∴，． ∴，即． 故在上是增函数． 【分析】按单调性定义，当时，用作差法判断与的大小，从而完成证明. 【详解】略 4．（25-26高一上·全国·课前预习）判断函数的单调性并证明． 【答案】在上单调递增，证明： 设，，且，则 ． ∵，∴，且，， 故，即． 由定义知，在定义域上单调递增． 【分析】利用函数单调性定义证明. 【详解】略 考点二 求函数的单调性 5．（26-27高一上·浙江绍兴·阶段检测）函数的单调递减区间是______. 【答案】 【分析】通过分段去绝对值的方式分析该函数的单调性，从而得解. 【详解】当时，，因此，这是斜率为1的一次函数，在该区间上单调递增； 当时，，因此，这是斜率为-1的一次函数，在该区间上单调递减. 因此函数的单调递减区间是. 6．（25-26高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 【答案】单调递增区间为和，递减区间为和，值域为. 【分析】去绝对值，对函数进行分段，然后作出图像，根据函数图像确定单调区间及值域. 【详解】 即 图象如图所示 由图象知，函数在和上是增函数， 在和上是减函数,, 所以函数的单调递增区间为和， 递减区间为和， 值域为. 7．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 8．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）函数的单调递减区间为______. 【答案】 【分析】将绝对值函数转化为分段函数形式，作出函数图像，结合图像可知单调递减区间. 【详解】 画出函数图象，如图可知， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增， 综上所述函数的单调递减区间为. 故答案为： 考点三 利用图像求解函数的单调性 9．（25-26高一上·上海·课堂例题）下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像写出的单调区间，以及在每个单调区间上，是增函数还是减函数． 【答案】单调区间分别为，，，且在区间，上是减函数，在区间，上是增函数 【分析】观察图像得到单调区间即可，判断函数增减性即可. 【详解】由题中图像可以看出的单调区间分别为，，，， 且在区间，上是减函数，在区间，上是增函数． 10．（2026高二下·福建·学业考试）已知函数在上的图象如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 11．（2026高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象判断单调区间即可. 【详解】由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 12．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 考点四 复合函数的单调性 13．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 14．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数定义域，再由二次函数单调性及幂函数单调性求解. 【详解】由解得， 又当时，单调递减， 所以的单调递减区间为， 故选：B 15．（25-26高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 设，则， 函数的对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，且， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 函数在区间上单调递减，且， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为， 故选：C 16．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）下列说法正确的是（ ） A．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 B．若函数的定义域是，则函数的定义域是 C．函数的单调递增区间为 D．已知实数a，b满足，，则3a + b的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由不等式的解集，得到的关系，代入不等式求解即可；对于B，由函数的定义域求函数的定义域；对于C，结合函数定义域，求复合函数的单调递增区间；对于D，利用同向不等式相加，求的取值范围. 【详解】对于A，关于x的不等式的解集为， 则有，得， 不等式，即，得，解得， 所以不等式的解集为，A选项正确； 对于B，若函数的定义域是，则函数中，有， 解得，即函数的定义域是，B选项正确； 对于C，函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数的定义域为， 所以函数单调递增区间为，C选项错误； 对于D，已知，则有，与两式相加， 得，即的取值范围是 ，D选项正确. 故选：ABD. 考点五 利用函数的单调性求参数 17．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数为上的严格减函数，再分别保证两段函数在对应区间单调递减，且分段点处左段函数值不小于右段函数值，联立不等式求解即可. 【详解】由对任意恒成立，可知是上的严格单调递减函数，需满足三个条件： 当时，一次函数单调递减，故斜率，解得； 当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴位于区间的右侧，即，解得； 在分段点处，左段函数在处的取值不小于右段函数在处的取值， 即，化简得，解得. 联立上述三个不等式取交集，得，即. 18．（26-27高三上·山东烟台·阶段检测）(1)已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是________． (2)若函数在上不单调，则实数b的取值范围为_______ 【答案】 【分析】利用开口向上的二次函数以对称轴为界左减右增的单调性规律，结合给定区间的单调性要求列不等式求解参数范围. 【详解】（1） 函数为开口向上的二次函数对称轴为. 若函数在区间上具有单调性，则对称轴不能落在区间内部， 需满足 或，解得或. 故的取值范围是. （2） 函数为开口向上的二次函数，对称轴为. 若函数在区间上不单调，则对称轴需落在区间内部， 需满足 ，解得. 故的取值范围是. 19．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】结合函数定义域与二次函数单调性计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 20．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 考点六 利用函数的单调性解不等式 21．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设函数则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的值，再分和两种情况分别求解不等式，最后合并两类解集得到结果. 【详解】时，，原不等式等价于。 分情况讨论： 当时，，不等式转化为， 整理得，因式分解为， 解得或，根据，得该区间内解集为或； 当时，，不等式转化为， 解得，根据，得该区间内解集为， 综上所述不等式的解集是. 22．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数，且. (1)求a的值： (2)用定义证明函数在区间上单调递增； (3)在区间上，若函数满足，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)由（1）知， 任取，，且，     则，    ∵，∴，，    ∴，即， ∴在区间上单调递增. (3) 【详解】（1）∵， ∴， ∴. （2）略 （3）∵在区间上单调递增， ∴在区间上单调递增， 由题意可知. 解得，即实数m的取值范围是. 23．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 24．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 考点七 利用函数的单调性比较大小 25．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可． 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 26．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 27．（25-26高一上·全国·随堂练习）若函数在上是减函数，则的大小关系为______. 【答案】 【分析】结合单调性比较大小. 【详解】因为函数在上是减函数，且，所以有. 故答案为： 28．（25-26高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性和不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，， 又因为在R上严格增，所以，， 所以. 故选：A． 考点八 利用函数的单调性求最值或值域 29．（26-27高一上·天津东丽·阶段检测）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由，，得，即，解得或. 当时，，得，则；由二次函数在上单调递减，则； 当时，，得，则；由一次函数在上单调递减，则； 当时，，得，则；由二次函数在上单调递增，则； 综上所述，，得的最小值为. 30．（26-27高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)求，的值； (3)求当时，的值域． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）令，根据条件代入即可求解； （2）利用（1）中结果，将代入即可求解； （3）利用分段函数的性质，分别求出和的值域，即可求解. 【详解】（1）令，得，代入原式得， 所以. （2）由（1）知， 所以，. （3）因为，当时，；当时，， 又，当时，在区间上单调递增， 又，，所以当时，， 当时，在区间上单调递增，又，， 所以当时，， 综上，当时，的值域. 31．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知，，则函数的值域为______ 【答案】 【分析】先得出，再作出其图象求解. 【详解】由题意，， 得：， 其图象，如图所示：    由图象知：函数的值域为， 故答案为： 32．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【分析】令，结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可. 【详解】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 考点九 利用函数的单调性求最值或值求参数 33．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 34．（25-26高一上·广东湛江·期中）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的值域为，得到不等式求解的取值范围. 【详解】当时，，值域为，不满足题意，故， 因为的值域为，所以， 解得，即的取值范围是. 故选：D. 35．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 36．（26-27高一上·上海·期中）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________. 【答案】 【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值. 【详解】①若时，即当时，， 因为二次函数开口向上且对称轴为直线， 所以函数在上单调递减，且， 当时，，且，此时，函数无最小值； ②若时，即当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以，整理可得，， 解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以，整理可得， 因为，解得或（舍去）， 综上所述，实数的取值集合为. 考点十 函数不等式恒成立、能成立问题 37．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得出，再根据单调性求得，即可求解的范围． 【详解】，对称轴为，在上单调递增，故， 因为在上单调递增()，所以， 要使恒成立，只需，即的取值范围为． 38．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【分析】将不等式转化为，根据对勾函数的单调性求解. 【详解】由题意，对于任意，都有成立， 所以即对于任意恒成立， 所以只需，的最大值与最小值的差小于2即可， 当时，在上单调递减，则， 解得，不合题意； 当时，在上单调递增，则，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 综上，． 39．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 40．（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数且满足． (1)求的值； (2)用定义判断并证明在上的单调性； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 任取，且，则． 因为，所以，且，即， 所以，即， 故在上单调递增． (3)2 【分析】(1) 将代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可求出参数的值; (2) 由第一问求得函数解析式，利用单调性定义证明：设，作差并对差式变形，判断差值正负，从而证明函数在上单调递增； (3) 由第二问可知在上单调递增，求得区间上最大值为；将 “存在，使得成立” 转化为，解不等式求出的最大值. 【详解】（1），． 由，得，故． 此时. （2）略. （3）由（2）知在上单调递增，故在上单调递增， 于是在上的最大值为． “存在，使得成立”等价于在上的最大值不小于，即，解得． 所以实数的最大值为2. 考点十一 解分段函数不等式 41．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 42．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 43．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，，则不等式的解是___________. 【答案】 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 44．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先以分段点 划分 的讨论区间，再在每个区间代入对应函数表达式化简不等式，求解后取交集得到各区间有效解，最后合并所有解即可得到 的取值范围. 【详解】当 即 时， ，函数表达式为 ， 则， 所以， 所以，即， 所以 . 当 即 时，，， 所以，， 即，解得 或 ， 结合 ，得 . 当 时，，函数表达式为 ，该函数单调递减， 所以，即， 所以，因为，所以此式恒成立，故 满足条件. 综上所述：或或，即或. 所以 的取值范围是 . 故选：B. 考点十二 分段函数的值域或最值 45．（26-27高一上·浙江杭州·阶段检测）已知函数，，若函数，则的最大值为_____________． 【答案】6 【分析】根据题意画出函数的图象，结合图象即可得最大值. 【详解】因为，， 且，， 画出函数的图象（实线部分），    由图象可得，当时，取得最大值6. 46．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当时，，此时， 当时，， 所以的最大值为． 因为对任意恒成立， 所以，即， 整理得，用数轴穿根法解得或， 即实数的取值范围是． 47．（2026·北京石景山·一模）设函数，当时，的值域为______；若方程有两个不同的解，则实数的一个取值可以是______. 【答案】 （只需满足即可） 【分析】当时，化简函数的解析式，分别求出在、上的值域，即可得出函数的值域；分析可知，讨论不符合题意，则，可知函数在、上都单调，分别求出方程在和时的解，可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 当时，. 故当时，函数的值域为； 由题意可知， 当时，， 当时，由可得， 当时，恒成立，此时无解， 故当时，方程有且只有一个实数解，不合乎题意； 因为函数在上单调递增， 当时，函数在上单调， 因为方程有两个不同的解，所以方程在和时各有一解， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以，解得， 综上所述，. 故实数a的一个取值可以是（只需满足即可）. 48．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 1．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 2．（25-26高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 3．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 4．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意所求变为或，求解即可得答案． 【详解】因为是定义在上的减函数，且， 所以当时，，当时，， 由， 得或， 即或， 解得或，所以解集为． 故选：C． 5．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）定义为，，中的最小值；设，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求三个函数、、的交点，再根据交点划分区间，并求函数，结合图象可得函数最大值. 【详解】因为是三个函数、、中的较小者， 我们先求出三条曲线的交点划分定义域： 令，解得； 令，解得或； 令，解得，； 当时，， 所以不是函数的分段点； 当时：，，所以是函数的分段点； 当时，因为，所以此时最小的不是， 所以不是函数的分段点； 当时，， 所以是函数的分段点； 综上所述，，是函数的分段点. 当时：是上升的，是下降的，最小的是， 即，； 当时：是最小的，，； 当时，三者中最小的是，是上升的，； 即，且有最大值. 综上，有最大值. 6．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性，结合一次函数，二次函数的单调性列出不等式组求解． 【详解】依题意得，，解得， 故实数的取值范围是． 7．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数，其中，若，都有成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，由，可得在时恒成立，通过构造函数求的下确界即得. 【详解】函数，若，都有成立， 则有，即， 变形为， 当时，，则恒成立， 故只需，即在时恒成立， 令，则， 因函数在时单调递增，则有， 则，所以. 故的取值范围是. 8．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的定义域为，确定一元二次不等式的解集为，确定的符号，以及一元二次方程的两个根，根据韦达定理建立，与的关系；再结合的值域为，得到二次函数在上的最大值为4，利用二次函数的性质求出参数，，的值；代入分式不等式，求解得到解集. 【详解】函数的定义域为， 一元二次不等式的解集为； ，和是一元二次方程的两个根； ，解得，. 函数的定义域和值域均为， 二次函数在上的取值范围为. 得二次函数的对称轴为； 又，，当时，取得最大值，即，解得. . 将，代入不等式，得，整理得； ，解得，即不等式的解集为. 9．（26-27高一上·广东中山·阶段检测）（多选）下列函数中，值域正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】选项A用配方法并结合“区间右端点取不到“判断值域；选项B用分离常数法化为，注意函数值不能等于2；选项C用换元把函数化成二次函数后求值域；选项D由单调性直接求最小值． 【详解】对于A项，,当时，处取到最小值2；当x趋近于3时y趋近于6，但不在区间内，6取不到，所以值域为，故A正确． 对于B项，，因为能取到除0外的一切实数，所以y的值域为，故B正确． 对于C项，令，则，，所以值域为，故C错误． 对于D项，函数定义域为，且与都在上单调递增， 故y在处取最小值，值域为，故D正确． 10．（25-26高一上·江西南昌·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于A，利用复合函数单调性即可判断，对于B由即可判断，对于C令，则，根据的情况，分类讨论即可判断，对于D，由对恒成立，根据的情况，分类讨论即可判断. 【详解】对于A，若，，令， 由得或， 则函数的定义域为， 在单调递增，且在单调递增， 所以函数的递增区间为，故A错误； 对于B，由，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，若的值域为，令，则， 当时，，解得，满足题意， 当时，，所以， 当时，不满足题意，所以，故C正确； 对于D，若的定义域为，则对恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，，所以，故D错误. 11．（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）已知连续函数满足：①，则有；②当时，；③，则以下说法中正确的是（    ） A． B． C．在上的最大值是7 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算判断AB；利用函数单调性定义，结合AB中信息确定函数的单调性，再求出指定区间上最大值判断C；利用单调性求解不等式判断D. 【详解】对于A，由，，令，则，解得，A正确； 对于B，令，则， 因此，B错误； 对于C，设任意且，则，而当时，， 于是，， 函数在上单调递减，当时，， 又，，解得，因此，C正确； 对于D，由，，得， 则，即，于是， 即，则，解得，因此原不等式的解集为，D正确. 故选：ACD 12．（26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别是________. 【答案】，1 【分析】对分式函数分离常数，判断区间上单调性，再代入区间端点求得最值. 【详解】， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，. 13．（26-27高三上·山西·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先由给定不等式，判断出是整个实数域上的单调递减函数.分别让段的二次函数满足对称轴在区间右侧、段的反比例函数满足系数为正，保证两段各自单调递减.再验证分段点处左侧函数值不小于右侧极限值，衔接两段单调性，联立条件解得的取值范围. 【详解】题干中条件对任意不等实数恒成立，则函数在R上是严格单调递减函数， 故是开口向上的抛物线，其对称轴为，即： ; 在上递减的充要条件是系数， 且 整理得, 综合三个条件，得的取值范围是. 14．（25-26高二下·天津红桥·期末）设函数，满足，且对任意实数x均有，当时，若是单调函数，则实数k的取值范围为________． 【答案】或 【分析】先根据已知条件求出的值，然后根据二次函数的单调性求出结果. 【详解】因为，所以，即， 因为对任意实数x均有，所以，即. 解得. 所以函数的表达式为，所以. 设，要使得是上的单调函数，只要 或或或 解得或. 15．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 (3) 【分析】（1）直接代入参数解一元二次不等式； （2）先对二次式因式分解，按正负、与大小关系分类讨论写出解集； （3）利用二次函数单调性，结合开口方向、对称轴位置列不等式求的范围． 【详解】（1）当时，，解得， 所以当时，不等式的解集为； （2）， 当时，，， 所以不等式的解集为； 当时，，， 所以不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，，， 所以不等式的解集为． （3）因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 16．（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设． (1)若对于，恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. (3) 【分析】（1）对恒成立的不等式变形并分离参数，利用二次函数及不等式的性质求出最小值即可. （2）等价变形给定不等式，再按参数取值情况分类求出解集. （3）利用一次函数、二次函数性质，结合恒成立求出的关系式，再利用不等式性质求出最大值，进而验证即可. 【详解】（1）函数，当时，， ，不等式恒成立，而，则， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 当时，，，解得； 当时，恒成立，； 当时，，而，不等式恒成立，； 当时，不等式为，解得； 当时，，由，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3）不等式 ，依题意，，，不等式恒成立， 由，得函数在上单调递增，则， 即对任意恒成立，令函数， 因此二次函数在上的函数值恒小于等于0，则， 即，于是，当且仅当，即时取等号， 当时，，对任意成立， 所以的最大值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $