专题六 函数的基本性质期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册《真题淬炼·题型通关》

人教A版高一上期中专项复习 · 专题六 函数的基本性质 全国各地市期中真题精选 · 14 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 奇偶性的判断与证明 奇偶性与单调性综合 · 奇偶性判断 · 奇偶性求参 2026杭师大附中期中 4 题 奇偶性求值与消元技巧 奇偶性求值 · 奇偶性应用 2025江阴成化中学期中 4 题 由奇偶性求解析式与求参 由奇偶性求解析式 · 奇偶性求参 2026南阳六校期中 4 题 抽象函数的赋值法 抽象函数 2026南师附中期中 5 题 对称性与周期性 对称性与周期 2026襄阳四中期中 4 题 函数性质综合多选 奇偶性与单调性综合 · 函数性质综合 2025福建三明二中期中 4 题 函数新定义 函数新定义 2026云南华坪一中期中 5 题 单调性的定义证明 单调性判断与证明（定义法四步） 2026云南龙陵一中期中 5 题 求单调区间 求单调区间（含复合函数、对勾函数） 2026南阳六校期中 4 题 单调性比较大小 单调性比较大小 2025重庆一中期中 3 题 由单调性解不等式 单调性解不等式（脱 f 号） 2026河南省实验中学期中 4 题 单调性含参与分段单调 单调性含参 · 复合函数单调性 · 分段单调 2026湖南师大附中期中 5 题 函数最值与单调综合 最值与单调性结合 2026绿城育华学校期中 4 题 幂函数的图象与性质 幂函数图象与性质 2026杭高三校区期中 5 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 单调性：设函数 的定义域为 ，区间 ，若对任意 ，当 时都有 ，则 在 上单调递增；若都有 则单调递减；"任意"二字不可换成"存在"，这是判断与证明的唯一依据。 2. 单调区间：单调性是区间上的性质，说单调必须先指明区间；多个单调区间要用逗号或"和"分开写，不能用 连接；单调区间必须是定义域的子集。 3. 函数的最值：若存在 ，对任意 都有 ，则 为最大值；最值必须"取得到"，开区间端点或渐近值只能叫上（下）界。 4. 奇偶性：对定义域内任意 ， 恒成立为偶函数， 恒成立为奇函数；前提是定义域关于原点对称；既是奇又是偶 定义域关于原点对称且 恒成立。 5. 对称性： 图象关于直线 对称； 图象关于点 对称。 6. 周期性：若存在非零常数 ，对定义域内任意 都有 ，则 是周期函数， 为一个周期。 7. 幂函数：形如 （ 为常数）的函数，特征是系数为 、底为单一变量；、、 都不是幂函数。 8. 复合函数：由 与 复合成 ，其定义域是使 落在 定义域内的 集合，求单调区间受双重限制。 9. 新定义函数：题目给出新记号或新规则（如 、新运算），本质是按规则把新函数化归为分段函数或已知函数后再研究性质。 10. 抽象函数：只给出函数方程（如 ）而不给解析式的函数，研究工具是赋值法与单调性定义。 ▍二、法则与公式 1. 单调性四则（同一区间 内）：增+增=增；减+减=减；增×正常数=增；增×负常数=减；增−减=增；同向叠加结论可靠，积商结论须限定符号，如 同增且 时 才递增。 2. 复合函数 ：内层 与外层 单调性"同增异减"；求单调区间要先求内层值域作外层定义域。 3. 差商判别：对 ， 递增， 递减；差商与常数比较（如 ）时构造 。 4. 奇偶函数运算：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇； 与 、 的奇偶性须按定义逐项验证。 5. 奇偶函数图象性质：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 轴对称；奇函数在 处有定义则 ；奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反。 6. 轴对称： 对称轴 ；一般地 对称轴 ； 为偶函数 关于 对称。 - 点对称： 图象关于点 对称；一般地 关于点 对称。 7. 周期公式： 周期 ； 周期 ； 或 （） 周期 。 8. 周期与对称联动：同时关于直线 与 对称 周期 。 - 同时关于点 与 对称 周期 ；同时关于点 与直线 对称 周期 。 9. 幂函数 五类图象特征（ 时图象过 与 ， 时只过 ；第一象限内直线 上方 、直线下方过原点 、向两轴弯曲 ）： - ：过原点的直线 ，奇函数；：抛物线 ，偶函数； - ：立方曲线 ，奇函数，在 上递增； - ：半抛物线 ，非奇非偶，只在第一象限，过原点递增； - ：双曲线 ，奇函数，不过原点，一、三象限各一支递减。 10. 最值与恒成立互化："对任意 、任意 有 " ；"存在 、任意 使 " ；"任意 、存在 "型 。 ▍三、方法技巧 1. 单调性的定义证明：取值（任取 ）→ 作差 → 变形（通分、因式分解，化成若干因式乘积）→ 定号（逐因式写明符号依据）→ 下结论；每步带依据，不得只写"显然"。 2. 求单调区间三件事：先求定义域；复合函数按"同增异减"内外层搭配；含绝对值的先化为分段再判断；结果用逗号或"和"分写，不用并集；含参时让给定区间整体落在某个单调区间内列不等式。 3. 单调性比较大小：先用奇偶性把负自变量化正（如 ），再用对称性化到同一单调区间（如 ），最后按增减方向定序；结构为 、 时先构造新函数判其单调性再比。 4. 由单调性解不等式（脱 号三查）：一查两侧自变量是否都落在 的同一单调区间内；二查单调方向（增函数 ，减函数不等号反向）；三查需否先用奇偶性移项化形（如奇函数 ）；形如 的先构造 把常数凑成 的函数值再脱号。 5. 单调性含参与分段单调：分段函数单调"先保各段、再保衔接"——二次段看对称轴与区间的位置、对数段看底 或 ，再列分段点衔接不等式（递增时左段上端值不大于右段起点值，递减时相反）；复合函数含参先定内层单调再按"同增异减"配对，勿忘被开方数非负等定义域限制。 6. 函数最值与单调综合：先证单调或用对勾、二次函数的单调性定位最值，再回答最值问题；单调函数在闭区间 上两端点处取最大与最小值；含 的值域先写 的值域再去绝对值分段讨论；"任意/存在"恒成立按法则10化为最值比较。 7. 幂函数的图象与性质：第一步待定系数——设 代已知点解 （若有系数 ，令 且按定义域、奇偶性筛选根）；第二步查性质——按 正负定是否过原点、按最简分数 中 的奇偶定奇偶性、按 与 的大小定图象与直线 的上下位置；图类题按定义域→奇偶性→凸向→与 位置逐一排除。 8. 奇偶性三题型（判断与应用／求值与求解析式／与单调性综合）： - 判断与应用：第一步查定义域是否关于原点对称，第二步对任意 化简 到 ；含 的常分子有理化（相乘得 ）；应用时先转化 再用单调性脱号。 - 求值与求解析式：已知 且 偶 奇，用 代换得 ，联立解得 ，；分段奇函数求 段用 ，并单独补 。 - 与单调性综合：判定顺序"先定义域、再奇偶性、后单调性"，利用"奇函数在对称区间上单调性相同、偶函数相反"把单调区间扩展到整个定义域，最后脱号解不等式或比较大小。 9. 抽象函数的赋值法与对称性、周期性： - 赋值法：令 求 ；令 判奇偶性；令 或 求特殊值；把常数写成 的函数值（如 ）合并后脱号；证单调时构造 作差。 - 对称与周期：由 连用两次得 ；一轴一点组合用联动公式；求大和时先找 把大数化小，再用对称点配对消项（如 ）。 10. 函数性质综合多选与函数新定义： - 综合多选：逐项检验按固定清单——定义域→奇偶性（必须任意 验证）→单调性（定义或四则、复合）→特殊值反例（排除用）→对称周期联动；特值"不符合"可直接排除，特值"符合"不能作为肯定依据。 - 函数新定义：三步——逐字读懂新规则并翻译成数学式（如 即分段取大）；把新函数化归为分段函数或熟函数后按常规性质研究；结论回代新规则检验（尤其定义域与端点取值）。 ▍四、易错警示 1. 单调区间不能并：增区间是 和 时写成 是错的——在并集上任取两点不具备单调性； 的减区间不能写成 。 2. 忽略奇偶性前提：（）不是偶函数，因为定义域不关于原点对称；判断奇偶性第一步必须先查定义域。 3. 周期答错一半： 的周期是 不是 ，正确推导为 。 4. 幂函数与指数函数混淆： 是幂函数（底为变量、指数为常数）， 是指数函数（底为常数、指数为变量）；形如 仅当 时才是幂函数。 5. 含参单调漏类：二次函数在给定区间上单调，对称轴可在区间左侧（递增）也可在右侧（递减），两类都要列，如 在 上单调须 或 ，漏一类即错。 6. 脱 号不查定义域：解 时除比较自变量大小外，还要求两个自变量都在单调区间内，漏查会多出解。 7. 特殊值不能代替证明：由 断定偶函数是错的，反例： 满足 却是奇函数；必须对定义域内任意 证 恒成立。 8. 定义法证明跳步失分：作差后未变形为因式乘积就直接说"小于零"、未说明 的范围就给 定号都是常见扣分点，如 时只能得 而非 。 9. 复合函数区间忽视外层限制：求 的单调区间必须先令 得 ，在 递增、 递减，超出该范围的区间都是错的。 　奇偶性的判断与证明 方法要领　判定必先看定义域是否关于原点对称，再验证 或作差 ；证明题需先写定义域再代定义，含 或指数式的可用 整体消元。 【例】（2026杭师大附中期中 17）已知函数 ，且定义域为 。 （1）判定函数 的奇偶性； （2）利用单调性定义证明： 在 上单调递减； （3）解关于 的不等式 。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　抽象函数的赋值法 方法要领　常用赋值顺序：令 求 ，令 、 或 求特殊值并判奇偶，令 （或 ）用定义证单调；解不等式时把常数凑成 的函数值（如 ），再用单调性脱去 并检查定义域。 【例】（2026南师附中期中 19）已知函数 满足对任意 ，都有 。 （1）求 的值； （2）若 为偶函数，求 ； （3）若 ，求方程 的整数解。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026衡水中学期中 10）已知定义在 上的函数 满足对任意的 ，均有 ，且当 时，，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B．若 ，则 C． 是 上的减函数 D．若 ，则不等式 的解集是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026郑州十校联考期中 11）已知函数 的定义域为 ，对任意实数 满足：，当 时，，则下列选项正确的有（　　）（多选） A． B．函数 为奇函数 C． 为 上的减函数 D．对 ，恒有 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026云南开远一中期中 11）已知函数 的定义域是 ，∀ 都有 ，且当 时，，且 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． B．函数 在 上单调递增 C． D．不等式 的解集是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025重庆巴蜀中学期中 18）已知函数 的定义域为 ，对任意的 都有 ，且当 时，；当 时，。 （1）求 的值并判断函数 的奇偶性； （2）讨论 的单调性并证明； （3）若 ，且 对任意的 成立，求实数 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　对称性与周期性 方法要领　由 得对称轴 ， 型两次迭代得周期 ；一个对称轴加一个对称中心（或两个对称条件）联立消元推周期，最后用周期与对称式把未知点自变量加减周期化入已知区间求值。 【例】（2026襄阳四中期中 16）已知函数 ， 为常数。 （1）若 ，证明： 的图象关于点 对称； （2）若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025重庆南开中学期中 13）已知"函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数"。根据这个结论，若函数 图象的对称中心是 ，则 ______。 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方法要领　紧扣新定义逐条验证，取特殊值可快速否定全称命题、肯定存在命题；判断'是否具有某性质'或求参数时，把定义翻译成方程（组）、有解或恒成立条件，再转化为熟悉的最值、零点或根的分布问题，注意定义域对解的限制。 【例】（2026云南华坪一中期中 10）符号 表示不超过 的最大整数，如 ，。定义函数 ，则下列命题正确的是（　　）（多选） A． B．当 时， C．函数 的定义域为 ，值域为 D．函数 是增函数 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026重庆西藏中学期中 6）用 表示 ， 两个数中的最小值，设 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025大连经开区一中期中 8）已知定义在 上的函数 满足：∀，当 时，有 ，则称函数 为"理想函数"。根据此定义，下列函数为"理想函数"的是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026衡水中学期中 11）设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为取整函数。下列关于"取整函数"的描述正确的是（　　）（多选） A．∀， B．∃， C．∀，若 ，则有 D．∀， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025福建泉州六中期中 19）若在函数 的定义域内存在区间 ，使得 在 上单调，且函数值在 上的取值范围是 （ 是常数），则称函数 具有性质 。 （1）当 时，函数 是否具有性质 ？若具有，求出区间 ；若不具有，说明理由； （2）若定义在 上的函数 具有性质 ，求 的取值范围。 （本题中函数的单调性不必给出证明） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　求单调区间 方法要领　先求定义域再定单调：二次看对称轴与区间位置、对勾函数增区间为 、复合函数按同增异减配对且受内层值域限制；单调区间分开设，绝不用 连接。 【例】（2026南阳六校期中 7）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025学军中学期中 5）函数 的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026大连二十四中期中 13）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 ______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026杭高三校区期中 18）已知函数 和 。 (1)求函数 的单调减区间； (2)当 时，对任意 ，，都有 成立，求实数 的取值范围； (3)若对任意的 ，至少存在 ，（），使得 ，求实数 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　单调性比较大小 方法要领　先用奇偶性把负自变量化正，再用对称性化到同一单调区间，最后按增减方向定序；遇 、 结构先构造新函数判其单调性再比较。 【例】（2025重庆一中期中 6）已知函数 是偶函数， 且 时， 恒成立，设 ，，，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026云南师大附中期中 4）设偶函数 的定义域为 ，当 时 是减函数，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025福建三明二中期中 3）若 ，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　由单调性解不等式 方法要领　脱 号三查：两侧自变量是否在同一单调区间、单调方向定不等号方向、需否先用奇偶性把 化为 ；含 、 或差商条件的先构造 再整体脱号。 【例】（2026河南省实验中学期中 6）已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 上单调递减，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026郑州一中期中 5）偶函数 在 上单调递增，且 ，则满足 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025云南师大附中期中 7）已知定义在 上的函数 满足 ，对任意 ，，当 时，都有 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026河南九师联盟期中 8）已知定义在 上的函数 满足对 ，，都有 ，若 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　单调性含参与分段单调 方法要领　分段函数单调先保各段、再保衔接：各段按解析式列单调条件（二次看对称轴、对数看底），再加分段点函数值不等式（递增时左段上端值≤右段起点值）；复合函数含参先定内层单调再按同增异减搭配。 【例】（2026湖南师大附中期中 7）已知函数 （ 且 ）是 上的单调函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025厦门泉州五校联考 3）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026宁波六校期中 5）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026福建南安龙泉中学期中 11）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．若 ，则 B．若 在 上单调递增，则 的取值范围是 C．存在实数 使得 在 上单调递减 D．若 的值域为 ，则 的取值范围为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026合肥肥东尚真期中 18）已知函数 （），（，）。 (1)求 的值域； (2)讨论 在 上的单调性； (3)设 ，，证明：。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　函数最值与单调综合 方法要领　单调函数在闭区间 上端点处取最值；含 的值域先写 的值域再去绝对值分段；任意/存在型恒成立化为 与 等最值比较；对勾函数最值先看 是否落在区间内。 【例】（2026绿城育华学校期中 17）已知函数 。 (1)用函数单调性的定义证明： 在 上单调递增； (2)若 ，函数 ，求 在 上的值域（用含 的式子表示）。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026湖南长沙雅礼中学期中 15）已知函数 。 (1)用函数单调性的定义证明： 在 上单调递增； (2)求 在区间 上的最大值和最小值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025广东封开南丰中学期中 16）已知 ，，令 ，则 的最小值是 ______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026武汉东湖高新区期中 8）已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　幂函数的图象与性质 方法要领　两步走：先设 代点求 （有系数 时令 并按定义域、奇偶性筛根）；再按 过原点递增、 不过原点递减，最简分数分子分母奇偶定奇偶性，图类题按定义域→奇偶性→凸向→与直线 位置逐一排除。 【例】（2026杭高三校区期中 10）若幂函数 的图象经过点 ，则下列说法中正确的是（　　）（多选） A． 为偶函数 B．若 ，则 C． 为增函数 D．函数 为偶函数 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026宁波六校期中 3）函数 的大致图象为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025四川安岳中学期中 5）已知幂函数 为偶函数，若函数 在区间 上为单调函数，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026重庆八中期中 16）已知幂函数 是定义在 上的偶函数。 (1)求 的解析式，并用定义证明 在 上单调递增； (2)若对 ， 恒有意义，求实数 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026山东实验中学期中 11）已知函数 的图象经过点 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． B． 是偶函数 C．若 ，则 或 D．当 时 ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026嘉兴八校联盟期中 4）已知幂函数 的图象过点 ，则 （　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2026哈尔滨三中期中 2）下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2025湛江三校联考 7）已知函数 在 上是单调函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2026武汉东湖高新区期中 6）已知 ，若 ，，，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026辽宁省实验中学期中 11）已知 的定义域为 ，且 ，，则（　　）（多选） A． B． C． 是偶函数 D． 是奇函数 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2026郑州外国语学校期中 11）已知对于任意非零实数 ，函数 均满足 ，，下列结论正确的有（　　）（多选） A． B． 的图象关于点 中心对称 C． 的图象关于直线 对称 D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2026大连二十四中期中 12）已知函数 是偶函数，则函数 的零点是 ______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（6分）（2026云南昆明一中期中 13）已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递减，则不等式 的解集为 ______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2026广州二中四元联考 14）已知 是 上的奇函数，当 时 ，则 ______；若 ，，则 的取值范围为 ______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026湖南长沙长郡中学期中 17）已知函数 ，。 (1)判断函数 在区间 上的单调性，并证明你的结论； (2)判断函数 的奇偶性，并求解关于 的不等式 。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11．（15分）（2026沈阳五校协作体期中 15）函数 满足对任意 ， 都有 ，且 ，当 时 。 (1)判断并证明 在 上的单调性； (2)求不等式 的解集。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高一学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一上期中专项复习 · 专题六 函数的基本性质 全国各地市期中真题精选 · 14 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 奇偶性的判断与证明 奇偶性与单调性综合 · 奇偶性判断 · 奇偶性求参 2026杭师大附中期中 4 题 奇偶性求值与消元技巧 奇偶性求值 · 奇偶性应用 2025江阴成化中学期中 4 题 由奇偶性求解析式与求参 由奇偶性求解析式 · 奇偶性求参 2026南阳六校期中 4 题 抽象函数的赋值法 抽象函数 2026南师附中期中 5 题 对称性与周期性 对称性与周期 2026襄阳四中期中 4 题 函数性质综合多选 奇偶性与单调性综合 · 函数性质综合 2025福建三明二中期中 4 题 函数新定义 函数新定义 2026云南华坪一中期中 5 题 单调性的定义证明 单调性判断与证明（定义法四步） 2026云南龙陵一中期中 5 题 求单调区间 求单调区间（含复合函数、对勾函数） 2026南阳六校期中 4 题 单调性比较大小 单调性比较大小 2025重庆一中期中 3 题 由单调性解不等式 单调性解不等式（脱 f 号） 2026河南省实验中学期中 4 题 单调性含参与分段单调 单调性含参 · 复合函数单调性 · 分段单调 2026湖南师大附中期中 5 题 函数最值与单调综合 最值与单调性结合 2026绿城育华学校期中 4 题 幂函数的图象与性质 幂函数图象与性质 2026杭高三校区期中 5 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 单调性：设函数 的定义域为 ，区间 ，若对任意 ，当 时都有 ，则 在 上单调递增；若都有 则单调递减；"任意"二字不可换成"存在"，这是判断与证明的唯一依据。 2. 单调区间：单调性是区间上的性质，说单调必须先指明区间；多个单调区间要用逗号或"和"分开写，不能用 连接；单调区间必须是定义域的子集。 3. 函数的最值：若存在 ，对任意 都有 ，则 为最大值；最值必须"取得到"，开区间端点或渐近值只能叫上（下）界。 4. 奇偶性：对定义域内任意 ， 恒成立为偶函数， 恒成立为奇函数；前提是定义域关于原点对称；既是奇又是偶 定义域关于原点对称且 恒成立。 5. 对称性： 图象关于直线 对称； 图象关于点 对称。 6. 周期性：若存在非零常数 ，对定义域内任意 都有 ，则 是周期函数， 为一个周期。 7. 幂函数：形如 （ 为常数）的函数，特征是系数为 、底为单一变量；、、 都不是幂函数。 8. 复合函数：由 与 复合成 ，其定义域是使 落在 定义域内的 集合，求单调区间受双重限制。 9. 新定义函数：题目给出新记号或新规则（如 、新运算），本质是按规则把新函数化归为分段函数或已知函数后再研究性质。 10. 抽象函数：只给出函数方程（如 ）而不给解析式的函数，研究工具是赋值法与单调性定义。 ▍二、法则与公式 1. 单调性四则（同一区间 内）：增+增=增；减+减=减；增×正常数=增；增×负常数=减；增−减=增；同向叠加结论可靠，积商结论须限定符号，如 同增且 时 才递增。 2. 复合函数 ：内层 与外层 单调性"同增异减"；求单调区间要先求内层值域作外层定义域。 3. 差商判别：对 ， 递增， 递减；差商与常数比较（如 ）时构造 。 4. 奇偶函数运算：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇； 与 、 的奇偶性须按定义逐项验证。 5. 奇偶函数图象性质：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 轴对称；奇函数在 处有定义则 ；奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反。 6. 轴对称： 对称轴 ；一般地 对称轴 ； 为偶函数 关于 对称。 - 点对称： 图象关于点 对称；一般地 关于点 对称。 7. 周期公式： 周期 ； 周期 ； 或 （） 周期 。 8. 周期与对称联动：同时关于直线 与 对称 周期 。 - 同时关于点 与 对称 周期 ；同时关于点 与直线 对称 周期 。 9. 幂函数 五类图象特征（ 时图象过 与 ， 时只过 ；第一象限内直线 上方 、直线下方过原点 、向两轴弯曲 ）： - ：过原点的直线 ，奇函数；：抛物线 ，偶函数； - ：立方曲线 ，奇函数，在 上递增； - ：半抛物线 ，非奇非偶，只在第一象限，过原点递增； - ：双曲线 ，奇函数，不过原点，一、三象限各一支递减。 10. 最值与恒成立互化："对任意 、任意 有 " ；"存在 、任意 使 " ；"任意 、存在 "型 。 ▍三、方法技巧 1. 单调性的定义证明：取值（任取 ）→ 作差 → 变形（通分、因式分解，化成若干因式乘积）→ 定号（逐因式写明符号依据）→ 下结论；每步带依据，不得只写"显然"。 2. 求单调区间三件事：先求定义域；复合函数按"同增异减"内外层搭配；含绝对值的先化为分段再判断；结果用逗号或"和"分写，不用并集；含参时让给定区间整体落在某个单调区间内列不等式。 3. 单调性比较大小：先用奇偶性把负自变量化正（如 ），再用对称性化到同一单调区间（如 ），最后按增减方向定序；结构为 、 时先构造新函数判其单调性再比。 4. 由单调性解不等式（脱 号三查）：一查两侧自变量是否都落在 的同一单调区间内；二查单调方向（增函数 ，减函数不等号反向）；三查需否先用奇偶性移项化形（如奇函数 ）；形如 的先构造 把常数凑成 的函数值再脱号。 5. 单调性含参与分段单调：分段函数单调"先保各段、再保衔接"——二次段看对称轴与区间的位置、对数段看底 或 ，再列分段点衔接不等式（递增时左段上端值不大于右段起点值，递减时相反）；复合函数含参先定内层单调再按"同增异减"配对，勿忘被开方数非负等定义域限制。 6. 函数最值与单调综合：先证单调或用对勾、二次函数的单调性定位最值，再回答最值问题；单调函数在闭区间 上两端点处取最大与最小值；含 的值域先写 的值域再去绝对值分段讨论；"任意/存在"恒成立按法则10化为最值比较。 7. 幂函数的图象与性质：第一步待定系数——设 代已知点解 （若有系数 ，令 且按定义域、奇偶性筛选根）；第二步查性质——按 正负定是否过原点、按最简分数 中 的奇偶定奇偶性、按 与 的大小定图象与直线 的上下位置；图类题按定义域→奇偶性→凸向→与 位置逐一排除。 8. 奇偶性三题型（判断与应用／求值与求解析式／与单调性综合）： - 判断与应用：第一步查定义域是否关于原点对称，第二步对任意 化简 到 ；含 的常分子有理化（相乘得 ）；应用时先转化 再用单调性脱号。 - 求值与求解析式：已知 且 偶 奇，用 代换得 ，联立解得 ，；分段奇函数求 段用 ，并单独补 。 - 与单调性综合：判定顺序"先定义域、再奇偶性、后单调性"，利用"奇函数在对称区间上单调性相同、偶函数相反"把单调区间扩展到整个定义域，最后脱号解不等式或比较大小。 9. 抽象函数的赋值法与对称性、周期性： - 赋值法：令 求 ；令 判奇偶性；令 或 求特殊值；把常数写成 的函数值（如 ）合并后脱号；证单调时构造 作差。 - 对称与周期：由 连用两次得 ；一轴一点组合用联动公式；求大和时先找 把大数化小，再用对称点配对消项（如 ）。 10. 函数性质综合多选与函数新定义： - 综合多选：逐项检验按固定清单——定义域→奇偶性（必须任意 验证）→单调性（定义或四则、复合）→特殊值反例（排除用）→对称周期联动；特值"不符合"可直接排除，特值"符合"不能作为肯定依据。 - 函数新定义：三步——逐字读懂新规则并翻译成数学式（如 即分段取大）；把新函数化归为分段函数或熟函数后按常规性质研究；结论回代新规则检验（尤其定义域与端点取值）。 ▍四、易错警示 1. 单调区间不能并：增区间是 和 时写成 是错的——在并集上任取两点不具备单调性； 的减区间不能写成 。 2. 忽略奇偶性前提：（）不是偶函数，因为定义域不关于原点对称；判断奇偶性第一步必须先查定义域。 3. 周期答错一半： 的周期是 不是 ，正确推导为 。 4. 幂函数与指数函数混淆： 是幂函数（底为变量、指数为常数）， 是指数函数（底为常数、指数为变量）；形如 仅当 时才是幂函数。 5. 含参单调漏类：二次函数在给定区间上单调，对称轴可在区间左侧（递增）也可在右侧（递减），两类都要列，如 在 上单调须 或 ，漏一类即错。 6. 脱 号不查定义域：解 时除比较自变量大小外，还要求两个自变量都在单调区间内，漏查会多出解。 7. 特殊值不能代替证明：由 断定偶函数是错的，反例： 满足 却是奇函数；必须对定义域内任意 证 恒成立。 8. 定义法证明跳步失分：作差后未变形为因式乘积就直接说"小于零"、未说明 的范围就给 定号都是常见扣分点，如 时只能得 而非 。 9. 复合函数区间忽视外层限制：求 的单调区间必须先令 得 ，在 递增、 递减，超出该范围的区间都是错的。 　奇偶性的判断与证明 方法要领　判定必先看定义域是否关于原点对称，再验证 或作差 ；证明题需先写定义域再代定义，含 或指数式的可用 整体消元。 【例】（2026杭师大附中期中 17）已知函数 ，且定义域为 。 （1）判定函数 的奇偶性； （2）利用单调性定义证明： 在 上单调递减； （3）解关于 的不等式 。 【答案】（1）奇函数； 【分析】（1）先看定义域是否关于原点对称，再计算 与 的关系；（2）取 作差，通分后分子分母分别因式分解，再逐个判断符号；（3）先由奇函数性质与（2）得出 在 上的整体单调性，用奇偶性把 化入同名函数后列不等式组，注意每段定义域的限制。 【详解】（1）函数 为奇函数，理由如下： 函数 的定义域为 ，关于原点对称， 且 ，即 ， 所以函数 为奇函数。 （2）证明：取 ∀，且 ， 则 ， 通分后分子为 ，分母为 ， 其中分子 = =， 记 ，， 则 。 因为 ， 所以 ，，即 ； 又 ，，即 ， 所以 ，即 ， 由 ，所以函数 在 上单调递减。 （3）因为 在 上单调递减，且 为奇函数， 所以 在 上单调递减，又 ， 所以 在 上单调递减。 不等式 即 ， 因为 是奇函数，所以 ， 又 在 上单调递减， 所以 。 由 得 ，解得 ； 由 得 ，解得 或 ； 又 ， 取交集得 或 ， 所以关于 的不等式的解集为 。 【练1】（2025厦门泉州五校联考 5）下列说法中错误的是（　　） A．函数 是奇函数 B．函数 是偶函数 C．函数 ， 是偶函数 D．函数 既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】C 【分析】根据奇偶函数的定义逐一判定：先看定义域是否关于原点对称，再看 与 的关系。 【详解】对于A，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称， 又 ，所以函数 是奇函数，说法正确； 对于B，函数 的定义域为 ，关于原点对称， 又 ，所以函数 是偶函数，说法正确； 对于C，函数 的定义域为 ，定义域不关于原点对称， 所以函数 ， 既不是奇函数，也不是偶函数，说法错误； 对于D，函数 的定义域为 ，关于原点对称， 又 ， 则 且 ， 因此函数 既不是奇函数，也不是偶函数，说法正确。 所以选项中C的说法不正确，故选：C。 【练2】（2025重庆一中期中 9）已知函数 （ 为常数）是定义域为 的奇函数，则下列选项中正确的是（　　）（多选） A． B． 在 上单调递减 C． 的值域为 D． 的解集为 【答案】BCD 【分析】A：由奇函数在 处有定义得 求 ，求出后要检验；B：分离常数后用复合函数的单调性判断；C：先求 时 的范围，再用奇函数的对称性得 时的范围；D：解分式不等式，注意分母恒正。 【详解】A选项，由题意得 ，即 ，解得 ， 经检验，当 时， 为奇函数，所以 ，故A不正确； B选项，， 因为 在 上单调递增，所以 单调递增， 且 ，∴ 单调递减， ∴ 在定义域 上单调递减，故B正确； C选项，当 时，，∴，∴， 故 ， 由 为奇函数，故当 时，， 又 ，故函数 的值域为 ，故C正确； D选项，由 ，分母 恒成立， ∴，解得 ，故D正确。 故选：BCD。 【练3】（2026郑州外国语学校期中 5）下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项验证奇偶性与单调性：先求定义域，再计算 判断奇偶，最后用复合函数单调性判断增减。 【详解】A选项，函数 的定义域为 ， ∵，∴， ∴ = =，函数为奇函数； 又 在 上单调递减，且 在 上单调递增， 所以函数 在 上单调递减，不符合题意； B选项，由 解得 ，函数的定义域为 ， ，函数为奇函数； ∵ 在 上单调递减， 在 上单调递增， ∴ 在 上单调递减，不符合题意； C选项，函数的定义域为 ， ，为偶函数，不符合题意； D选项，函数的定义域为 ， ∵，分子分母同乘 ，得 ， 而 ， ∴，函数为奇函数， 又 ，即 ， ∵ 在 上单调递增，∴ 在 上单调递减， ∴ 在 上单调递增，符合题意。 故选：D。 　奇偶性求值与消元技巧 方法要领　求值点不在已知解析式区间时，设自变量在未知侧、让 落入已知侧反代；含常数项破坏奇性时构造 或 化为奇函数，再用 、定值 等配对消元。 【例】（2025江阴成化中学期中 7）已知函数 在其定义域内为偶函数，且 ， 则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数定义求出 ，结合 得 ；再验证 ，把 与 配对求和，注意中间单项 要单独计算。 【详解】因为 的定义域为 ，且为偶函数， 所以 ，即 ， 解得 ，所以 。 又 ，即 ，所以 。 ∵，∴， ∴。 所以原式 ， 共有 对，每对的和为 ，且 ， 所以原式 。 故选：B。 【练1】（2026云南龙陵一中期中 5）已知函数 是奇函数，函数 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用 ，把 用 表示后整体消元。 【详解】根据题意，函数 是奇函数，则 ， 则 ， 故 。 故选：D。 【练2】（2025大连经开区一中期中 12）已知 ，若 ，则 ______。 【答案】 【分析】常数项 破坏奇性，构造 为奇函数，先求 ，再由奇函数性质得 ，从而求出 。 【详解】设 ，其定义域为 ，关于原点对称， ∵，∴函数 为奇函数。 由 ，得 ， 由 为奇函数，得 ， 即 ，所以 。 故答案为：。 【练3】（2025重庆第二外国语学校期中 14）设函数 ， 上的最大值为 ，最小值为 ，则 ______。 【答案】 【分析】把 分离成 与一个奇函数之和，利用奇函数在对称区间上最大值与最小值互为相反数，整体求出 。 【详解】∵ = =， 令 ，，其定义域关于原点对称， 且 ，即 ， 所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，可得 。 则 ，， 所以 。 故答案为：。 　由奇偶性求解析式与求参 方法要领　已知一侧解析式求另一侧：设 则 ，代入后用 化简；奇函数在 处有定义时先写 ；含参定义域如 先由端点互为相反数求参并舍去无效解。 【例】（2026南阳六校期中 17）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，。 （1）求 的解析式； （2）求 的单调递增区间； （3）若关于 的方程 有 个不相等的实数根，求实数 的取值范围。 【答案】（1）； 【分析】（1）设 ，则 ，用 求出 时的解析式；（2）分段按二次函数的对称轴与开口方向判断；（3）把方程根的个数转化为直线 与函数图象交点个数，结合图象求解。 【详解】（1）∵ 是定义在 上的奇函数， 当 时，，∴， ∴， 所以 。 （2）当 时，，图象开口向上，对称轴为 ， ∴ 在 上单调递增； 当 时，，图象开口向下，对称轴为 ， ∴ 在 上单调递增。 又 在 处连续，且 ， 故函数 的单调递增区间为 。 （3）作出 的大致图象： 部分是开口向上、顶点为 的抛物线段， 部分是开口向下、顶点为 的抛物线段，图象过原点，最高点为 ，最低点为 。 方程 有 个不相等的实数根，等价于直线 与 的图象有 个不同的交点， 由图象可得，当 时，直线 与 的图象恰有 个交点， 所以实数 的取值范围为 。 【练1】（2026杭师大附中期中 4）若函数 是奇函数，且当 时，，则当 时， 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 ，则 ，先代入已知解析式求 ，再用 化简。 【详解】由题可知，当 时，， 取 ，则 ，， 由奇函数性质 可得：。 故选：A。 【练2】（2025广州育才中学期中 16）设 是定义在 上的奇函数，则 ______。 【答案】 【分析】奇函数的定义域关于原点对称，得 的相反数关系求 ；再由 比较系数求 ，最后代值计算。 【详解】∵ 是定义在 上的奇函数， ∴定义域关于原点对称，即 ， 解得 或 。 当 时，定义域为 ，不合题意，舍去； 当 时，定义域为 ，符合题意。 又 对定义域内一切 成立， 而 ，， ∴，解得 ，∴， ∴。 故答案为：。 【练3】（2026河南省实验中学期中 8）已知函数 ， 是定义在 上的函数，其中 是奇函数， 是偶函数， 且 ，若对任意 ，都有 ， 则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用 替换 得第二个方程，由奇偶性联立解出 的解析式；再把商的条件转化为 在 上单调递减，按 是否为 分类讨论。 【详解】因为 是奇函数， 是偶函数， 所以 ，。 又 ，用 替换 得 ， 两式相加得 ，∴ （两式相减得 ，即 ，确为奇函数，符合题设）。 若对任意 ，都有 ， ∵，∴， 即 成立， 令 ，则函数 在区间 上单调递减。 ①当 时， 在 上单调递减，符合题意； ②当 时， 为二次函数，图象关于直线 对称。 当 时， 的减区间为 ，由 在其内得 ，解得 ； 当 时， 的减区间为 ，由 在其内得 ，解得 。 综上， 的取值范围是 。 故选：C。 　抽象函数的赋值法 方法要领　常用赋值顺序：令 求 ，令 、 或 求特殊值并判奇偶，令 （或 ）用定义证单调；解不等式时把常数凑成 的函数值（如 ），再用单调性脱去 并检查定义域。 【例】（2026南师附中期中 19）已知函数 满足对任意 ，都有 。 （1）求 的值； （2）若 为偶函数，求 ； （3）若 ，求方程 的整数解。 【答案】（1）； 【分析】（1）令 即可求解；（2）令 得 的表达式，再用偶函数 消元；（3）令 求 ，令 得递推关系，用累加法求出 ，再解方程取整数解。 【详解】（1）令 ，得 ，即 。 （2）令 ，得 ， 即 ， 因为 是偶函数，所以 ，即 ， 可得 。 （3）令 ，得 ， 因为 ，所以 。 令 ，得 ，即 ， 所以 ，，，， 以上 个式子累加，得 ， 即 ，所以 。 由 得 ，解得 或 ， 所以方程 的整数解为 或 。 【练1】（2026衡水中学期中 10）已知定义在 上的函数 满足对任意的 ，均有 ，且当 时，，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B．若 ，则 C． 是 上的减函数 D．若 ，则不等式 的解集是 【答案】ABD 【分析】通过对 合理赋值求解：令 求 ，令 逐层求值判断B、D；用单调性定义结合 时 判断C。 【详解】对于A：令 ，则 ，解得 ，A正确； 对于B：令 ，则 ，解得 ， 再令 ，则 ，解得 ，B正确； 对于C：∀，且 ，则 ， 令 ，，则 ， 即 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 即 ，所以 在 上是增函数，C错误； 对于D：令 ，则 ，解得 ， 所以 ， 因为 在 上是增函数，且 ， 所以 ，即 ，解得 ， 即不等式 的解集是 ，D正确。 故选：ABD。 【练2】（2026郑州十校联考期中 11）已知函数 的定义域为 ，对任意实数 满足：，当 时，，则下列选项正确的有（　　）（多选） A． B．函数 为奇函数 C． 为 上的减函数 D．对 ，恒有 【答案】AC 【分析】A：令 赋值求 ；B：令 得 的值，再验证 是否等于 ；C：由 结合条件判断正负；D：结合 的符号与单调性判断。 【详解】对于A：令 ，则 ，A选项正确； 对于B：令 ，则 ，则 ， 所以 ， 所以 不为奇函数，B选项错误； 对于C：∀，，则 ， 即 ， 因为 ，所以 ，又当 时，， 所以 ，即 ， 所以 为 上的减函数，C选项正确； 对于D：由A知 ，且由C知 为 上的减函数， 因为 ， 所以 ，D选项错误。 故选：AC。 【练3】（2026云南开远一中期中 11）已知函数 的定义域是 ，∀ 都有 ，且当 时，，且 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． B．函数 在 上单调递增 C． D．不等式 的解集是 【答案】ABD 【分析】A：令 求 ；B：令 ，，用单调性定义判断；C：赋值 得 配对消元；D：先由 凑出 ，再用单调性脱去 ，注意定义域限制。 【详解】A选项，令 ，得 ，∴，A正确； B选项，任取 ，且 ， 在 中，令 ，，得 ， 因为当 时，，又 ，所以 ， 故 ，所以 在定义域 上单调递增，B正确； C选项，在 中，令 ，得 ， 故每对 与 的和均为 ， 所以原式 ，C错误； D选项，因为 ，所以 ， 在 中，令 ，得 ， ∵，∴， 由于 在 上单调递增，故 ， 解得 ，即解集为 ，D正确。 故选：ABD。 【练4】（2025重庆巴蜀中学期中 18）已知函数 的定义域为 ，对任意的 都有 ，且当 时，；当 时，。 （1）求 的值并判断函数 的奇偶性； （2）讨论 的单调性并证明； （3）若 ，且 对任意的 成立，求实数 的取值范围。 【答案】（1）， 为奇函数； 【分析】（1）令 求 ，令 求 ，再令 用定义判断奇偶性；（2）先证 时 ，再用单调性定义取 ，把 拆成 判断差符；（3）赋值 得 ，把不等式化为 ，脱去 后转化为一次函数 恒成立问题。 【详解】（1）当 时，令 ，则 ， ∵当 时 ，∴。 再令 ，则 ， ∵当 时 ，∴。 令 ，则 ，故 是奇函数。 （2） 在 上是增函数，证明如下： 当 时，，则 ， 由 ，可得 ， 又当 时，，且 ，故当 时，。 又 是定义在 上的奇函数，所以 。 任取 ，则 ，从而 ， 且 ，即 ， ∴ ， 又 ，， ∴，即 ，∴ 在 上单调递增。 又 是 上的奇函数，则 在 上单调递增，且 ， 故 在 上是增函数。 （3）在 中，令 ，可得 ， ∵当 时 ，∴，∴。 由 可得 ， 即 。 ∵ 在 上是增函数， ∴ 对任意的 成立。 设 ，它是关于 的一次函数（）， ∴， 解得 或 ， 即实数 的取值范围为 。 　对称性与周期性 方法要领　由 得对称轴 ， 型两次迭代得周期 ；一个对称轴加一个对称中心（或两个对称条件）联立消元推周期，最后用周期与对称式把未知点自变量加减周期化入已知区间求值。 【例】（2026襄阳四中期中 16）已知函数 ， 为常数。 （1）若 ，证明： 的图象关于点 对称； （2）若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】（1）证明见详解； 【分析】（1）代入 ，验证 恒成立即可得图象关于点 对称；（2）由 去分母，把 分离出来，转化为 小于一个函数在 上的下界，用对勾函数的单调性求该下界。 【详解】（1）当 时，，其定义域为 。 ∵，而 ， 即 ， ∴， 即 ， 即点 与点 的横坐标之和为 ，纵坐标之和恒为 ， ∴ 的图象关于点 对称。 （2）对 ，不等式 恒成立， 即 恒成立， 整理得 ， ∵，∴，即 恒成立。 ∵， 令 ，则 ， 由对勾函数的性质， 在 上单调递增， 而 ，∴ 在 上单调递增， ∴， 即 ， ∴，故 的取值范围是 。 【练1】（2025重庆南开中学期中 13）已知"函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数"。根据这个结论，若函数 图象的对称中心是 ，则 ______。 【答案】 【分析】由充要条件得 是奇函数，写出 的解析式后用 求出 。 【详解】由题意可知， 是奇函数。 设 ， ∵ 是奇函数，∴， 即 ， ∴，解得 。 故答案为：。 【练2】（2026南师附中期中 7）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 为奇函数得 ，由 得对称轴 ，两个对称条件联立推出周期 ，再用周期与对称式把 化到区间 上计算。 【详解】由 是定义在 上的奇函数， 得 ，即 ， ∴。 由 ，其对称轴为 ， 即 ，于是 ， 即 ，因此 ， 所以函数 是以 为周期的周期函数。 又当 时，，∴， ∵ 且 ， ∴， 由 得 ， ∴。 故选：A。 【练3】（2025南通海门实验期中 8）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时，。若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 奇、 偶分别得 与 ，联立推出周期 ；再令 ， 赋值，用 求出 ，，最后用周期与对称式把 化入 。 【详解】由 为奇函数，得 ，即 ； 由 为偶函数，得 ，即 。 ∴，把 换成 ，得 ， ∴，从而 ， 所以函数 是以 为周期的周期函数。 令 ，由 得 ，即 ； 由 得 ；由 得 。 又 ，而 ，∴，即 。 ∵当 时，，∴，解得 。 又 ，∴，即当 时，。 ∴， 由 得 ， ∴=。 故选：B。 　函数性质综合多选 方法要领　逐项独立判断：先用定义域排除奇偶性伪命题，再去绝对值化分段研究单调性与值域；涉及 型结构时整理成 识别单调性，含参不等式优先构造奇函数再用单调性脱去 。 【例】（2025福建三明二中期中 11）某同学在研究函数 时，得出下面四个结论，其中正确的结论是（　　）（多选） A．等式 在 时恒成立 B．方程 有三个实数根 C．若 ，则一定有 D．函数 的值域为 【答案】AC 【分析】先求定义域并计算 判断A；令 判断B；去掉绝对值化简 后判断单调性判断C；由单调性与奇偶性求值域判断D。 【详解】对于A：函数 的定义域为 ， 且 ， 所以等式 在 时恒成立，故A正确； 对于B：令 ，即 ，解得 ， 所以方程 有且仅有一个实数根，故B错误； 对于C：当 时，， ∵ 在 上单调递减，∴ 在 上单调递减， 又 为奇函数，∴ 在 上单调递减， 又 在 上连续，∴ 在 上单调递减， 所以当 时，一定有 ，故C正确； 对于D：当 时，， ∵，∴； 由A知 为奇函数，∴当 时，， ∴ 的值域为 ，故D错误。 故选：AC。 【练1】（2025重庆南开中学期中 9）下列命题正确的有（　　）（多选） A． 与 是同一个函数 B． 是偶函数 C． 是单调递减函数 D． 的单调递增区间为 【答案】ABD 【分析】A：比较定义域与化简后的解析式；B：先求定义域，再用偶函数定义验证；C：举反例 即可否定；D：先求定义域，再由外层根式与内层二次函数的单调性复合判断。 【详解】对于选项A：两个函数的定义域均为 ，且化简后解析式均为 ， 所以是同一个函数，故A选项正确； 对于选项B：由 ，解得 ， 可知函数的定义域为 ，关于原点对称， 且 ，所以 是偶函数，故B选项正确； 对于选项C：因为 ，与减函数定义矛盾， 所以 不是单调递减函数（只在 与 上分别递减），故C选项错误； 对于选项D：由 ，解得 ， 可知函数 的定义域为 ， 因为 开口向下且对称轴为 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 又外层 单调递增，所以 的单调递增区间为 ，故D选项正确。 故选：ABD。 【练2】（2026杭四中下沙期中 10）下列选项中正确的有（　　）（多选） A．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 B．若函数 在 上只有一个零点，则实数 的范围为 C．函数 的值域为 D．若 是奇函数，当 时，，则 时， 【答案】BCD 【分析】A：由 的定义域先求 的定义域，再求 的定义域；B：按抛物线与区间位置关系分类，考虑恰过端点与区间内单根两种情形；C：换元 转化为二次函数求值域；D：用 求对称区间上的解析式。 【详解】对于A，函数 的定义域为 ，即 ， ∴，则 的定义域为 ， 对于 ，令 ，可得 ， 即函数 的定义域为 ，A错误； 对于B，函数 在 上只有一个零点， 若零点是重根，则 ，无解； 若区间内只有一个变号零点，则 ，解得 ， 故实数 的范围为 ，B正确； 对于C，令 ，，则 ， 那么 可转化为 ，， 当 时， 取最大值 ， 故函数 的值域为 ，C正确； 对于D， 是奇函数，当 时，， 则 时，，，D正确。 故选：BCD。 【练3】（2026辽宁滨城高中联盟期中 11）设函数 ，其中 ，则下列命题是真命题的是（　　）（多选） A．存在实数 ，使得 B．存在实数 ，当 时，有 成立 C．对任意实数 ，当 时，都有 成立 D．若 ，则实数 的取值范围为 【答案】ACD 【分析】A：取 验证奇性；B：分类去绝对值判断 的单调性；C：把不等式整理为 ；D：构造 ，利用其奇偶性与单调性脱去 。 【详解】对于A，当 时，， 则 ， 所以存在 ，使得 ，所以A正确； 对于B，当 时，，图象开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上单调递增； 当 时，，图象开口向下，对称轴为 ， 所以 在 上单调递增，且此时 ， 所以函数 为 上的单调递增函数， 所以不存在 ，使得 ，所以B不正确； 对于C，要证 ， 移项提取公因式，即证 ， 由B项知函数 为 上的单调递增函数， 所以 恒成立，所以C正确； 对于D，令 ，则 ， 可得 ，所以 为奇函数，且 为 上的增函数， 由 ，可得 ， 即 ， 因为 为 上的增函数，所以 ，解得 ，所以D正确。 故选：ACD。 　函数新定义 方法要领　紧扣新定义逐条验证，取特殊值可快速否定全称命题、肯定存在命题；判断'是否具有某性质'或求参数时，把定义翻译成方程（组）、有解或恒成立条件，再转化为熟悉的最值、零点或根的分布问题，注意定义域对解的限制。 【例】（2026云南华坪一中期中 10）符号 表示不超过 的最大整数，如 ，。定义函数 ，则下列命题正确的是（　　）（多选） A． B．当 时， C．函数 的定义域为 ，值域为 D．函数 是增函数 【答案】AB 【分析】紧扣 表示不超过 的最大整数：A、B 代入具体区间验证；C 由 判断值域；D 取特殊值举反例。 【详解】对于A项，，则A正确； 对于B项，当 时，，得 ，则B正确； 对于C项，函数 的定义域为 ， 因为 表示不超过 的最大整数，所以 ， 即值域为 ，则C错误； 对于D项，， ， ∵ 而 ， ∴函数 不是增函数，则D错误。 故选：AB。 【练1】（2026重庆西藏中学期中 6）用 表示 ， 两个数中的最小值，设 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先比较 与 的大小，把 写成分段函数，再分段判断单调性与最值。 【详解】由 解得 。 当 时，，∴； 当 时，，∴。 即 。 当 时， 单调递增，∴； 当 时， 单调递减，∴。 综上，。 故选：B。 【练2】（2025大连经开区一中期中 8）已知定义在 上的函数 满足：∀，当 时，有 ，则称函数 为"理想函数"。根据此定义，下列函数为"理想函数"的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】紧扣定义逐项验证：把每个函数代入 化简，看是否恒正。 【详解】对于A，当 时，对 ∀，， ， 因此 不是"理想函数"，故A错误； 对于B，当 时，，， ， 所以 不是"理想函数"，故B错误； 对于C，当 时，例如取 ，， 则 ，， 此时 ，不满足恒正， 所以 不是"理想函数"，故C错误； 对于D，当 时，，， ， 所以 是"理想函数"，故D正确。 故选：D。 【练3】（2026衡水中学期中 11）设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为取整函数。下列关于"取整函数"的描述正确的是（　　）（多选） A．∀， B．∃， C．∀，若 ，则有 D．∀， 【答案】BCD 【分析】A：取 举反例；B：取 验证存在性；C：设 ，用小数部分表示 后估计 ；D：设 ，把 与 都用 和 表示，按 的范围分类讨论。 【详解】对于A，取 ，可得 ，则 ，而 ， 此时 ，所以A不正确； 对于B，取 ，则 ，此时 ，， 即 ，所以 ∃，，B正确； 对于C，设 ，则 ，，其中 ，， 则 ，所以 ，C正确； 对于D，设 ，，则 ， ∴， 又 ， 当 时，，，此时 成立； 当 时，，， 此时 也成立。 综上可得，∀， 成立，D正确。 故选：BCD。 【练4】（2025福建泉州六中期中 19）若在函数 的定义域内存在区间 ，使得 在 上单调，且函数值在 上的取值范围是 （ 是常数），则称函数 具有性质 。 （1）当 时，函数 是否具有性质 ？若具有，求出区间 ；若不具有，说明理由； （2）若定义在 上的函数 具有性质 ，求 的取值范围。 （本题中函数的单调性不必给出证明） 【答案】（1） 在区间 上具有性质 ； 【分析】（1） 在 上递增，值域为 ，由 ， 解出 ；（2）先去绝对值并因式分解，确定 在 与 上的单调性，按 的位置分类，将 与 建立方程组，（1）中情形相除化简得 矛盾；（2）中情形转化为 在 上有两个不相等的实根，换元后用二次函数值域求解。 【详解】（1）因为 在 上单调递增， 所以 在 上的取值范围是 ， 若函数 具有性质 ，应有 ， 因为 ，解得 ，， 故当 时，函数 在区间 上具有性质 。 （2） =， ①当 时， 在 上单调递减， ∴函数值的取值范围为 ，∴， 即 ， 两式相除，得 ， 整理得 ，即 ， ∵，∴，∴， 又 时 ，矛盾，∴此种情形不合题意。 ②当 时， 在 上单调递增， ∴， 即 ， 所以方程 在 上有两个不相等的实根， 即 在 上有两个不相等的实根， 令 ，则 ，方程化为 ， ∵ 的图象开口向下，对称轴为 ， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， 且 ，，， 由 的图象可知，当 时，直线 与 的图象在 上有两个不同的交点， 即方程 在 上有两个不相等的实根， ∴实数 的取值范围是 。 　单调性的定义证明 方法要领　定义法四步缺一不可：任取 → 作差 → 通分、因式分解化成乘积 → 逐因式写明符号依据后下结论；变形不彻底、定号不写范围依据都是主要扣分点。 【例】（2026云南龙陵一中期中 15）已知函数 过点 。 (1)判断 在区间 上的单调性，并用定义证明； (2)求函数 在 上的最大值和最小值。 【答案】(1) 在 上单调递增，证明见详解；(2)最小值为 ，最大值为 。 【分析】(1)先由待定系数法求出解析式，再用定义法完整四步证明；(2)由单调性直接得区间最值。 【详解】(1)由 过点 ，得 ，解得 ，故 。 判断： 在 上单调递增，证明如下： 任取 ，且 （取值）， 则 （作差并通分变形）。 ∵，∴，即 ；又 ，， ∴，即 （定号）， ∴，∴ 在区间 上单调递增（结论）。 (2)由(1)知 在 上单调递增，故 在 上单调递增， ∴最小值为 ，最大值为 。 【练1】（2026东北育才高中期中 16）已知函数 ，。 (1)用单调性的定义证明 在区间 上是增函数； (2)解关于 的不等式：。 【答案】(1)证明见详解；(2)。 【分析】(1)取值—作差—通分变形—定号；(2)脱 号时自变量必须在同一个单调区间内，注意定义域限制。 【详解】(1)任取 ，且 ， 则 ， ∵，，∴，，即 ，且 ，， ∴，即 ，∴ 在 上单调递增。 (2)由(1)知 在 上单调递增，故原不等式等价于 ， 解得 ， ∴不等式 的解集为 。 【练2】（2025湖南长沙长郡中学期中 17）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 。 (1)求 ， 的值； (2)判断函数 在 上的单调性并加以证明； (3)解不等式 。 【答案】(1)；(2) 在 上单调递减，证明见详解；(3)。 【分析】(1)由奇函数在 处有定义则 ，结合 列方程组求参并代回检验；(2)定义法四步证明；(3)奇函数求出 ，把 化为 后利用单调性脱 号，注意定义域限制。 【详解】(1)由题意知 ，即 ，得 ； 于是 ，又 ， ∴，解得 ，即 ，故 ， 代回检验： 满足 且 ，符合题意。 (2)由(1)知 ， 在 上单调递减，证明如下： 任取 ，则 ， ∵，∴，，即 ，且 ，， ∴，即 ， ∴ 在 上单调递减。 (3)∵ 是奇函数，且 ，∴， 则 即 ， 由 在 上单调递减，得 ， 解得 ， ∴不等式的解集为 。 【练3】（2026辽宁省实验中学期中 17）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 。 (1)求 ， 的值； (2)证明： 在 上单调递减； (3)直接写出 的值域（不要求证明）。 【答案】(1)，；(2)证明见详解；(3)。 【分析】(1)由 求 ，由 求 ，再代回检验奇函数；(2)定义法四步；(3)当 时分离出 用基本不等式，再由奇函数得负半轴的对称结论。 【详解】(1)由 是定义在 上的奇函数，得 ，即 ，∴； 由 ，解得 ， 此时 ，且 ，确为奇函数，满足题意。 (2)证明：任取 ，，且 ，则 ， ∵，∴，，即 ，且 ，， ∴，即 ， ∴ 在 上单调递减。 (3)当 时，； 当 时，， ∵（当且仅当 时取等号），∴； 当 时，由 为奇函数，得 ， 综上， 的值域为 。 【练4】（2025南通海门实验期中 19）已知函数 是定义域上的奇函数，且 。 (1)判断并证明函数 在定义域上的单调性； (2)令函数 （），若对 ，都有 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) 在 、 上单调递减，在 、 上单调递增，证明见详解；(2)。 【分析】(1)由奇函数与 列方程组求 并代回验证，再用定义法证明 在各区间上的单调性；(2)令 换元，转化为二次函数在闭区间上的最值差恒成立。 【详解】(1)∵ 为奇函数且 ，∴， ∴，解得 ，，∴，定义域为 ，代回验证 成立，满足题意。 在 上：任取 ，且 ， 则 ， ∵，∴，，即 ， ∴，即 ，∴ 在 上单调递减； 在 上：任取 ，则 ，，即 ， ∴，即 ，∴ 在 上单调递增； 又 为奇函数，由对称性， 在 上单调递增，在 上单调递减。 (2)，令 ， 由(1)知 在 上单调递减，在 上单调递增，且 时 ，∴， 设 ，其对称轴 ，∴ 在 上单调递增， ∴，， 由 对 恒成立，得 ， 即 ，解得 ，又 ， ∴实数 的取值范围是 。 　求单调区间 方法要领　先求定义域再定单调：二次看对称轴与区间位置、对勾函数增区间为 、复合函数按同增异减配对且受内层值域限制；单调区间分开设，绝不用 连接。 【例】（2026南阳六校期中 7）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按 与 分类： 时两部分均单调递增； 时为对勾函数，增区间为 ，让 整体落在增区间内即可。 【详解】解：①当 时， 在 上单调递增， 当 时 在 上单调递增（ 时为常数 ，不影响递增）， 由"增+增=增"得 在 上单调递增，满足题意，此时 ； ②当 时， 为对勾函数，在 上单调递减，在 上单调递增， 要使 在 上单调递增，需 ，即 ， 解得 。 综上，实数 的取值范围是 。故选 B。 【练1】（2025学军中学期中 5）函数 的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】D 【分析】定义域是图象上点横坐标的取值范围；单调区间不能用""连接，且必须是定义域的子集，再结合图象上升段的端点开闭逐一排除。 【详解】解：由图象，图象上所有点的横坐标构成的集合为 ， ∴函数的定义域为 ，排除A、C； 由图象知函数有两段上升部分，单调递增区间有 个， 单调区间必须分开写，不能用""连接，排除B； 又单调区间是定义域的子集，结合图象上升部分两端点的开闭情况，可知增区间为 与 。 故选 D。 【练2】（2026大连二十四中期中 13）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 ______。 【答案】 【分析】先去绝对值写出分段形式，求出 的单调递增区间，再让 整体落在某一个增区间内列不等式。 【详解】解：由 ，解得 或 ， ∴。 当 时， 的对称轴为 ，其图象在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增。 ∴ 的单调递增区间为 和 。 由 在 上单调递增，得 或 ， 即 且 ，或 ， 解得 或 ， ∴ 的取值范围是 。 【练3】（2026杭高三校区期中 18）已知函数 和 。 (1)求函数 的单调减区间； (2)当 时，对任意 ，，都有 成立，求实数 的取值范围； (3)若对任意的 ，至少存在 ，（），使得 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) 和 ；(2)；(3)。 【分析】(1)指数段在整个定义域上递减，二次段配方后按对称轴分上升与下降；(2)"任意 、任意 "等价于 的最大值不超过 的最小值；(3)转化为 在 上的值域中每个数都要被 在 上至少取得两次，按 的范围分段讨论。 【详解】(1)∵指数函数 在 上单调递减，∴ 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， ∴ 的单调减区间为 和 （两个减区间不能并用""连接）。 (2)由(1)知 在 上单调递增，∴当 时，； 当 时， 在 上单调递增，∴当 时，。 "对任意 ， 都有 "等价于 ， 即 ，解得 ， ∴实数 的取值范围是 。 (3)当 时， 在 上单调递增，值域为 。 由 ， 知 在 上由 递减到 。 ①当 时，若 ， 在 上单调递减，任一函数值至多被取得一次，不合题意；若 ，区间 无意义，舍去； ②当 时， 在 上由 递增到 ， 此时 内的每个值在 与 上各被取得一次，恰好两次， 只需 ，即 ，解得 ， 结合 ，得 ； ③当 时， 在 上递增到 ，在 上由 递减， 此时 内的每个值至少被取得两次，需 ，即 ， 解得 。 综上，实数 的取值范围是 。 　单调性比较大小 方法要领　先用奇偶性把负自变量化正，再用对称性化到同一单调区间，最后按增减方向定序；遇 、 结构先构造新函数判其单调性再比较。 【例】（2025重庆一中期中 6）已知函数 是偶函数， 且 时， 恒成立，设 ，，，则 ，， 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 为偶函数得 的图象关于直线 对称；由 得 在 上单调递减，再把 化到同一单调区间比较。 【详解】∵ 是偶函数，即 ，∴ 的图象关于直线 对称， ∴。 又对 ，， 恒成立， ∴ 与 异号，∴ 在 上单调递减。 ∵，∴，即 。故选 B。 【练1】（2026云南师大附中期中 4）设偶函数 的定义域为 ，当 时 是减函数，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】偶函数先把负自变量的函数值化到 上，再由减函数"自变量越大函数值越小"比较。 【详解】∵ 是定义域为 的偶函数，∴，。 又当 时 是减函数，且 ， ∴，即 。故选 C。 【练2】（2025福建三明二中期中 3）若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把不等式移项改写为 ，构造 ，判定其在 上单调递增得 ，再逐项检验。 【详解】解：由 移项得 ， 设 ，定义域为 ， ∵ 在 上单调递增， 在 上单调递减，∴ 在 上单调递增， 由"增+增=增"得 在 上单调递增， ∴由 得 。 对于A： 时 不一定成立，如 ， 时 ，A错误； 对于B： 在 上单调递增，∴ 时 必定成立，B正确； 对于C：如 ， 时 ，C错误； 对于D：取 ，，则 ，D错误。 故选 B。 　由单调性解不等式 方法要领　脱 号三查：两侧自变量是否在同一单调区间、单调方向定不等号方向、需否先用奇偶性把 化为 ；含 、 或差商条件的先构造 再整体脱号。 【例】（2026河南省实验中学期中 6）已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 上单调递减，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 为偶函数得 的图象关于直线 对称，于是 在 上单调递增；离对称轴越近函数值越大，把 化为到 的距离比较。 【详解】解：∵ 是定义域为 的偶函数，其图象关于 轴对称， 把 的图象向右平移 个单位得 的图象，∴ 的图象关于直线 对称，即 。 又 在 上单调递减，由对称性， 在 上单调递增。 ∴对任意 ，， 等价于 （离对称轴越近函数值越大）。 于是 等价于 ， 两边平方得 ，整理得 ， 即 ，解得 ， ∴原不等式的解集为 。故选 A。 【练1】（2026郑州一中期中 5）偶函数 在 上单调递增，且 ，则满足 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由偶函数与 上的单调性得到 上的单调性及 ，借助图象走向写出 时 的范围，再令 求解。 【详解】解：∵ 是偶函数，∴，图象关于 轴对称。 ∵ 在 上单调递增，且 ， ∴当 时 ；当 时 。 由对称性， 在 上单调递减，且 ， ∴当 时 ；当 时 。 综上， 当且仅当 。 令 ，则 ，解得 ， ∴满足 的 的取值范围是 。故选 D。 【练2】（2025云南师大附中期中 7）已知定义在 上的函数 满足 ，对任意 ，，当 时，都有 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】差商小于 提示构造 ；先证 在 上递增，再由 为奇函数得 为奇函数，从而 在 上递增，把不等式两边凑成 的形式后脱号。 【详解】解：不妨设 ，由 得 ， 即 。 令 ，则 ，∴ 在 上单调递增。 又 ，∴，即 ， ∴ 为奇函数，由奇函数在对称区间上单调性相同，得 在 上单调递增。 将 移项凑配得 ， 即 ， 由 在 上单调递增，得 ，解得 ， ∴原不等式的解集为 。故选 C。 【练3】（2026河南九师联盟期中 8）已知定义在 上的函数 满足对 ，，都有 ，若 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】差商大于 等价于 单调递增；把不等式两边同时减去 ，凑成 后脱 号。 【详解】由 ，得 ， 令 ，则 ，∴ 在 上单调递增。 由 得 。 将 两边同时减去 ， 得 ，即 ， ∴，解得 ，∴原不等式的解集为 。故选 C。 　单调性含参与分段单调 方法要领　分段函数单调先保各段、再保衔接：各段按解析式列单调条件（二次看对称轴、对数看底），再加分段点函数值不等式（递增时左段上端值≤右段起点值）；复合函数含参先定内层单调再按同增异减搭配。 【例】（2026湖南师大附中期中 7）已知函数 （ 且 ）是 上的单调函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次段开口向上知整体只能单调递减；按"先保各段单调、再保分段点处不升"列不等式组。 【详解】当 时，二次函数图象开口向上，要使 在 上单调，只可能单调递减， ∴二次段在对称轴 右侧须递减到 ，且对数段 须递减，即 ， 则 （其中 保证 处函数值不大于左段 的极限值）， 解得 。故选 C。 【练1】（2025厦门泉州五校联考 3）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】开口向上的二次函数在对称轴左侧递减，让给定区间整体落在对称轴左侧（含端点）即可。 【详解】二次函数 的二次项系数为正，图象开口向上，对称轴为直线 ，其左侧图象下降。 要使 在 上单调递减，需 ， 解得 ，即 ， ∴实数 的取值范围是 。故选 A。 【练2】（2026宁波六校期中 5）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按 的符号讨论内层 的单调性，再结合系数 的符号按"同增异减"配对，并保证 上被开方数非负。 【详解】解：①当 时，对 有 ，内层 单调递增， ∴ 单调递增；又 ，即系数 ， 增函数乘负系数得减函数，∴ 在 上单调递减，满足题意； ②当 时，内层 在 上单调递减， 随之单调递减， 要使 单调递减，需系数 ，即 ，得 ； 同时需 上被开方数非负：最小值在 处，需 ，得 ， 故 ； ③当 时，分母 ，函数无意义，舍去。 综上，实数 的取值范围是 。故选 A。 【练3】（2026福建南安龙泉中学期中 11）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．若 ，则 B．若 在 上单调递增，则 的取值范围是 C．存在实数 使得 在 上单调递减 D．若 的值域为 ，则 的取值范围为 【答案】ABD 【分析】A代入两段解析式解方程；B按"各段递增＋分段点衔接"列不等式组；C对两段分别列递减条件看是否矛盾；D先排除 ，再按对称轴 与 的位置分类，用值域拼接成 列式。 【详解】解：对于A：，， 由 得 ，解得 ，A正确； 对于B： 在 上单调递增，需： 段 递增，得 ； 段 开口向上、对称轴 ，在 上递增需 ； 分段点衔接：左段的右上界 （）不超过右段起点值 ， 即 ，解得 ， 综上 ，B正确； 对于C： 在 上单调递减： 段递减需 ； 段递减需对称轴 ， 与 矛盾，故这样的 不存在，C错误； 对于D：若 ， 段值域为 （开口向下方），下方有缺口；若 ，该段值域为 ，都不能拼出 ，舍去； 当 时， 段值域为 ； 若 ， 段最小值为 ，值域为 ， 两段拼成 需 ，得 ，即 ； 若 ， 段最小值为 ，值域为 ， 需 ，即 ，恒成立，故 都满足。 综上 ，D正确。 故选 ABD。 【练4】（2026合肥肥东尚真期中 18）已知函数 （），（，）。 (1)求 的值域； (2)讨论 在 上的单调性； (3)设 ，，证明：。 【答案】(1)；(2)当 时 在 上递减、在 上递增；当 时在 与 上递减，在 与 上递增；(3)证明见详解。 【分析】(2)把 化为 的函数 （），按 与 的大小分类，结合复合函数"同增异减"判断；(3)按(2)的结论分两类说明 的最小值不小于 。 【详解】(1)∵，由基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，∴ 的值域为 。 (2)，令 ，设 （），其对称轴为 。 ①当 ，即 时：当 时 关于 单调递减，而 在 上单调递增，由"同增异减"知 单调递减；当 时 递增且 递增，故 单调递增。 ②当 ，即 时，由 解得 ，（），同理分析 与 的增减搭配可得： 在 与 上单调递减，在 与 上单调递增。 综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增。 (3)①当 时，由(2)知 的最小值为 ，此时 ，即 ，∴，∴； ②当 时，由(2)知 的最小值在 或 处取得，由 ，得 ， 此时 ，即 ，∴，且 ，即 。 综上，当 时， 得证。 　函数最值与单调综合 方法要领　单调函数在闭区间 上端点处取最值；含 的值域先写 的值域再去绝对值分段；任意/存在型恒成立化为 与 等最值比较；对勾函数最值先看 是否落在区间内。 【例】（2026绿城育华学校期中 17）已知函数 。 (1)用函数单调性的定义证明： 在 上单调递增； (2)若 ，函数 ，求 在 上的值域（用含 的式子表示）。 【答案】(1)证明见详解；(2)当 时 的值域为 ；当 时为 。 【分析】(1)取值—作差—变形—定号；(2)由(1)的单调性写出 在 上的值域 ，再按 的正负去掉绝对值求 的值域。 【详解】(1)证明：任取 ，，且 ，则 ， ∵，∴，，且 ， ∴，∴，即 ， ∴ 在 上单调递增。 (2)由(1)知 在 上单调递增， 且当 时 ，∴； 又 ， ∴ 在 上的值域为 。 ①当 时，，此时 在 上的值不大于 （ 时在 处取到 ）， ∴ 在 上单调递减， 其值域为 ，即 ； ②当 时，， 在 上由负值连续增大到正值， 故存在 使 ，此时 为最小值； 且当 时 ， ∴ 的值域为 。 综上，当 时， 在 上的值域为 ；当 时，值域为 。 【练1】（2026湖南长沙雅礼中学期中 15）已知函数 。 (1)用函数单调性的定义证明： 在 上单调递增； (2)求 在区间 上的最大值和最小值。 【答案】(1)证明见详解；(2)最大值为 ，最小值为 。 【分析】(1)取值—作差—通分变形—定号；(2)由(1)得 在 上单调递增，两端点处取最值。 【详解】(1)证明：任取 ，，且 ，则 ， ∵， 且 ，∴，且 ，， ∴，即 ， ∴ 在 上单调递增。 (2)由(1)知 在 上单调递增， ∴最小值为 ，最大值为 ， 即 在 上的最大值为 ，最小值为 。 【练2】（2025广东封开南丰中学期中 16）已知 ，，令 ，则 的最小值是 ______。 【答案】 【分析】先解 的解集，把 写成分段函数，再逐段求最小值（中间一次函数段取不到端点值但恒大于它），比较后下结论。 【详解】解：令 ，即 ， 解得 或 ， ∴。 记 ，由 知： ①在 上， 的对称轴 在区间右侧，该段单调递减， 最小值为 ，由 得 ； ②在中间段 上，，恒大于该值且取不到； ③在 上， 单调递增， 最小值为 。 综上， 的最小值为 。 【练3】（2026武汉东湖高新区期中 8）已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用对勾函数性质确定 段的最小值，再要求二次段的最小值与对勾段的最小值都不小于 ，列不等式组求 。 【详解】解：当 时， 是对勾函数，， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴该段最小值为 。 当 时， 开口向上，对称轴为直线 。 一方面，若 ，则二次段在 上的最小值为 ，不合题意； 故需 ，此时二次函数在 上单调递减，最小值恰为 ； 另一方面，对勾段的最小值不得小于 ， 即 ， 解得 。 综上，实数 的取值范围是 。故选 A。 　幂函数的图象与性质 方法要领　两步走：先设 代点求 （有系数 时令 并按定义域、奇偶性筛根）；再按 过原点递增、 不过原点递减，最简分数分子分母奇偶定奇偶性，图类题按定义域→奇偶性→凸向→与直线 位置逐一排除。 【例】（2026杭高三校区期中 10）若幂函数 的图象经过点 ，则下列说法中正确的是（　　）（多选） A． 为偶函数 B．若 ，则 C． 为增函数 D．函数 为偶函数 【答案】BCD 【分析】待定系数求 ，再按 的定义域、单调性与奇偶性逐项判断。 【详解】∵幂函数 的图象经过点 ，∴，解得 ， ∴，定义域为 。 对于A：定义域 不关于原点对称， 不是偶函数，A错误； 对于B、C：∵，∴ 在 上单调递增，∴当 时 ，B、C正确； 对于D： 的定义域为 ，，∴ 为偶函数，D正确。 故选 BCD。 【练1】（2026宁波六校期中 3）函数 的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由定义域、奇偶性、单调性及 时图象与直线 的位置关系逐一排除。 【详解】函数 的定义域为 ，且 ，是偶函数，图象关于 轴对称，排除D； 由 知 在 上单调递增且图象上凸，排除C； 当 时 ，图象应在直线 下方，而A中图象（抛物线型）在直线 上方，排除A。 故选 B。 【练2】（2025四川安岳中学期中 5）已知幂函数 为偶函数，若函数 在区间 上为单调函数，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数定义求 ，再由偶函数筛选；所得 是二次函数，其在 上单调等价于对称轴不在区间内部（含端点）。 【详解】解：∵ 是幂函数，∴系数满足 ，即 ， 解得 或 。 当 时，，为偶函数；当 时，，为奇函数，不合题意舍去， ∴。 则 ，图象开口向上，对称轴为直线 。 要使 在 上单调，需对称轴不在区间内部， 即 或 ， 解得 或 ， ∴实数 的取值范围是 。故选 D。 【练3】（2026重庆八中期中 16）已知幂函数 是定义在 上的偶函数。 (1)求 的解析式，并用定义证明 在 上单调递增； (2)若对 ， 恒有意义，求实数 的取值范围。 【答案】(1)，证明见详解；(2)。 【分析】(1)由幂函数系数为 求 ，按定义域是否为 及奇偶性筛选；(2)恒有意义等价于被开方数 在 上恒成立，分离参数后用对勾函数（基本不等式）求右边的最小值。 【详解】(1)∵ 是幂函数，∴，即 ， 解得 或 。 当 时，，定义域为 ，不关于原点对称，不是定义在 上的偶函数，舍去； 当 时，，定义域为 ，且 ，是偶函数，满足题意， ∴。 证明：任取 ，，且 ，则 ， ∵，∴，， ∴，即 ， ∴ 在 上单调递增。 (2) 恒有意义等价于 对 恒成立， 即 在 上恒成立。 ∵，两边同除以 得 对 恒成立， ∴。 由基本不等式，， 当且仅当 ，即 时取等号， ∴，∴， 即实数 的取值范围是 。 【练4】（2026山东实验中学期中 11）已知函数 的图象经过点 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． B． 是偶函数 C．若 ，则 或 D．当 时 ，若 ，则 【答案】ABD 【分析】待定系数求 ；利用偶函数与单调性脱 号判断C；作差法证明D。 【详解】∵ 的图象经过点 ，∴，解得 ，∴，A正确； 的定义域为 ，且 ，∴ 是偶函数，B正确； ∵，∴ 在 上单调递增，又 为偶函数， ∴ 等价于 ，即 ， 整理得 ，即 ，解得 ，C错误； 当 时，， 则 ， ∴，D正确。 故选 ABD。 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026嘉兴八校联盟期中 4）已知幂函数 的图象过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 待定系数求 ，再求函数值。 【详解】设 ，则 ，即 ，解得 ， ∴，∴。故选 A。 2．（6分）（2026哈尔滨三中期中 2）下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先查定义域是否关于原点对称，再验证 与单调性。 【详解】对于A： 是奇函数，但在 上单调递减、 上单调递增，A错误； 对于B：定义域为 ，，是奇函数；又 与 均在 上单调递增，∴ 在 上单调递增，B正确； 对于C： 是偶函数，C错误； 对于D： 的定义域为 ，不关于原点对称，是非奇非偶函数，D错误。 故选 B。 3．（6分）（2025湛江三校联考 7）已知函数 在 上是单调函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数开口向上，要使给定区间上是单调函数，区间须整体落在对称轴一侧，分递增、递减两种情况。 【详解】对称轴为直线 。 若 在 上单调递增，则 ，得 ； 若 在 上单调递减，则 ，得 。 ∴ 的取值范围是 。故选 C。 4．（6分）（2026武汉东湖高新区期中 6）已知 ，若 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判定 为偶函数并把 化为正自变量的值，再判定 上的单调性，最后比较幂的大小。 【详解】∵，∴ 为偶函数，∴。 当 时 在 上单调递增， 又 ， ∴，即 。故选 D。 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026辽宁省实验中学期中 11）已知 的定义域为 ，且 ，，则（　　）（多选） A． B． C． 是偶函数 D． 是奇函数 【答案】ABD 【分析】赋值法：令 、 求特殊值；令 探究 与 的关系。 【详解】对于A：令 ，得 ，即 ，∴，A正确； 对于B：令 ，得 ，∴，即 ，B正确； 对于C：令 得 ，∴；取 ，，得 ，即 ，∴，∴ 不是偶函数，C错误； 对于D：令 ，得 ，即 ， ∴，∴ 是奇函数，D正确。 故选 ABD。 6．（6分）（2026郑州外国语学校期中 11）已知对于任意非零实数 ，函数 均满足 ，，下列结论正确的有（　　）（多选） A． B． 的图象关于点 中心对称 C． 的图象关于直线 对称 D． 【答案】ABD 【分析】特殊值定 ；由 得中心对称；换元 推 得周期性。 【详解】对于A：在 中令 ，得 ，∴，A正确； 对于B：由 得 ，∴， ∴ 的图象关于点 中心对称，B正确； 对于C：由 得 ，∴ 的图象关于直线 对称，C错误； 对于D：令 得 。设 ，则 ，① 又 ，② 由①②得 ，即 ， ∴，即 ， ∴， ∴，D正确。 故选 ABD。 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2026大连二十四中期中 12）已知函数 是偶函数，则函数 的零点是 ______。 【答案】 【分析】由 恒成立比较系数求 ，再解 。 【详解】由 得 ，即 对一切 成立， ∴，，∴， 令 ，得 ，∴函数 的零点为 。 8．（6分）（2026云南昆明一中期中 13）已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递减，则不等式 的解集为 ______。 【答案】 【分析】偶函数 ，再由 上递减脱 号。 【详解】∵ 是 上的偶函数，∴ 可化为 。 又 在 上单调递减，∴，即 ， 整理得 ，即 ，解得 ， ∴不等式的解集为 。 9．（6分）（2026广州二中四元联考 14）已知 是 上的奇函数，当 时 ，则 ______；若 ，，则 的取值范围为 ______。 【答案】； 【分析】奇函数求值 ； 在 上单调递增，脱 号后分离参数，用对勾函数的单调性求最值。 【详解】由 是 上的奇函数且当 时 ，得 ； 易知 在 上单调递增， ∴ 等价于 ，即 。 ∵，∴， 函数 在 上单调递减，最小值为 ， ∴，即 ， ∴ 的取值范围为 。 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026湖南长沙长郡中学期中 17）已知函数 ，。 (1)判断函数 在区间 上的单调性，并证明你的结论； (2)判断函数 的奇偶性，并求解关于 的不等式 。 【答案】(1) 在 上单调递增，证明见详解；(2)奇函数；不等式的解集为 。 【分析】(1)定义法四步：取值—作差—变形—定号；(2)先验证 ，再利用奇偶性与单调性脱 号，注意自变量都要落在定义域 内。 【详解】(1) 在 上单调递增。证明：任取 ，且 ， 则 ， ∵，∴，，，， ∴，即 ， ∴函数 在区间 上单调递增。 (2)∵定义域 关于原点对称，且 ，∴ 为奇函数。 由 得 ， 又 在 上单调递增，∴， 由 得 ；由 得 或 ， ∴，即不等式的解集为 。 11．（15分）（2026沈阳五校协作体期中 15）函数 满足对任意 ， 都有 ，且 ，当 时 。 (1)判断并证明 在 上的单调性； (2)求不等式 的解集。 【答案】(1) 在 上单调递减，证明见详解；(2)。 【分析】(1)构造 ，用 展开作差；(2)赋值求 、，把 凑成 后合并，再脱 号。 【详解】(1) 在 上是单调递减函数。理由如下： 任取 ，则 ，由已知得 。 而 ， ∴，即 ， ∴ 在 上是单调递减函数。 (2)令 ，得 ，∴； 令 ，得 ，∴， 为奇函数。 由 得 ；又 ，∴。 于是 ， ∵ 在 上单调递减，∴，即 ，解得 ， ∴不等式的解集为 。 期中专项复习 · 高一教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $